2.7.5: Косинусні та секантні графіки

Хвиля на основі значення x та радіуса кола; графік на основі зворотного.

Уявіть собі на мить, що у вас є годинник, який має тільки одну руку - що обертається проти годинникової стрілки!. Однак рука дуже струнка аж до кінчика, де є кулька на кінці. Насправді рука настільки струнка, що ви цього не помітите. Ви тільки помічаєте м'яч на кінці обертається руки. Ця рука обертається швидше, ніж зазвичай.

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Розглянемо, як було б, якщо поставити світло над годинником і нехай тінь від стрілок падає на стіну під годинником. Який візерунок би ця тінь простежувалася? Якщо ви подумаєте про це, ви можете зрозуміти, що тінь буде здійснювати рух вліво і вправо, знову і знову, коли рука годинника обертається. Тепер уявіть, що замість стіни був великий аркуш паперу, на який потрапляла тінь. І куди б не падала тінь, на папері була б позначка. Нарешті, уявіть, що рухаєте папір, коли годинник обертається. Чи можете ви собі уявити собі зразок, який би простежував?

Косинусні та секантні графіки

Якщо ви читали інші розділи тригонометрії в цьому курсі, ви, можливо, дізналися, що синус і косинус дуже тісно пов'язані між собою. Косинус кута такий же, як синус його додаткового кута. Отже, не повинно бути несподіванкою, що синусоїди і косинуси дуже схожі тим, що вони обидва періодичні з періодом\(2\pi \), діапазоном від -1 до 1, і областю всіх реальних кутів.

Косинус кута є співвідношенням\(\dfrac{x}{r}\), тому в одиничному косинусі є x−координата точки обертання. Якщо ми простежуємо координату x через поворот, зверніть увагу на зміну відстані\(\cos x\) початку на одному. Координата x\(0^{\circ}\) дорівнює 1, а x−координата\(90^{\circ}\) дорівнює 0, тому значення косинуса зменшується з 1 до 0 через 1-й квадрант.

Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Малюнок\(\PageIndex{4}\)

Малюнок\(\PageIndex{5}\)

Ось послідовність обертань. Порівняйте координату x− точки обертання з висотою точки, коли вона простежується вздовж горизонталі. Ці малюнки\((\theta ,\cos \theta )\) розміщують на координатній площині як\((x,y)\).

Малюнок\(\PageIndex{6}\)

Малюнок\(\PageIndex{7}\)

Малюнок\(\PageIndex{8}\)

Малюнок\(\PageIndex{9}\)

Малюнок\(\PageIndex{10}\)

Побудова кутів квадранта та заповнення міжрядних значень показує графік\(y=\cos x\)

Малюнок\(\PageIndex{11}\)

Малюнок\(\PageIndex{12}\)

Графік\(y=\cos x\) має період\(2\pi \). Діапазон косинусної кривої дорівнює,\({−1\leq y\leq 1}\) а область всіх реалів.\(\cos x\) Якщо ви вивчили функцію синуса, ви можете помітити, що форма кривої точно така ж, але зміщена на\(\dfrac{\pi }{2}\).

Секанс - зворотний косинус, або\(\dfrac{1}{x}\). Тому, коли косинус дорівнює нулю, секанс буде мати вертикальну асимптоту, оскільки вона буде невизначена. Він також має той же знак, що і функція косинуса в тих же квадрантах. Ось графік.

Малюнок\(\PageIndex{13}\)

Період функції\(2\pi \), як і косинус. Доменом функції є всі дійсні числа, крім кратних,\(\pi \) починаючи з\(\dfrac{\pi }{2} \cdot \left\{\ldots, −\dfrac{\pi }{2},\dfrac{\pi }{2}, 0, \dfrac{3\pi }{2}, \dfrac{5 \pi }{2} \ldots \right\}\). Діапазон - це всі дійсні числа, більші або рівні 1, а також всі дійсні числа, менші або рівні -1. Зверніть увагу, що діапазон - це все, крім випадків, коли косинус визначено (крім вершин і низів кривої косинуса).

Малюнок\(\PageIndex{14}\)

Знову зверніть увагу на взаємні відносини при 0 і асимптотах. Також подивіться на точки перетину графіків на 1 і -1. Знову ж таки, цей графік виглядає параболічним, але це не так.

Намалюйте графік

Намалюйте графік\(h(x)=5+\dfrac{1}{2}\sec 4x\) над інтервалом\([0,2\pi ]\).

Якщо порівняти цей приклад з\(f(x)=\sec x\), то він буде переведений на 5 одиниць вгору, з амплітудою\(\dfrac{1}{2}\) і частотою 4. Це означає\(2\pi \), що в нашому інтервалі від 0 до буде 4 січних кривих.

Малюнок\(\PageIndex{15}\)

Знайдіть рівняння для графіка нижче.

