3.2.2: Спрощення тригонометричних виразів

Перетворити на синус/косинус і використовувати основні тотожності trig для спрощення.

Як ви могли написати тригонометричну функцію\(\cos \theta +\cos \theta (\tan^2 \theta )\) простіше?

Спрощення тригонометричних виразів

Тепер, коли ви більше знайомі з тотожностями trig, ми можемо використовувати їх для спрощення виразів. Пам'ятайте, що ви можете використовувати будь-який з наведених нижче посвідчень.

Взаємні ідентичності:\(\csc \theta =\dfrac{1}{\sin \theta}\),\(\sec \theta =\dfrac{1}{\cos \theta}\), і\(\cot \theta =\dfrac{1}{\tan \theta}\)

Тангенс і котангенс ідентичності:\(\tan \theta =\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}\) і\(\cot \theta =\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}\)

Піфагора ідентичності:\(\sin^2 \theta +\cos ^2 \theta =1\),\(1+\tan^2 \theta =\sec^2 \theta\), і\(1+\cot^2 \theta =\csc^2 \theta\)

Спільні ідентичності:\(\sin(\dfrac{\pi}{2}− \theta )=\cos \theta\),\(\cos(\dfrac{\pi}{2}− \theta )=\sin \theta\), і\(\tan(\dfrac{\pi}{2}− \theta )=\cot \theta\)

Негативні тотожності кута:\(\sin(− \theta )=−sin \theta\)\(\cos(− \theta )=\cos \theta\),, і\(\tan(− \theta )=−\tan \theta\)

Давайте спростимо наступні вирази.

1. \(\dfrac{\sec x}{\sec x−1}\)

При спрощенні тригонометричних виразів один підхід полягає в тому, щоб змінити все на синус або косинус. По-перше, ми можемо змінити секанс на косинус за допомогою взаємної ідентичності.

\(\dfrac{\sec x}{\sec x−1} \rightarrow \dfrac{\dfrac{1}{\cos x}}{\dfrac{1}{\cos x}−1}\)

Тепер об'єднайте знаменник в один дріб, помноживши 1 на\(\dfrac{\cos x}{\cos x}\).

\(\dfrac{\dfrac{1}{\cos x}}{\dfrac{1}{\cos x}-1} \rightarrow \dfrac{\dfrac{1}{\cos x}}{\dfrac{1}{\cos x}-\dfrac{\cos x}{\cos x}} \rightarrow \dfrac{\dfrac{1}{\cos x}}{\dfrac{1-\cos x}{\cos x}}\)

Змініть цю проблему на проблему поділу та спростити.

\ (\ почати {вирівняний}
\ dfrac {\ dfrac {1} {\ cos x}} {\ dfrac {1-\ cos x}} &\ правої стрілки\ dfrac {1} {\ cos x}\ div\ dfrac {1-\ cos x} {\ cos x} {\ cos x}\\
&\ dfrac {1} {\ скасувати x}}\ cdot\ dfrac {\ скасувати {\ cos x}} {1-\ cos x}\\
&\ dfrac {1} {1-\ cos x}
\ кінець {вирівняний} \)

2. \(\dfrac{\sin^4 x−\cos^4 x}{\sin^2 x−\cos ^2 x}\)

З цією проблемою нам потрібно перерахувати чисельник і знаменник і подивитися, якщо щось скасовує. У цьому сценарії можуть бути використані правила факторингу квадратичних та спеціальних квадратичних формул.

\(\dfrac{\sin^4 x−\cos^4 x}{\sin^2 x−\cos ^2 x} \rightarrow \dfrac{\cancel{(\sin^2 x−\cos ^2 x)} (\sin^2 x+\cos ^2 x)}{\cancel{(\sin^2 x−\cos ^2 x)}}\rightarrow \sin^2 x+\cos ^2 x\rightarrow 1\)

На останньому кроці ми спростили до лівого боку Піфагора Ідентичність. Тому цей вираз спрощує до 1.

3. \(\sec \theta \tan^2 \theta +\sec \theta\)

Спочатку витягніть ГКФ.

\(\sec \theta \tan^2 \theta + \sec \theta \rightarrow \sec \theta (\tan^2 \theta +1)\)

Тепер,\(\tan^2 \theta +1=\sec^2 \theta\) від Піфагора тотожності, так спростити далі.

