Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.7.1: Графічний тангенс, котангенс, секанс та косеканс

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54730

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Тангенс, котангенс, косеканс і секанс графи. Концепція Карта

    Якщо ви вже знаєте зв'язок між рівнянням і графіком синусоїдальних і косинусних функцій, то інші чотири функції можна знайти шляхом визначення нулів, асимптотів і ключових точок. Чи є перетворення чотирьох нових функцій синусоїдних і косинусних функцій?

    Графік інших тригонометричних функцій

    Секанс і косеканс

    Оскільки секанс є зворотним косинусом, графіки дуже тісно пов'язані між собою.

    F-DFFA860EB6528C6166E0B17B2D40F237371A70b371A70b37F3A066DEDC9+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_зображення_великий палецька_листівка_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Зверніть увагу, де косинус дорівнює нулю, секанс має вертикальну асимптоту і де\(\cos x=1\) потім\(\sec x=1\), а також. Ці дві логічні фрагменти дозволяють відображати будь-яку січну функцію форми:

    \(f(x)=\pm a\cdot \sec (b(x+c))+d\)

    Метод полягає в тому, щоб графікувати його так, як ви б косинус, а потім вставити асимптоти та січні криві, щоб вони торкалися кривої косинуса при її максимальному та мінімальному значеннях. Ця методика ідентична графіку косекансних графіків. Просто використовуйте синусоїдальний графік, щоб знайти місце розташування та асимптоти.

    Тангенс і котангенс

    Графіки дотичної та котангенсної складніші, оскільки вони є співвідношенням синусоїдних і косинусних функцій.

    • \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\)
    • \(\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}\)

    Спосіб продумування графіка\(f(x)=\tan x\) полягає в тому, щоб спочатку визначити його асимптоти. Асимптоти виникають, коли знаменник, косинус, дорівнює нулю. Це відбувається в\(\pm \dfrac{\pi}{2}\),\(\pm \dfrac{3 \pi}{2}\)... Наступне, що потрібно побудувати, це нулі, які виникають, коли чисельник, синус, дорівнює нулю. Це відбувається на\(0,\pm \pi ,\pm ,2\pi \ldots\) З одиничного кола та основної тригонометрії прямокутного трикутника, ви вже знаєте деякі значення\(\tan x\):

    • \(\tan \dfrac{\pi }{4}=1\)
    • \(\tan \left(−\dfrac{\pi }{4}\right)=−1\)

    Побудувавши всю цю інформацію, ви отримуєте дуже хороший сенс щодо того, як виглядає графік дотичної, і ви можете заповнити решту.

    F-D_EB427102 ЕД75695D386D8A12737F41E7F98B9C0B4D38A9700A8+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Зверніть увагу, що періоду дотичної\(\pi \) немає\(2\pi \), тому що він має більш короткий цикл.

    Графік котангенса можна знайти, використовуючи ідентичну логіку як тангенс. Ти знаєш\(\cot x=\dfrac{1}{\tan x}\). Це означає, що граф котангенса матиме нулі всюди, де тангенс має асимптоти та асимптоти, де тангенс має нулі. Ви також знаєте, що там, де тангенс дорівнює 1, котангенс також дорівнює 1. Таким чином, графік котангенса дорівнює:

    F-D_Feeb833d858272057e902f175dc0e60e821d481b2d200f8f2003d8+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)
    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Раніше вас запитали, чи чотири нові функції є перетвореннями синуса і косинуса.

    Рішення

    Чотири нові функції не є чисто перетвореннями синусоїдних і косинусних функцій. Однак секанс і косеканс є перетвореннями один одного, як і тангенс і котангенс.

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Графік функції\(f(x)=−2\cdot \csc (\pi (x−1))+1\).

    Рішення

    Графік функції так, ніби це синусоїдальна функція. Потім вставте асимптоти там, де синусоїдальна функція перетинає синусоїдальну вісь. Нарешті додайте криві косеканси.

    Амплітуда дорівнює 2. Форма - негативний синус. Функція зрушена вгору на одну одиницю і вправо на одну одиницю.

    F-D_FA9A8B5B2FF9B4A3D809AE3B524D0E35E69F0f57b0c33477E51e8CF9+зображення_thumb_поштова листівка_крихіткий+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_png
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    Зауважте, що лише синя частина графіка представляє задану функцію.

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Як записати функцію дотичної як котангенс функції?

