Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.2.1: Ідентичності Trig для пошуку точних тригонометричних значень

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54856

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Піфагора, тангенс і взаємний тотожності використовуються для пошуку значень функцій.

    Використання тотожностей Trig для пошуку точних значень трига

    Вам надається наступна інформація про\(\theta\)

    \(\sin\theta =\dfrac{2}{3}\),\(\dfrac{\pi}{2}<\theta <\pi\)

    Що таке\(\cos\theta\) і\(\tan\theta \)?

    Тригонометричні тотожності

    Для пошуку всіх шести тригонометричних значень для певних кутів можна використовувати Піфагорійську, Тангенс і взаємну ідентичності. Давайте пройдемося по кілька проблем, щоб ви зрозуміли, як це зробити.

    Давайте вирішимо наступні завдання за допомогою тригонометричних тотожностей.

    1. З огляду на те, що\(\cos\theta =\dfrac{3}{5}\) і\(0<\theta <\dfrac{\pi}{2}\), знайдіть\(\sin \theta\).

    Використовуйте Піфагорійську Ідентичність, щоб знайти гріх\ тета.

    \ (\ почати {вирівняний}
    \ sin ^ {2}\ тета+\ cos ^ {2}\ тета &= 1\\
    \ sin ^ {2}\ тета+\ ліворуч (\ dfrac {3} {5}\ праворуч) ^ {2} &= 1\\
    \ sin ^ {2}\ тета &= 1-\ dfrac {9} {25}\\
    \ sin ^ {2}}\ тета &=\ dfrac {16} {25}\
    \ sin\ тета &=\ pm\ dfrac {4} {5}
    \ end {вирівняний}\)

    Тому що\(\theta\) знаходиться в першому квадранті, ми знаємо, що синус буде позитивним. \(\sin\theta =\dfrac{4}{5}\)

    1. Знайдіть\(\tan\theta \) з #1 вище.

    Використовуйте дотичну ідентичність, щоб знайти\(\tan\theta\).

    \(\tan\theta =\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{\dfrac{4}{5}}{\dfrac{3}{5}}=\dfrac{4}{3}\)

    1. Знайдіть інші три тригонометричні функції\(\theta\) з #1.

    Щоб знайти секанс, косеканс і котангенс, використовуйте взаємні ідентичності.

    \(\csc \theta=\dfrac{1}{\sin \theta}=\dfrac{1}{\dfrac{4}{5}}=\dfrac{5}{4} \quad \sec \theta=\dfrac{1}{\cos \theta}=\dfrac{1}{\dfrac{3}{5}}=\dfrac{5}{3} \quad \cot \theta=\dfrac{1}{\tan \theta}=\dfrac{1}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{3}{4}\)

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Раніше вас попросили знайти\(\cos\theta\) і\(\tan\theta\) з\(\sin\theta =\dfrac{2}{3}\),\(\dfrac{\pi}{2}<\theta <\pi \).

    Рішення

    По-перше, використовуйте Піфагорійську Ідентичність, щоб знайти\(\cos\theta\).

    \ (\ почати {вирівняний}
    \ sin ^ {2}\ тета+\ cos ^ {2}\ тета &= 1\\
    \ лівий (\ dfrac {2} {3}\ праворуч) ^ {2} +\ cos ^ {2}\ theta&=1\
    \ cos ^ {2}\ тета &= 1-\ dfrac {4} {9}\
    \ cos ^ {2}}\ тета &=\ dfrac {5} {9}\\ cos
    \ тета &=\ пм\ dfrac {\ sqrt {5}} {3}
    \ кінець {вирівняний}\)

    Однак, оскільки\(\theta\) обмежений другим квадрантом, косинус повинен бути негативним. Тому,\(\cos \theta =−\dfrac{\sqrt{5}}{3}\).

    Тепер використовуйте Tangent Identity, щоб знайти tan\ theta.

    \(\tan\theta =\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{\dfrac{2}{3}}{−\dfrac{\sqrt{5}}{3}}=−2\sqrt{5}=\dfrac{−2\sqrt{5}}{5}\)

    Знайдіть значення інших п'яти тригонометричних функцій.

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    \(\tan\theta =−\dfrac{5}{12}\),\(\dfrac{\pi}{ 2}<\theta <\pi\)

    Рішення

    По-перше, ми знаємо, що\ theta знаходиться у другому квадранті, що робить синус позитивним і косинусом негативним. Для цієї проблеми ми будемо використовувати Піфагорійську Ідентичність,\(1+\tan^2\theta =\sec^2\theta\) щоб знайти секант.

