Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.6.9: Загальні синусоїдальні графіки

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54682

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    синусоїди і косинуси і їх зв'язок з одиничним колом.

    Функція косинуса - це координати x одиничного кола, а функція синуса - координати y. оскільки одинична окружність має радіус один і зосереджена на початку координат, як синус, так і косинус коливаються між позитивним і негативним.

    Що відбувається, коли коло не центрується в початковій точці і не має радіуса 1?

    Графіки синусоїдальних функцій

    Сімейство синусоїдальних функцій відноситься до синусоїдальних або косинусних хвиль, оскільки вони однакові, за винятком горизонтального зсуву. Це сімейство функцій також називається сімейством періодичних функцій, оскільки функція повторюється через заданий проміжок часу.

    Розглянемо колесо огляду, яке обертається рівномірно з радіусом 1 одиниці. Він починається з (1, 0) або кута 0 радіанів і обертається проти годинникової стрілки зі швидкістю один цикл на\(2\pi \) хвилину (так що ви можете використовувати час дорівнює радіанам).

    F-D_A98AC6574803C368ABE5288F15310A537497A6C2F72DB4D45C3A9+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    16 точок навколо кола вибираються тому, що вони відповідають ключовим точкам одиничного кола. Їх висоти (значення y) і ширини (x-значення) вже відомі і можуть бути заповнені.

    Спочатку розгляньте висоту в кожній з точок, коли ви подорожуєте по половині кола від початкового місця. Слідкуйте за своєю роботою в таблиці.

    Кут (радіани) Висота (одиниці)
    0 0
    \(\dfrac{\pi }{6}\) \(\dfrac{1}{2}\)
    \(\dfrac{\pi }{4}\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707\)
    \(\dfrac{\pi }{3}\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.866\)
    \(\dfrac{\pi}{2}\) 1
    \(\dfrac{2\pi }{3}\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.866\)
    \(\dfrac{3\pi }{4}\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707\)
    \(\dfrac{5\pi }{6}\) \(\dfrac{1}{2}\)
    \(\pi\) 0

    Зверніть увагу на симетрію висоти навколо\(\dfrac{\pi}{2}\) і подивіться решту таблиці в прикладах. Після того, як таблиця буде закінчена, ви можете побудувати ці точки на правильній координатній площині, де вісь x - кут, а вісь y - висота. Це перша частина графіка синусоїдальної функції.

    F-D_F6901a4883D39a3D24FB510B144024A1878E2237b98F41c608745Dee+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_зображення_великий палецька_листівка_крихітка_png
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    Щоб закінчити графік синусоїдальної функції, закінчіть таблицю висот точок у квадрантах III і IV і намалюйте цілий цикл (відомий як період) функції синуса.

    Кут (радіани) Висота (одиниці)
    \(\pi\) 0
    \(\dfrac{7\pi }{6}\) \(−\dfrac{1}{2}\)
    \(\dfrac{5\pi }{4}\) \(−\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx −0.707\)
    \(\dfrac{4\pi }{3}\) \(−\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx −0.866\)
    \(\dfrac{3\pi}{2}\) -1
    \(\dfrac{5\pi }{3}\) \(−\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx −0.866\)
    \(\dfrac{7 \pi}{4}\) \(−\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx −0.707\)
    \(\dfrac{11 \pi}{6}\) \(−\dfrac{1}{2}\)
    \(2\pi\)

    0
    F-D_F92С7БА 0ДСБ87Д80Д87С03А28Ф25С73888DA579D45F247D1E06419D3+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    Подібно синусу, ви можете використовувати свої знання кутів 0,,\(\dfrac{\pi}{2}\),\(\pi \)\(\dfrac{3\pi}{2}\),\(2\pi \) на одиничному колі, щоб отримати повний цикл косинусного графіка. У той час як функція синуса використовує y-координати, функція косинуса - це координати x одиничного кола і вимірює ширину. Посилаючись на одиничне коло або свою пам'ять, ви можете заповнити набагато коротшу таблицю, ніж раніше.

    Кут (радіани) Ширина (одиниці)
    0 1
    \(\dfrac{\pi}{2}\) 0
    \(\pi\) -1
    \(\dfrac{3\pi}{2}\) 0
    \(2\pi\) 1

    Спочатку намалюйте ці п'ять точок, а потім з'єднайте їх плавною кривою. Це призведе до створення косинусного графіка.

    F-D_970479E189Ф60ad5E2F64d84АC 25144Б4ФДД62СБДФ30Б463БДФ92А2+зображення_thumb_поштова листівка_крихіткий+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png
    Малюнок\(\PageIndex{4}\)

    Визначення цих п'яти основних моментів є ключем до побудови графіків синус або косинусів навіть при зміщенні або розтягуванні графіка.

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Раніше вас запитали, що відбувається, коли коло не центрується на початку і не має радіуса 1.

    Рішення

    Одиничне коло створює графіки синусів та косинусів батьківської функції. Коли одиничне коло зміщується вгору або вниз, робиться ширше або вужче, або обертається швидше або повільніше в будь-якому напрямку, то графіки функцій синуса і косинуса будуть трансформуватися за допомогою основних правил перетворення функцій.