    Рішення

    Існує два основних способи переходу між тангенсовою функцією та функцією котангенса. Перший спосіб був розглянутий в прикладі A:\(f(x)=\tan x=\dfrac{1}{\cot x}\).

    Другий підхід передбачає дві трансформації. Почніть з відображення по осі x або y. Зверніть увагу, що це дає ідентичний результат. Далі зсуваємо функцію вправо або вліво на\(\dfrac{\pi}{2}\). Знову ж таки це дає ідентичний результат.

    \(f(x)=\tan x=−\cot \left(x−\dfrac{\pi}{2}\right)\).

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Знайдіть рівняння функції на наступному графіку.

    F-D_609FACB5A550723A0E30E8C3372B8BF0E9ECA37d7cd732839ef8d9+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_png
    Малюнок\(\PageIndex{4}\)

    Рішення

    Якщо з'єднати відносні максимуми та мінімуми функції, вона створює зсунуту криву косинуса, з якою легше працювати.

    F-D_EB8A1ФД7А419130C923B1362E3E985D8B4D0ECEA1E4913662 CFD3+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png
    Малюнок\(\PageIndex{5}\)

    Амплітуда дорівнює 3. Вертикальний зсув - 2 вниз. Період 4, що означає, що\(b=\dfrac{\pi}{2}\). Форма є позитивним косинусом, і якщо ви вирішите почати з x = 0, зсуву фаз не буде.

    \(f(x)=3\cdot \csc \left(\dfrac{\pi}{2}x\right)−2\)

    Приклад\(\PageIndex{5}\)

    Де знаходяться асимптоти по дотичній і чому вони виникають?

    Рішення

    Оскільки\(\tan x=\dfrac{\sin x }{\cos x}\) асимптоти виникають\(\cos x=0\) всякий раз, коли\(\pm \dfrac{\pi}{2},\pm \dfrac{3 \pi}{2}, \ldots\)

    Рецензія

    1. Яку функцію ви можете використовувати, щоб допомогти вам зробити ескіз\(f(x)=\sec x\)? Чому?

    2. Яку функцію ви можете використовувати, щоб допомогти вам зробити ескіз\(g(x)=\csc x\)? Чому?

    Складіть ескіз кожного наступного по пам'яті.

    1. \(f(x)=\sec x\)
    2. \(g(x)=\csc x\)
    3. \(h(x)=\tan x\)
    4. \(k(x)=\cot x\)

    Графік кожного з наведених нижче.

    1. \(f(x)=2\csc (x)+1\)
    2. \(g(x)=2\csc (\dfrac{\pi}{2}x)+1\)
    3. \(h(x)=2\csc \left(\dfrac{\pi }{2}(x−3)\right)+1\)
    4. \(j(x)=\cot \left(\dfrac{\pi }{2}x\right)+3\)
    5. \(k(x)=−\sec \left(\dfrac{\pi }{3}(x+1)\right)−4\)
    6. \(m(x)=−\tan (x)+1\)
    7. \(p(x)=−2\tan \left(x−\dfrac{\pi }{2}\right)+1\)
    8. Знайдіть два способи запису з\(\sec x\) точки зору інших тригонометричних функцій.
    9. Знайдіть два способи запису з\(\csc x\) точки зору інших тригонометричних функцій.

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть\ sec tion 5.7.

    Лексика

    Термін Визначення
    Асимптоти Асимптота - це рядок на графіку функції, що представляє значення, до якого функція може наблизитися, але не досягати (за деякими винятками).
    Косеканс Косеканс кута в прямокутному трикутнику - це залежність, знайдена діленням довжини гіпотенузи на довжину сторони, протилежної заданому куту. Це зворотна функція синуса.
    Котангенс Котангенс кута в прямокутному трикутнику - це залежність, знайдена шляхом ділення довжини сторони, прилеглої до даного кута, на довжину сторони, протилежної заданому куту. Це зворотна функція дотичної.
    Секантний Секанс кута в прямокутному трикутнику - це величина, знайдена діленням довжини гіпотенузи на довжину сторони, прилеглої до заданого кута. Відношення секанс - це зворотне косинусного відношення.
    Трансформації Перетворення використовуються для зміни графіка батьківської функції в граф більш складної функції.
    Вертикальна асимптота Вертикальна асимптота - це вертикальна лінія, що позначає певне значення, до якого графік функції може наблизитися, але ніколи не досягне.