2.7.4: Синусоїдальні та косекантні графіки
- Page ID
- 54728
Хвиля на основі значення y та радіуса кола; графік на основі зворотного.
Графіки синусоїди та косекансів
Уявіть собі на мить, що у вас є годинник, який має тільки одну руку - який обертається проти годинникової стрілки! Однак рука дуже струнка аж до кінчика, де є кулька на кінці. Насправді рука настільки струнка, що ви цього не помітите. Ви тільки помічаєте м'яч на кінці обертається руки. Ця рука обертається швидше, ніж зазвичай. Ось картинка годинника:
Розглянемо, як було б, якщо ви поставите світло поруч з годинником і нехай тінь від рук впаде на дальню стіну.
Який візерунок би ця тінь простежувалася? Якщо ви подумаєте про це, ви можете зрозуміти, що тінь буде здійснювати рух вгору і вниз, знову і знову, коли рука годинника обертається. Тепер уявіть, що замість стіни був великий аркуш паперу, на який потрапляла тінь. І куди б не падала тінь, на папері була б позначка. Нарешті, уявіть собі переміщення паперу, коли годинник обертається. Чи можете ви собі уявити собі зразок цього б простежити?
Графіки синусоїди та косекансів
На даний момент ви ознайомилися з конкретними значеннями синуса, косинуса та тангенсів для певних кутів повороту навколо координатної сітки. У математиці ми часто можемо багато чому навчитися, дивлячись на те, як змінюється одна кількість, коли ми постійно змінюємо іншу. Ми будемо розглядати значення синуса як функцію кута повороту навколо координатної площини. Ми називаємо будь-яку таку функцію круговою функцією, оскільки їх можна визначити за допомогою одиничного кола. Нагадаємо з попередніх розділів, що синус кута в стандартному положенні\(y\) є співвідношенням\(\dfrac{y}{r}\), де\(r\) -\(y\) координата будь-якої точки кола і відстань від початку до цієї точки.
Оскільки співвідношення однакові для заданого кута, незалежно від довжини радіуса r, ми можемо використовувати одиничну окружність як основу для всіх розрахунків.
Знаменник тепер 1, тому у нас є простіший вираз,\(\sin x=y\). Перевага цього полягає в тому, що ми можемо використовувати y−координату точки на одиничному колі, щоб простежити значення\(\sin \theta \) через повне обертання. Уявіть, якщо ми починаємо з 0, а потім обертаємо проти годинникової стрілки через поступово зростаючі кути. Оскільки y−coordinate є значенням синуса, слідкуйте за висотою точки під час обертання.
Через квадрант I ця висота стає більшою, починаючи з 0, спочатку швидко збільшуючись, потім повільніше, поки кут не досягне\(90^{\circ}\), в якій точці висота знаходиться на максимальному значенні, 1.
Коли ви обертаєтеся у другий квадрант, висота починає зменшуватися до нуля.
Коли ви починаєте обертатися в третій і четвертий квадранти, довжина відрізка збільшується, але цього разу в негативному напрямку, зростаючи до -1 в\(270^{\circ}\) і повертаючись назад до 0 в\(360^{\circ}\).
Після одного повного обертання, навіть незважаючи на те, що кут продовжує збільшуватися, значення синуса повторяться. Те саме було б правдою, якби ми вирішили обертати за годинниковою стрілкою для дослідження негативних кутів, і саме тому функція синуса є періодичною функцією. Період полягає в\(2\pi \) тому, що це вимір кута, перш ніж синус кута повторить свої значення.
Давайте переведемо цей круговий рух на графік значення синуса проти кута повороту. Наступна послідовність малюнків демонструє підключення. Ці малюнки\((\theta, \sin \theta )\) наносять на координатну площину як\((x,y)\).
Після того, як ми обертаємося по колу один раз, значення починають повторюватися. Тому синусоїда, або «хвиля», теж продовжує повторюватися. Найпростіший спосіб накреслення синусоїдальної кривої - це побудова точок для кутів квадранта. Значення\(\sin \theta \) переходить від 0 до 1 до 0 до -1 і назад до 0. Графік вздовж горизонтальної осі, це виглядало б так:
Заповнення проміжків між ними та можливість декількох обертань, а також негативних кутів призводить до графіка,\(y=\sin x\) де\(x\) є будь-який кут повороту, в радіанах.
Як ми вже згадували,\(\sin x\) має період\(2\pi \). Слід також зауважити, що значення y ніколи не перевищують 1 або нижче -1, отже діапазон синусоїдальної кривої дорівнює\(\{−1\leq y\leq 1\}\). Оскільки кути можуть бути будь-якими значеннями і будуть продовжувати обертатися навколо кола нескінченно, немає обмежень на кут\(x\), тому область всіх реалів.\(\sin x\)
Косеканс - зворотний синус, або 1y. Тому, коли синус дорівнює нулю, косеканс матиме вертикальну асимптоту, оскільки вона буде невизначеною. Він також має той же знак, що і функція синуса в тих же квадрантах. Ось графік.