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Що відбувається по обидва боки від синусоїдних і косинусних графіків? Чи можете ви пояснити чому?

    Рішення

    Графіки функцій синус (синій) і косинус (червоний) вічно повторюються в обох напрямках.

    F-D_ECFE15D1E3B907e0158250d11b0b0b0A8447ae9b98c0b9db097+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png
    Малюнок\(\PageIndex{5}\)
    F-D_915b334E5BB824A1958704b9eb2f5805b7b7bfd35d5afe2746103C+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png
    Малюнок\(\PageIndex{6}\)

    Якщо подумати про приклад з колесом огляду, то їзда буде триматися на спінінг і крутиться назавжди. Ось чому один і той же цикл графіка повторюється знову і знову.

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Як однакові графіки синусів і косинусів і чим вони відрізняються?

    Рішення

    Синусоїдальний графік такий самий, як і графік косинусів, зміщений на\(\dfrac{\pi}{2}\). Крім зсуву, обидві криві ідентичні завдяки ідеальній симетрії кіл.

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Де два максимуми і два мінімуми синусоїдального графа?

    F-D_ECFE15D1E3B907e0158250d11b0b0b0A8447ae9b98c0b9db097+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png
    Малюнок\(\PageIndex{7}\)

    Рішення

    Один максимум синусоїдального графіка відбувається при\(\left(\dfrac{\pi}{2}, 1\right)\). Один мінімум відбувається при\(\left(\dfrac{3\pi}{2}, −1 \right)\). Це один цикл синусоїдального графіка. Оскільки він завершує цикл кожен\(2\pi \), коли ви додаєте\(2\pi \) до координати x, ви будете знаходитися на тій же точці циклу, даючи вам інший максимум або мінімум.

    \(\left(\dfrac{5\pi}{2},1\right)\)це ще один максимум. \(\left(\dfrac{7\pi}{2},−1\right)\)це ще один мінімум.

    Приклад\(\PageIndex{5}\)

    У проміжку\([−2\pi ,4\pi )\) де косинус має нулі?

    Рішення

    Спостерігайте, де крива косинуса має координати x, рівні нулю. Зверніть увагу, що з інтервалу виключається 4\ pi. Значення є\(−\dfrac{3\pi}{2},−\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2},\dfrac{5\pi}{2},\dfrac{7\pi}{2}\).

    F-D_915b334E5BB824A1958704b9eb2f5805b7b7bfd35d5afe2746103C+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png
    Малюнок\(\PageIndex{8}\)

    Рецензія

    1. \(p(x)=\sin x\)Ескіз по пам'яті.

    2. \(j(x)=\cos x\)Ескіз по пам'яті.

    3. Де виникають максимуми косинусного графа?

    4. Де відбуваються мінімуми косинусного графіка?

    5. Знайти всі нулі синусоїдальної функції на інтервалі\(\left[−\pi ,\dfrac{5\pi}{2}\right]\).

    6. Знайти всі нулі функції косинуса на інтервалі\(\left(−\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{7\pi}{2}\right]\).

    7. Попередній перегляд: використовуючи свої знання про перетворення функцій та графік косинусів, передбачте, як\(f(x)=2\cos x\) виглядатиме графік.

    8. Попередній перегляд: використовуючи свої знання про перетворення функцій та графік косинусів, передбачте, як виглядатиме графік\(g(x)=\cos x+2\).

    9. Попередній перегляд: використовуючи свої знання про перетворення функцій та графік косинусів, передбачте, як\(h(x)=\cos (x−\pi )\) виглядатиме графік.

    10. Попередній перегляд: використовуючи свої знання про перетворення функцій та графік косинусів, передбачте, як\(k(x)=−\cos x\) виглядатиме графік.

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 5.2.

    Лексика

    Термін Визначення
    косинус Косинус кута в прямокутному трикутнику - це величина, знайдена діленням довжини сторони, прилеглої до даного кута, на довжину гіпотенузи.
    синус Синус кута в прямокутному трикутнику - це величина, знайдена діленням довжини сторони, протилежної заданому куту, на довжину гіпотенузи.
    сімейство синусоїдальних функцій Сімейство синусоїдальних функцій відноситься до синусоїдальних або косинусних хвиль, оскільки вони однакові, за винятком горизонтального зсуву. Це сімейство функцій також називається сімейством періодичних функцій, оскільки функція повторюється через заданий проміжок часу.
    Трансформації Перетворення використовуються для зміни графіка батьківської функції в граф більш складної функції.
    одиниця коло Одинична окружність - це коло радіуса один, центрований у початковій точці.
    нулі Нулі функції\(f(x)\) - це значення,\(x\) які змушують\(f(x)\) дорівнювати нулю.

    Додаткові ресурси

    Інтерактивний елемент

    Відео: Трансформація тригонометричних графіків: амплітуда, період та фазовий зсув

    Реальний світ: об'єднання разом