2.7.6: Графік обернених тригонометричних функцій

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54706

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Домен і діапазон обернених функцій.

Для того, щоб зворотні функції були функціями, вихідна функція повинна пройти тест горизонтальної лінії. Хоча жодна з тригонометричних функцій не проходить тест горизонтальної лінії, ви можете обмежити їх домени, щоб вони могли пройти. Тоді зворотні виробляються так само, як і при звичайних функціях. Після того, як у вас є основні зворотні функції, застосовуються звичайні правила перетворення.

Чому це\(\sin^{-1}\left(\sin 370^{\circ}\right)\neq 370^{\circ}\)? Чи не дуги і гріх просто скасовують?

Графіки обернених тригонометричних функцій

Оскільки жодна з шести тригонометричних функцій не проходить тест горизонтальної лінії, ви повинні обмежити їх області, перш ніж знаходити зворотні ці функції. Це так само, як і\(y=\sqrt{x}\) зворотний спосіб,\(y=x^2\) коли ви обмежуєте домен\(x\geq 0\).

Розглянемо синусоїдальний графік:

Як правило, обмеження для домену - це або інтервал,\(\left[−\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\) або\([0,\pi ]\) для того, щоб все було просто. У цьому випадку синус обмежується\(\left[−\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\), як показано вище. Щоб знайти зворотне, відобразіть жирну частину поперек лінії\(y=x\). Блакитна крива нижче показана\(f(x)=\sin^{-1}x\).

Результатом цієї інверсії є те, що arcsine буде тільки коли-небудь виробляти кути між\(−\dfrac{\pi}{2}\) і\(\dfrac{\pi}{2}\).

Блакитна крива нижче показує\(f(x)=\cos^{-1} x\)?

Частина косинуса, яка відповідає тесту горизонтальної лінії, є інтервалом\([0, \pi ]\). Щоб знайти зворотне, ця частина відбивається поперек лінії\(y=x\).

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вас запитали, чому синус і арцин не завжди просто скасовують.

Рішення

Оскільки arcsine виробляє лише кути між\(−\dfrac{\pi}{2}\) і\(\dfrac{\pi}{2}\) або\(−90^{\circ}\) до\(+90^{\circ}\) результату є,\(10^{\circ}\) який\(\sin^{-1}(\sin 370^{\circ})\) є співтермінальним до\(370^{\circ}\).

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Графік функції\(f(x)=2\cos^{-1}(x−1)\).

Рішення

Так як\(f(x)=\cos^{-1}x\) була побудована графіка раніше, то тепер вам просто потрібно зрушити її вправо на одну одиницю і розтягнути по вертикалі в 2 рази. Він перетинав вісь x на 1 раніше, і тепер він перетинається на 2. Він досяг висоти\(\pi \) раніше і тепер досягне висоти\(2\pi \).

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Оцініть наступний вираз з калькулятором і без нього, використовуючи правильні трикутники і ваші знання зворотних тригонометричних функцій.

\(\cot\left(\csc^{-1}\left(-\dfrac{13}{5}\right)\right)\)

Рішення

Для того, щоб мати можливість ефективно обчислити це, найкраще написати вираз явно лише з точки зору функцій, які має ваш калькулятор. Майте на увазі, що деякі калькулятори мають обидва\(\sin^{-1}x\) і\((\sin x)^{−1}\).

Найважча частина цього питання - бачити csc як функцію (яка виробляє кут) на співвідношенні гіпотенузи 13 і протилежної сторони -5. Синус зворотного співвідношення повинен видавати однаковий кут, щоб ви могли його підставити.

\(\csc^{-1}\left(-\dfrac{13}{5}\right)=\sin^{-1}(−\dfrac{5}{13})\)
\(\cot(\theta )=\dfrac{1}{\tan\theta}\)

\(\cot\left(\csc^{-1}\left(-\dfrac{13}{5}\right)\right)=\dfrac{1}{\tan \left(\sin^{-1}\left(−\dfrac{5}{13}\right)\right)}=−\dfrac{12}{5}\)

Почніть зі своїх знань, які\(\csc^{-1}\left(-\dfrac{13}{5}\right)\) описують кут у третьому або четвертому квадранті, оскільки це два квадранти, де косеканс є негативним. Оскільки\(\csc^{-1}\theta \) має діапазон\(−\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\), він виробляє кути лише в квадранті I або квадранті IV. Потім цей трикутник повинен знаходитися в четвертому квадранті. Все, що вам потрібно зробити, це намалювати трикутник і визначити співвідношення котангенсів.