    \ (\ почати {вирівняний}
    1+\ лівий (-\ dfrac {5} {12}\ праворуч) ^ {2} &=\ сек ^ {2}\ тета\\
    1+\ dfrac {25} {144} &=\ сек ^ {2}\ тета\\
    \ dfrac {169} {144} &=\ сек ^ {2}\ тета\
    \ пм\ dfrac {13} {12} &=\ сек\ тета\\
    -\ dfrac {13} {12} &=\ сек\ тета
    \ end {вирівняний}\)

    Якщо\(\sec\theta =−\dfrac{13}{12}\), то\(\cos\theta =−\dfrac{12}{13}\). \(\sin\theta =\dfrac{5}{13}\)тому що чисельник значення тангенса є синусом і має те саме значення знаменника, що і косинус. \(\csc\theta =\dfrac{13}{5}\)і\(\cot\theta =−\dfrac{12}{5}\) від взаємних ідентичностей.

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    \(\csc \theta =−8\),\(\pi <\theta <\dfrac{3 \pi}{2}\)

    Рішення

    \ theta знаходиться в третьому квадранті, тому синус і косинус негативні. Відповідність\(\csc\theta =−8\), дасть нам\(\sin\theta =−\dfrac{1}{8}\). Тепер використовуйте Піфагорійську Ідентичність,\(sin^2 \theta +\cos^2 \theta =1\) щоб знайти косинус.

    \ (\ почати {вирівняний}
    \ лівий (-\ dfrac {1} {8}\ праворуч) ^ {2} +\ cos ^ {2}\ тета &= 1\
    \\ cos ^ {2}\ тета &= 1-\ dfrac {1} {64}\
    \ cos ^ {2}\ тета &=\ dfrac {63} {64}\ cos
    \\ theta =\ пм\ dfrac {3\ sqrt {7}} {8}\
    \ cos\ тета &=-\ dfrac {3\ sqrt {7}} {8}
    \ кінець {вирівняний}\)

    \(\sec\theta =−\dfrac{8}{3\sqrt{7}}=−\dfrac{8\sqrt{7}}{21}\),\(\tan\theta =\dfrac{1}{3\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{7}}{ 21}\), і\(\cot\theta =3\sqrt{7}\)

    Рецензія

    1. У яких квадрантах синусоїда позитивне? Негативний?
    2. У яких квадрантах є додатним значенням косинуса? Негативний?
    3. У яких квадрантах дотичне значення додатне? Негативний?

    Знайдіть значення інших п'яти тригонометричних функцій\(\theta \).

    1. \(\sin\theta =\dfrac{8}{17}\),\(0<\theta <\dfrac{\pi}{2}\)
    2. \(\cos\theta =−\dfrac{5}{6}\),\(\dfrac{\pi}{2}<\theta <\pi\)
    3. \(\tan\theta =\dfrac{\sqrt{3}}{4}\),\(0<\theta <\dfrac{\pi}{2}\)
    4. \(\sec\theta =−\dfrac{41}{9}\),\(\pi <\theta <\dfrac{3\pi}{2}\)
    5. \(\sin\theta =−\dfrac{11}{14}\),\(\dfrac{3\pi}{2}<\theta <2\pi\)
    6. \(\cos\theta =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\),\(0<\theta <\dfrac{\pi}{2}\)
    7. \(\cot\theta =\sqrt{5}\),\(\pi <\theta <\dfrac{3\pi}{2}\)
    8. \(\csc\theta =4\),\(\dfrac{\pi}{2}<\theta <\pi\)
    9. \(\tan\theta =−\dfrac{7}{10}\),\(\dfrac{3\pi}{2}<\theta <2\pi\)
    10. Крім використання тотожностей, як ще можна знайти значення інших п'яти тригонометричних функцій?
    11. З огляду на, що\(\cos\theta =\dfrac{6}{11}\) і\(\theta\) знаходиться в\(2^{nd}\) квадранті, що таке\(\sin(−\theta )\)?
    12. З огляду на, що\(\tan\theta =−\dfrac{5}{8}\) і\(\theta\) знаходиться в\(4^{th}\) квадранті, що таке\(\sec(−\theta )\)?

    Відповіді на проблеми з оглядом

    Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 14.7.