Період функції\(2\pi \), як і синус. Доменом функції є всі дійсні числа, крім кратних\(\pi \left\{\ldots−2\pi ,−\pi ,0,\pi ,2\pi \ldots \right\}\). Діапазон - це всі дійсні числа, більші або рівні 1, а також всі дійсні числа, менші або рівні -1. Зверніть увагу, що діапазон - це все, крім випадків, коли синус визначено (крім точок у верхній і нижній частині синусоїдальної кривої)
Знову зверніть увагу на взаємні відносини при 0 і асимптотах. Також подивіться на точки перетину графіків на 1 і -1. Багатьом студентам нагадують про параболи, коли вони дивляться на півперіод косекансного графа. Хоча вони схожі тим, що кожен з них має локальний мінімум або максимум, і вони мають однакову поведінку початку та кінця, порівняння закінчуються на цьому. Параболи не обмежені асимптотами, тоді як крива косеканса є.
Графічні функції
Графік виконання наступних функцій:
1. \(g(x)=\dfrac{1}{2}\sin (3x)\).
Як видно з графіка, перед функцією зменшується висота функції,\(\dfrac{1}{2}\) в той час як 3 всередині аргументу функції робить функцію «squished» вздовж осі «x».
2. \(f(x)=\dfrac{1}{3} \csc\left(\dfrac{1}{2}x\right)\).
3. \(f(x)=5\sin \left(2\left(x+\dfrac{\pi }{3}\right)\right)\).
Раніше вас запитали, який візерунок буде простежувати тінь.
Рішення
Як ви бачили на цьому уроці, тінь світла, застосованого вертикально до обертової стрілки годинника, простежить синусоїдальний графік. Графік буде починатися з нуля, коли рука лежить рівно вздовж позитивної осі «x». Потім вона збільшувалася, поки рука не буде вертикальною. Потім він зменшувався, поки обертова рука не вказувала прямо вниз. Нарешті, графік знову збільшиться до нуля, коли рука повертається до позитивної осі «x».
Графік\(g(x)=5\csc\left(\dfrac{1}{4}\left(x+\pi \right)\right)\).
Рішення
Визначте функцію створення цього графіка:
Рішення
Це може бути як сікантна, так і косекансна функція. Ми будемо використовувати косекантну модель. По-перше, вертикальний зсув дорівнює -1. Період є різницею між двома заданими x−значеннями\(\dfrac{7 \pi}{4}−\dfrac{3 \pi}{4}=\pi \), тому частота є\(\dfrac{2\pi }{\pi }=2\). Горизонтальний зсув містить частоту, тому\(y=\csc x\) у відповідному x−значенні\(\left(\dfrac{3 \pi}{4},0\right)\) є\(\left(\dfrac{\pi }{2},1\right)\). Різниця між значеннями x полягає в тому,\(\dfrac{3 \pi}{4}−\dfrac{\pi }{2}=3\dfrac{\pi}{4}−\dfrac{2 \pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}\) щоб потім помножити її на частоту,\(2\cdot \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi }{2}\). Рівняння є\(y=−1+\csc \left(2\left(x−\dfrac{\pi }{2}\right)\right)\).
Графік\(h(x)=3\sin \left(\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{\pi }{2}\right)\right)\).
Рішення
Рецензія
Графік кожної з наступних функцій.
- \(f(x)=\sin (x)\).
- \(h(x)=\sin (2x)\).
- \(k(x)=\sin (2x+\pi )\).
- \(m(x)=2\sin (2x+\pi )\).
- \(g(x)=2\sin (2x+\pi )+2\).
- \(f(x)=\csc(x)\).
- \(h(x)=\csc(2x)\).
- \(k(x)=\csc(2x+\pi )\).
- \(m(x)=2\csc(2x+\pi )\).
- \(g(x)=2\csc(2x+\pi )+2\).
- \(h(x)=\sin (3x)\).
- \(k(x)=\sin \left(3x+\dfrac{\pi }{2}\right)\).
- \(m(x)=3\sin \left(3x+\dfrac{\pi }{2}\right)\).
- \(g(x)=3\sin \left(3x+\dfrac{\pi }{2}\right)+3\).
- \(h(x)=\csc(3x)\)
- \(k(x)=\csc\left(3x+\dfrac{3 \pi }{2}\right)\).
- \(m(x)=4\csc\left(3x+\dfrac{3 \pi }{2}\right)\).
- \(g(x)=4\csc\left(3x+\dfrac{3 \pi }{2}\right)−3\).
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 2.9.
Лексика
| Термін | Визначення |
|---|---|
| Кругова функція | Кругова функція - це функція, виміряна шляхом вивчення кута повороту навколо координатної площини. |
Додаткові ресурси
Відео: Анімація: Графік синусоїдальної функції U\ sin g одиничного кола