Малюнок\(\PageIndex{16}\)

Перш за все, це може бути як січна, так і косекансна функція. Припустимо, це секантна функція. Секанс зазвичай перетинає вісь y як мінімум на рівні (0,1). Тепер, що відповідний мінімум є\(\left(\dfrac{\pi }{2},−2\right)\). Оскільки немає зміни амплітуди, можна сказати, що вертикальний зсув - це різниця між двома значеннями y, -3. Схоже, є зсув фаз і зміна періоду. Від мінімального до мінімального - це один період, який є\(\dfrac{9 \pi }{2}−\dfrac{\pi }{2}=\dfrac{8\pi }{2}=4\pi \) і\(B=\dfrac{2\pi }{4\pi} =\dfrac{1}{2}\). Нарешті, нам потрібно знайти горизонтальний зсув. Оскільки секанс зазвичай перетинає вісь y як\((0,1)\) мінімум, а тепер відповідний мінімум є\(\left(\dfrac{\pi }{2},−2\right)\), можна сказати, що горизонтальний зсув - це різниця між двома значеннями x\(\dfrac{\pi }{2}\). Тому наше рівняння є\(f(x)=−3+\sec \left(\dfrac{1}{2}\left(x−\dfrac{\pi }{2}\right)\right)\).

Графік функції\(h(x)=2−3\cos 4x\)

Малюнок\(\PageIndex{17}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вас запитали, що б тінь простежувалася.

Рішення

Як ви дізналися в цьому розділі, світло, що світиться на обертовій руці, створить тінь у візерунку функції косинуса, починаючи з максимального значення, оскільки рука лежить вздовж осі «x», проходячи через нуль до максимального негативного значення, коли рука лежить вздовж негативної осі «y». Потім він почне збільшуватися, поки не повернеться до максимального значення, коли обертова рука знову лежала вздовж позитивної осі «x».

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Графік\(y=−2+\dfrac{1}{2}\sec (4(x−1))\).

Рішення

Малюнок\(\PageIndex{18}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Визначте функцію створення цього графіка:

Малюнок\(\PageIndex{19}\)

Рішення

Це може бути як сікантна, так і косекансна функція. Ми будемо використовувати косекантну модель. По-перше, вертикальний зсув дорівнює -1. Період є різницею між двома заданими x−значеннями\(7\dfrac{\pi }{4}−\dfrac{3 \pi }{4}=\pi \), тому частота є\(\dfrac{2\pi }{\pi }=2\). Горизонтальний зсув містить частоту, тому\(y=\csc x\) у відповідному x−значенні\(\left(\dfrac{3 \pi }{4},0\right)\) є\(\left(\dfrac{\pi }{2},1\right)\). Різниця між значеннями x полягає в тому,\(\dfrac{3 \pi }{4}−\dfrac{\pi }{2}=\dfrac{3 \pi }{4}−\dfrac{2\pi }{4}=\dfrac{\pi }{4}\) щоб потім помножити її на частоту,\(2\cdot \dfrac{\pi }{4}=\dfrac{\pi }{2}\). Рівняння є\(y=−1+\csc \left(2\left(x−\dfrac{\pi }{2}\right)\right)\).

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Графік\(h(x)=\dfrac{1}{3}\cos 2x\)

Рішення

Малюнок\(\PageIndex{20}\)

Рецензія

Графік кожної з наступних функцій.

1. \(f(x)=\cos (x)\).
2. \(h(x)=\cos (2x)\).
3. \(k(x)=\cos (2x+\pi )\).
4. \(m(x)=−2\cos (2x+\pi )\).
5. \(g(x)=−2\cos (2x+\pi )+1\).
6. \(f(x)=\sec (x)\).
7. \(h(x)=\sec (3x)\).
8. \(k(x)=\sec (3x+\pi )\).
9. \(m(x)=2\sec (3x+\pi )\).
10. \(g(x)=3+2\sec (3x+\pi )\).
11. \(h(x)=\cos \left(\dfrac{x}{2} \right )\).
12. \(k(x)=\cos \left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi }{2}\right)\).
13. \(m(x)=2\cos \left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi }{2}\right)\).
14. \(g(x)=2\cos \left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi }{2}\right)−3\).
15. \(h(x)=\sec \left(\dfrac{x}{4}\right)\).
16. \(k(x)=\sec \left(\dfrac{x}{4}+\dfrac{3\pi }{2}\right)\).
17. \(m(x)=−3\sec \left(\dfrac{x}{4}+\dfrac{3\pi }{2}\right)\).
18. \(g(x)=2−3\sec \left(\dfrac{x}{4}+\dfrac{3\pi }{2}\right)\).

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 2.10.

Лексика

Термін	Визначення
Кругова функція	Кругова функція - це функція, виміряна шляхом вивчення кута повороту навколо координатної площини.

Додаткові ресурси

Відео: Анімація: Графік функції косинуса за допомогою одиничного кола