Котангенс сусідить над протилежним.

\(\cot\left(\csc^{-1}\left(−\dfrac{13}{5}\right)\right)=−\dfrac{12}{5}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Що таке графік\(y=\tan^{-1}x\)?

Рішення

Графік — частина тангенса, яка відповідає тесту горизонтальної лінії і відображає поперек лінії y=x. Зауважте, що графік арктану позначено синім кольором.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Що таке графік\(y=\csc^{-1}x\)

Рішення

Графік частини косеканса, яка відповідає тесту горизонтальної лінії і відображає поперек лінії y=x.

Зверніть увагу, що\(f(x)=\csc^{-1}x\) знаходиться в синьому кольорі.

Рецензія

Графік\(f(x)=\cot^{-1}x\).
Графік\(g(x)=\sec^{-1}x\).

Назвіть кожен з наступних графіків.

Малюнок\(\PageIndex{8}\)
Малюнок\(\PageIndex{9}\)
Малюнок\(\PageIndex{10}\)
Малюнок\(\PageIndex{11}\)
Малюнок\(\PageIndex{12}\)

Графік кожної з наступних функцій, використовуючи ваші знання про перетворення функцій.

\(h(x)=3\sin^{-1}(x+1)\)
\(k(x)=2\sin^{-1}(x)+\dfrac{\pi}{2}\)
\(m(x)=−\cos^{-1}(x−2)\)
\(j(x)=\cot^{-1}(x)+\pi\)
\(p(x)=−2\tan^{-1}(x−1)\)
\(q(x)=\csc^{-1}(x−2)\)
\(r(x)=−\sec^{-1}(x)+4\)
\(t(x)=\csc^{-1}(x+1)−\dfrac{3 \pi}{2}\)
\(v(x)=2\sec^{-1}(x+2)+\dfrac{\pi}{2}\)
\(w(x)=−\cot^{-1}(x)−\dfrac{\pi}{2}\)

Оцініть кожен вираз.

\(\sec \left(\tan^{-1}\left[\dfrac{3}{4}\right]\right)\)
\(\cot \left(\csc^{-1} \left[\dfrac{13}{12}\right]\right)\)
\(\csc \left(\tan^{-1} \left[\dfrac{4}{3}\right]\right)\)

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 5.8.

Лексика

Термін	Визначення
Косеканс	Косеканс кута в прямокутному трикутнику - це залежність, знайдена діленням довжини гіпотенузи на довжину сторони, протилежної заданому куту. Це зворотна функція синуса.
Котангенс	Котангенс кута в прямокутному трикутнику - це залежність, знайдена шляхом ділення довжини сторони, прилеглої до даного кута, на довжину сторони, протилежної заданому куту. Це зворотна функція дотичної.
Котермінал	Два кути є котермінальними, якщо вони намальовані в стандартному положенні, і обидва мають кінцеві сторони, які знаходяться в одному місці.
домен	Домен функції - це множина x-значень, для яких визначена функція.
Тест горизонтальної лінії	Тест горизонтальної лінії говорить, що якщо горизонтальна лінія, проведена в будь-якому місці через графік функції, перетинає функцію в більш ніж одному місці, то функція не є один до одного і не обертається.
обмежений домен	Обмежений домен посилається на те, що при створенні зворотного іноді доводиться відрізати домен більшої частини функції, зберігаючи максимально можливу частину, щоб при створенні зворотного вона була ще й функцією.
Секантний	Секанс кута в прямокутному трикутнику - це величина, знайдена діленням довжини гіпотенузи на довжину сторони, прилеглої до заданого кута. Відношення секанс - це зворотне косинусного відношення.
Трансформації	Перетворення використовуються для зміни графіка батьківської функції в граф більш складної функції.

Додаткові ресурси

Практика: Граф обернені тригонометричні функції