2.7.2: Дотичні графіки

Відрегулюйте довжину кривої або відстань до повторення значень y, від\(2\pi\).

Ваша місія, якщо ви вирішите прийняти його, оскільки Агент Тригонометрія полягає в тому, щоб знайти період і нулі функції\(y=\dfrac{1}{2}\tan 4x\).

Графік тангенсної функції

Графік тангенсної функції сильно відрізняється від синусоїдних і косинусних функцій. Для початку нагадаємо, що дотичне відношення є\(\tan \theta =\dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}\). У радіанах координата для тангенсної функції буде\((\theta ,\tan \theta )\)

\ (\ почати {масив} {llllllll} х &\ тета & 0 &\ dfrac {\ pi} {6} &\ dfrac {\ pi} {4} &\ dfrac {\ pi} {3}\ dfrac {\ pi} {4}\ dfrac {3\ pi} {6} &\ пі\
y &\ тан\ тета &0 &\ dfrac {\ sqrt {3}} {3} &1 &\ sqrt {3}\;\ текст {und.} & -\ sqrt {3} &-1 &-\ dfrac {\ sqrt {3}} {3} &0\ кінець {масив}\)

Після\(\pi \), значення y повторюються, роблячи функцію дотичної періодичної з періодом\(\pi \).

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Червона частина графіка представляє координати в таблиці вище. Повторюючи цю частину, отримуємо весь дотичний граф. Зверніть увагу, що існують вертикальні асимптоти при\(x=−\dfrac{3\pi }{2}\)\(−\dfrac{\pi }{2}\),\(\dfrac{\pi }{2}\) і\(\dfrac{3\pi }{2}\). Якби ми мали розширити графік в будь-якому напрямку, там як і раніше були б вертикальні асимптоти в непарних кратних\ pi 2. Тому домен - це все дійсні числа\(x\neq n\pi \pm \dfrac{\pi }{2}\), де\(n\) ціле число. Діапазон буде всі дійсні числа. Так само, як у випадку з функціями синуса та косинуса, ви можете змінювати амплітуду, зсув фаз та вертикальний зсув

Стандартна форма рівняння - це\(y=a\tan b(x−h)+k\) де\(a\)\(b\),\(h\), і\(k\) такі ж, як і для інших тригонометричних функцій. Для простоти ми не будемо розглядати фазові зсуви (k) в цьому понятті.

Давайте граф\(y=3\tan x+1\) від\([−2\pi ,2\pi ]\) і вказати домен і діапазон.

По-перше, амплітуда дорівнює 3, що означає, що кожне значення y буде потроєне. Потім ми зрушимо функцію вгору на одну одиницю.

Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Зверніть увагу, що вертикальні асимптоти не змінилися. Період виконання цієї функції ще\(\pi \). Тому, якби ми змінили період дотичної функції, ми б використали іншу формулу, ніж те, що ми використовували для синуса та косинуса. Щоб змінити період дотичної функції, скористайтеся формулою\(\dfrac{\pi }{\mid b\mid }\).

Доменом будуть всі дійсні числа, крім випадків, коли виникають асимптоти. Тому доменом цієї функції буде\(x\in R\),\(x\not\in n\pi \pm \dfrac{\pi }{2}\). Діапазон - це всі дійсні числа.

Тепер, давайте граф\(y=−\tan 2\pi\) від\([0,2\pi ]\), держава домен і діапазон, і знайти всі нулі в межах цього домену.

Період цієї дотичної функції буде\(\dfrac{\pi }{2}\) і криві будуть відображатися по осі x.

Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Домен - це всі дійсні числа,\(x\not\in \dfrac{\pi }{4}, \dfrac{3\pi }{4}, \dfrac{5\pi }{4}, \dfrac{7\pi }{4}, \dfrac{\pi }{4} \pm \dfrac{\pi }{2}n\) де\(n\) є будь-яке ціле число. Діапазон - це всі дійсні числа. Щоб знайти нулі, встановлюємо\(y=0\).

