2.7.3: Графіки дотичних і котангенсів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54719

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Залучайте асимптоти, рознесені\(\pi\) радіани один від одного.

Що робити, якщо ваш інструктор дав вам набір таких графіків:

і попросив вас визначити, які були графіки тангенс і котангенс функцій?

Дотичні та котангенсні графіки

Назва функції дотичної походить від дотичної лінії кола. Це лінія, яка перпендикулярна радіусу в точці на колі так, щоб лінія стосувалася кола рівно в одній точці.

F-D_ЕА AE910c68c4673D197997ФБ0426Б9Д4Б06С14А51А737988 ЕС49254+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Якщо протягнути кут\(\theta \) через одиничну окружність так, щоб він перетинався з дотичною лінією,\(\tan \theta \) буде дорівнює довжині червоного відрізка. Нижче цей відрізок позначений «дотичним сегментом».

Ф-Д_8 КБДФ Ф Ф Б7492Д154Б2Ф9Ф70209 ФД28ЕД 62ББ48 БК 936ADF7579EF1+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Чому? Штирковий відрізок дорівнює 1, оскільки це радіус одиничної окружності. Нагадаємо, що в цілому,\(\tan \theta =\dfrac{y}{x}\). Так ось,\(\tan \theta =\dfrac{\text{tangent segment}}{1}=\text{tangent segment}\)

У міру\(\theta \) збільшення значення\(\tan \theta\) змінюється значення. Коли ми обертаємося через перший квадрант, значення\(\tan \theta \) буде збільшуватися спочатку дуже повільно, а потім швидше.

Ф-Д_Д97Ф1Б2083Д9Ф2Б9768 КД13СБ 5СБ056БК8Ф8ЕФК0Е77995Б499694+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.JPG — Малюнок\(\PageIndex{4}\)

F-д_ддек 3968к961271Ф56А40Д6 ЕДДДД0Е109ФА98Ф 766Е0БФ9А6ЕФК83+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок\(\PageIndex{5}\)

Ф-Д_650ЕБ21С40А4 АД Б99Е702852Ф8А0Е980БД067ДФ 3ДДБ1235Е7де6С65+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок\(\PageIndex{6}\)

Коли ми наближаємося до осі y, відрізок стає нескінченно великим, поки кут дійсно не потрапить\( 90^{\circ}\), і тоді розширення кута і дотичної лінії фактично будуть паралельними і, отже, ніколи не перетинаються.

Ф-Д_64Е5А6С9532 ФЕА 7ДФ 3219 С21д7378А2С8833170С3В60Да8782Б4А9Ф+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок\(\PageIndex{7}\)

Це означає, що немає кінцевої довжини дотичного сегмента, або дотичний сегмент нескінченно великий.

Давайте переведемо цю частину графіка на координатну площину. Ділянка\((\theta ,\tan \theta )\) як\((x,y)\).

Ф-Д_Е7Д8377С8А672Е622Д31Д744Б5Е2ФБ6БД05А8 Деа 8ФБ90С0ФК32С348Ф+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок\(\PageIndex{8}\)

Ф-Д_037Ф93БК 12007БК БД94С24БК 036038А4488Д9 А45АББ909С6834+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок\(\PageIndex{9}\)

Ф-Д_8А86Б5А191ББ ЕЕ1Ф8 ЦЕЕ23Д27Д1Ф031Е8253Ф0Е5Б89 ЕЕЕЕА14+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок\(\PageIndex{10}\)

Ф-Д_58Ф37Ф8036Б33867С39Б42С682960043995С99ЕЕ1Д6ЕД 3Б4С132230+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок\(\PageIndex{11}\)

Насправді, як ми отримуємо нескінченно близько до\(90^{\circ}\), дотичне значення збільшується без обмежень, поки ми насправді досягаємо\(90^{\circ}\), в якій точці тангенс не визначено. Нагадаємо, є деякі кути (\(90^{\circ}\)і\(270^{\circ}\), наприклад), для яких дотична не визначена. Тому в цих точках будуть вертикальні асимптоти.