\(\sec \theta (\tan^2 \theta +1)\rightarrow \sec \theta \cdot \sec^2 \theta \rightarrow \sec^3 \theta\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вас просили спростити тригонометричну функцію\(\cos \theta +\cos \theta (\tan^2 \theta )\).

Рішення

Зверніть увагу, що терміни у\(\cos \theta +\cos \theta (\tan^2 \theta )\) виразі мають загальний фактор\(cos \theta\), тому почніть з факторингу цього загального терміну.

\(\cos \theta +\cos \theta (\tan^2 \theta ) \\ \cos \theta (1+\tan^2 \theta )\)

Тепер використовуйте тригонометричну ідентичність\(1+\tan^2 \theta =\sec^2 \theta\), замінюйте та спрощуйте.

\(\begin{aligned} \cos \theta (1+tan^2 \theta ) &=\cos \theta (\sec^2 \theta ) \\ &=\cos \theta \left(\dfrac{1}{\cos ^2 \theta}\right) \\&=\dfrac{1}{\cos \theta}\\ &=\sec \theta \end{aligned}\)

Спростіть наступні тригонометричні вирази.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

\(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}−x\right)\cot x\)

Рішення

Використовуйте ідентичність котангенса та ідентичність співфункції\(\cos(\dfrac{\pi}{2}− \theta )=\sin \theta\).

\(\cos(\dfrac{\pi}{2}−x)\cot x\rightarrow \cancel{\sin x} \cdot \dfrac{\cos x}{\cancel{\sin x}}\rightarrow \cos x\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

\(\dfrac{\sin(−x)\cos x}{\tan x}\)

Рішення

Використовуйте ідентичність негативного кута та ідентичність дотичної.

\(\dfrac{\sin (-x) \cos x}{\tan x} \rightarrow \dfrac{-\sin x \cos x}{\dfrac{\sin x}{\cos x}} \rightarrow -\cancel{\sin x} \cos x \cdot \dfrac{\cos x}{\sin x} \rightarrow-\cos ^{2} x\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

\(\dfrac{\cot x \cos x}{\tan (-x) \sin \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}\)

Рішення

У цій задачі ви будете використовувати кілька ідентичностей.

\(\dfrac{\cot x \cos x}{\tan (-x) \sin \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)} \rightarrow \dfrac{\dfrac{\cos x}{\sin x} \cdot \cos x}{-\dfrac{\sin x}{\cancel{\cos x}} \cdot \cancel{\cos x}} \rightarrow \dfrac{\dfrac{\cos ^{2} x}{\sin x}}{-\sin x} \rightarrow \dfrac{\cos ^{2} x}{\sin x} \cdot-\dfrac{1}{\sin x} \rightarrow-\dfrac{\cos ^{2} x}{\sin ^{2} x} \rightarrow −\cot ^2 x\)

Рецензія

Спростіть наступні вирази.

1. \(\cot x \sin x\)
2. \(\cos ^2 x \tan(−x)\)
3. \(\dfrac{cos(−x)}{\sin(−x)}\)
4. \(\sec x \cos(−x)−\sin^2 x\)
5. \(\sin x(1+cot^2 x)\)
6. \(1−\sin^2\left(\dfrac{\pi}{2}−x\right)\)
7. \(1−\cos^2\left(\dfrac{\pi}{2}−x\right)\)
8. \(\dfrac{\tan\left(\dfrac{\pi}{2}−x\right) \sec x}{1−\csc^2 x}\)
9. \(\dfrac{\cos ^2 x \tan^2 x−1 }{\cos ^2 x}\)
10. \(\cot^2 x+\sin ^2x+\cos^2(−x)\)
11. \(\dfrac{\sec x\sin x+\cos\left(\dfrac{\pi}{2}−x\right)}{1+\cos x}\)
12. \(\dfrac{\cos(−x)}{1+\sin(−x)}\)
13. \(\dfrac{\sin^2(−x)}{\tan^2 x}\)
14. \(\tan\left(\dfrac{\pi}{2}−x\right)\cot x−\csc^2 x\)
15. \(\dfrac{\csc x(1−\cos ^2 x)}{\sin x\cos x}\)

Відповіді на проблеми з оглядом

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 14.8.

Додаткові ресурси

Практика: Спрощення тригонометричних виразів