\ (\ почати {вирівняний}
0 &=-\ тан 2 х\\
0 &=\ тан 2 х\\
2 х &=\ тан ^ {-1} 0=0,\ пі, 2\ пі, 3\ пі, 4\ пі\
x &= 0,\ dfrac {\ pi} {2},\ пі,\ dfrac {3\ pi} {2},\ pi
\ кінець {вирівняний}\)

Нарешті, давайте граф\(y=\dfrac{1}{4}\tan \dfrac{1}{4}x\) від\([0,4\pi ]\) і вказати домен і діапазон.

Ця функція має період\(\dfrac{\pi }{\dfrac{1}{4}}=4\pi \). Домен - це всі дійсні числа, крім того\(2\pi ,\; 6\pi ,\; 10\pi ,\; 2\pi \pm 4\pi n\), де\(n\) є будь-яке ціле число. Діапазон - це всі дійсні числа.

Малюнок\(\PageIndex{4}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вас просили знайти крапку і нулі функції\(y=\dfrac{1}{2}\tan 4x\).

Рішення

Період є\(\dfrac{\pi }{4}\).

Нулі - це де y дорівнює нулю.

\ (\ почати {вирівняний}
0&=\ dfrac {1} {2}\ тан 4 х\\
0 &=\ тан 4 х\\
4 х &=\ тан ^ {-1} 0=0,\ пі, 2\ пі, 3\ пі\
x &=\ dfrac {1} {4} (0,\ пі, 2\ пі, 3\ пі)\
х &= 0,\ dfrac {\ pi} {4},\ dfrac {\ pi} {2},\ dfrac {3} {4}\ pi
\ end {вирівняний}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Знайти період виконання функції\(y=−4\tan \dfrac{3}{2}x\).

Рішення

Період є\(\dfrac{\pi }{\dfrac{3}{2}}=\pi \cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{2\pi }{3}\).

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Знайти нулі функції з Прикладу 2, з\([0,2\pi ]\).

Рішення

Нулі - це де y дорівнює нулю.

\ (\ почати {вирівняний}
0 &=-4\ тан\ dfrac {3} {2} х\\
0 &=\ тан\ dfrac {3} {2} х\
\ dfrac {3} {2} x &=\ тан ^ {-1} 0=0,\ pi, 3\ пі\\ x &=\ dfrac {2} {1} 0=0,\ pi, 3\ пі\\
x &=\ dfrac {2} {3} (0,\ пі, 2\ пі, 3\ пі)\
х &=0,\ dfrac {2\ pi} {3},\ dfrac {4\ pi} {3}, 2\ pi
\ end {вирівняний}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Знайдіть рівняння дотичної функції з амплітудою 8 і періодом\(6\pi \).

Рішення

Загальне рівняння є\(y=a\tan bx\). Ми це знаємо\(a=8\). Давайте використаємо період для вирішення частоти, або\(b\).

\(\begin{aligned} \dfrac{\pi }{b}&=6\pi \\ b&=\dfrac{\pi }{6\pi }=\dfrac{1}{6}\end{aligned}\)

Рівняння є\(y=8\tan \dfrac{1}{6}x\).

Рецензія

Графік наступні тангенсні функції над\([0,4\pi ]\). Визначте період, домен та діапазон.

1. \(y=2\tan x\)
2. \(y=−\dfrac{1}{3}\tan x\)
3. \(y=−\tan 3x\)
4. \(y=4\tan 2x\)
5. \(y=\dfrac{1}{2}\tan 4x\)
6. \(y=−\tan \dfrac{1}{2}x\)
7. \(y=4+\tan x\)
8. \(y=−3+\tan 3x\)
9. \(y=1+\dfrac{2}{3}\tan \dfrac{1}{2}x\)
10. Знайдіть нулі функції з #1.
11. Знайдіть нулі функції з #3.
12. Знайдіть нулі функції з #5.

Запишіть рівняння тангенсної функції, у вигляді\(y=a\tan bx\), із заданою амплітудою і періодом.

13. Амплітуда: 3 Період:\(\dfrac{3\pi }{2}\)
14. Амплітуда:\(\dfrac{1}{4}\) Період:\(2\pi\)
15. Амплітуда: -2.5 Період: 8
16. Виклик Графік\(y=2\tan \dfrac{1}{3}\left(x+\dfrac{\pi }{4}\right)−1\) закінчено\([0,6\pi ]\). Визначте домен і період.

Відповіді на проблеми з оглядом

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 14.5.

Додатковий ресурс

Інтерактивний елемент