Обертаючись повз\(90^{\circ}\), перетин розширення кута і дотичної лінії фактично знаходиться нижче осі x. Це добре поєднується з тим, що ми знаємо про тангенс для кута\(2^{nd}\) квадранта, який є негативним. Спочатку він матиме дуже великі негативні значення, але коли кут обертається, відрізок стає коротшим, досягає 0, потім перетинається назад у позитивні числа, коли кут входить у\(3^{rd}\) квадрант. Відрізок знову стане нескінченно великим у міру наближення\(270^{\circ}\). Після того, як не визначено\(270^{\circ}\), кут перетинається в\(4^{th}\) квадрант і знову змінюється від нескінченно негативного, до наближення до нуля, коли ми завершуємо повне обертання.

Ф-Д_8А 54С8ФБКФ 3А384 ФА6С8КБД 1278С0БД96 Фа 76ДД83CF07947CD22+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок\(\PageIndex{12}\)

F-D_519C372 постійного струму C9C456 ДЭС 5880 АББ 7373078C3D85412DF859EE0F37B3F+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок\(\PageIndex{13}\)

Ф-д_СААА266ДСБ68БЦАЕ160Д4Е5160646652ФЦАА5Е93473Е473Ф3ДФД6Д113+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок\(\PageIndex{14}\)

Графік\(y=\tan x\) протягом декількох обертань виглядав би так:

F-D_229D608BB21D 41D 670 ЕД 0Б57С7 ЕБСЕ 3Б44163 ФА0ЕЕ41581Баеф Ф66+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок\(\PageIndex{15}\)

Зверніть увагу, що вісь x вимірюється в радіанах. Наші асимптоти виникають у кожному\(\pi \) радіані, починаючи з\(\dfrac{\pi}{2}\). Тому період графіка дорівнює\(\pi \) радіанам. Домен - це всі реали, за винятком асимптотів в і\(\dfrac{\pi}{2},\; \dfrac{3\pi}{2} ,\; −\dfrac{\pi}{2}\) т.д. і діапазон - це всі дійсні числа.

котангенс - це зворотний тангенс\(\dfrac{x}{y}\), тому було б сенс, що там, де б тангенс мав асимптоту, тепер котангенс буде нульовим. Протилежне цьому теж вірно. Коли тангенс дорівнює нулю, тепер котангенс матиме асимптоту. Форма кривої, як правило, однакова, тому графік виглядає так:

Ф-Д_810ДФ С81177 БС7С0Е6Б1ДБ3А09ФЦ2С9Д3КБА 3ББ 6678CF969B597C0+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок\(\PageIndex{16}\)

F-Д_Д4Ф2Е8 CF75121C2483Ф881Е69Б04Д58CE1ФД8ДД8Е9192248CEFB82EF3E+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок\(\PageIndex{17}\)

Коли ви перекриваєте дві функції, зверніть увагу, що графіки послідовно перетинаються в 1 і -1. Це кути, які мають\(45^{\circ}\) як опорні кути, які завжди мають тангенси та котангенси, рівні 1 або -1. Має сенс, що 1 і -1 є єдиними значеннями, для яких функція і це взаємно однакові. Майте це на увазі, коли ми дивимося на косеканс і сіканс порівняно з їх зворотними синусом і косинусом.

Функція котангенса має область всіх дійсних кутів, крім кратних діапазону - це всі дійсні числа.\(\pi {\ldots −2\pi ,−\pi , 0, \pi , 2\pi \ldots}\)

Начерки графіків

1. Намалюйте графік\(g(x)=−2+\cot \dfrac{1}{3}x\) над інтервалом\([0,6\pi ]\)

Починаючи з\(y=\cot x\),\(g(x)\) буде зміщений вниз два і частота є\(\dfrac{1}{3}\), що означає, що період буде\(3\pi \), а не\(9\pi \). Отже, в нашому інтервалі\([0,6\pi ]\) було б два повних повторення. Червоний графік - це\(y=\cot x\).

Ф-Д_319АФ 90Ф 3285241 ЕАЕ8Д83А6Б6Ф90ДДБДД2А05324135371ДДФЦБ602+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок\(\PageIndex{18}\)

2. Намалюйте графік\(y=−3\tan \left(x−\dfrac{\pi}{4} \right)\) над інтервалом\([−\pi , 2\pi ]\)

Якщо порівняти цей графік з\(y=\tan x\), він буде розтягнутий і перевернутий. Він також матиме фазовий\(\dfrac{\pi}{4} \) зсув вправо. Червоний графік - це\(y=\tan x\).

Ф-Д_ДДС63Е571329Д10А27254Б5Д0Е2Ф38ЕЦ1С518Е6ДД8933CF7910+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок\(\PageIndex{19}\)

3. Намалюйте графік\(h(x)=4\tan \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)+3\) над інтервалом\([0,2\pi ]\)

Константа перед функцією дотичної призведе до розтягування графіка. Він також матиме зсув фаз\(\dfrac{\pi}{2}\) вліво. Нарешті, графік буде зміщений вгору на три. Тут ви можете побачити обидва графіки, де знаходиться червоний графік\(y=\tan x\).

Ф-Д_37750А9А86А 1Д32Е110Е1630Д2959ФББ37А38 ФА28 Е22302DA2D2+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок\(\PageIndex{20}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вас попросили визначити, які графіки є тангенсом і котангенсом.

Рішення

Як ви можете сказати після завершення цього розділу, коли представлені графіки:

Малюнок\(\PageIndex{21}\)
Малюнок\(\PageIndex{22}\)
Малюнок\(\PageIndex{23}\)
Малюнок\(\PageIndex{24}\)
Малюнок\(\PageIndex{25}\)
Малюнок\(\PageIndex{26}\)

Тангенс і котангенс графи є третім і шостим графіками.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Графік\(y=−1+\dfrac{1}{3}\cot 2x\)

Рішення

Ф-Д_4Ф206Е13Е097122731Ф8658Ф0ББ 9835Е3139С3Ф4ДК68Б494 АБ5334+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок\(\PageIndex{27}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Графік\(f(x)=4+\tan (0.5(x−\pi ))\)

Рішення

Ф-Д_9 ЕФ0528С781Б401 ЕБА 05 ЕБ85ЕД 9А3934Д281Б37АА9А3А9А9А9А9А9А9635+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок\(\PageIndex{28}\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Графік\(y=−2\tan 2x\)

Рішення

Ф-ДФ 45Ф0700БК 42272Б62Д03А61 БДФ9А6Ф9Д6Ф9Д64863ДАА 4092c63cc63cc99f8+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок\(\PageIndex{29}\)

Рецензія

Графік кожної з наступних функцій

\(f(x)=\tan (x)\)
\(h(x)=\tan (2x)\)
\(k(x)=\tan (2x+\pi )\)
\(m(x)=−\tan (2x+\pi )\)
\(g(x)=−\tan (2x+\pi )+3\)
\(f(x)=\cot (x)\)
\(h(x)=\cot (2x)\)
\(k(x)=\cot (2x+\pi )\)
\(m(x)=3\cot (2x+\pi )\)
\(g(x)=−2+3\cot (2x+\pi )\)
\(h(x)=\tan \left(\dfrac{x}{2}\right)\)
\(k(x)=\tan \left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4} \right)\)
\(m(x)=3\tan \left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4} \right)\)
\(g(x)=3\tan \left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4} \right)−1\)
\(h(x)=\cot \left(\dfrac{x}{2}\right)\)
\(k(x)=\cot \left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{3\pi}{2} \right)\)
\(m(x)=−3\cot \left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{3\pi}{2} \right)\)
\(g(x)=2−3\cot \left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{3\pi}{2} \right)\)

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 2.11.

Лексика

Термін	Визначення
Кругова функція	Кругова функція - це функція, виміряна шляхом вивчення кута повороту навколо координатної площини.

Додаткові ресурси

Відео: Анімація: Графік функції дотичної за допомогою одиничного кола

Практика: Дотичні та котангенсні графіки