2.6.8: Тригонометричні тотожності та рівняння

На основі амплітуди, частоти, а також горизонтальних і вертикальних перекладів.

Ваш вчитель математики вирішив дати вам вікторину, щоб побачити, чи розпізнаєте ви, як поєднувати зміни в графіках синусоїдних і косинусних функцій. Ви пам'ятаєте, що ви дізналися про зсув графіків, а також розтягування/розширення їх. Але тепер ваш вчитель хоче побачити, чи знаєте ви, як об'єднати обидва ці ефекти в один графік. Вона дає вам рівняння:

\(f(x)=3+7\sin \left(4\left(x+\dfrac{\pi }{2}\right)\right)\)

і просить вас побудувати рівняння, а потім визначити, що робить кожна частина вищевказаного рівняння, щоб змінити графік.

Тригонометричні тотожності та рівняння

Загальні рівняння для перекладу та розширення синусоїдних і косинусних хвиль як по горизонталі\(y=D\pm A\sin (B(x\pm C))\), так і по вертикалі:\(y=D\pm A\cos (B(x\pm C))\) або, де A - амплітуда, B - частота, C - горизонтальний переклад, а D - вертикальний переклад.

Згадайте зв'язок між періодом, р і частотою, B.

\(p=\dfrac{2\pi }{B}\)і\(B=\dfrac{2\pi }{p}\)

Маючи ці знання, ми повинні мати можливість намалювати будь-яку функцію синуса або косинуса, а також написати рівняння з урахуванням його графіка.

Давайте розглянемо деякі проблеми, пов'язані з тригонометричними тотожностями та рівняннями.

1. З огляду на функцію:\(f(x)=1+2\sin (2(x+\pi ))\)

а Визначте період, амплітуду та частоту.

З рівняння амплітуда дорівнює 2, а частота також 2. Для пошуку періоду ми використовуємо:

\(p=\dfrac{2\pi }{B}\rightarrow p=\dfrac{2\pi }{2}=\pi\)

Отже, є дві повні хвилі,\([0,2\pi ]\) і кожна окрема хвиля вимагає\(\pi \) радіанів для завершення.

b) Поясніть будь-які вертикальні або горизонтальні переклади, присутні у рівнянні.

\(D=1\)і\(C=−\pi \), таким чином, цей графік був переведений на 1 одиницю вгору, і\ pi одиниці ліворуч.

c Намалюйте графік від\(-2 \pi\) до\(2 \pi\).

Щоб намалювати графік, почніть з графіка\(y=\sin (x)\)

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Переведіть\(\pi \) одиниці графа вліво (значення C).

Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Далі перемістіть графік на 1 одиницю вгору (значення D)

Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Тепер ми можемо додати розширення. Пам'ятайте, що «відправна точка» хвилі -\(−\pi \) через горизонтального перекладу. Звичайна синусоїда приймає\(2 \pi\) одиниці для завершення циклу, але ця хвиля завершує один цикл в\(\pi \) одиницях. Перша хвиля завершиться на 0, потім ми побачимо другу хвилю від 0 до\(\pi \) і третю від\(\pi \) до\(2 \pi\). Почніть з розміщення точок за такими значеннями:

Малюнок\(\PageIndex{4}\)

Використовуючи симетрію, кожен інтервал потрібно перетнути лінію\(y=1\) через центр хвилі.

Малюнок\(\PageIndex{5}\)

Одна синусоїда містить «гору» і «долину». Гірський «пік» і низька точка долини повинні відбуватися на півдорозі між точками вище.

Малюнок\(\PageIndex{6}\)

Продовжити криву через домен.

Малюнок\(\PageIndex{7}\)

Нарешті, продовжте мінімальну та максимальну точки, щоб відповідати амплітуді 2.

Малюнок\(\PageIndex{8}\)

2. З огляду на функцію:\(f(x)=3+3\cos \left(\dfrac{1}{2}\left(x−\dfrac{\pi }{2}\right)\right)\)

а Визначте період, амплітуду та частоту.

З рівняння амплітуда дорівнює 3, а частота -\(\dfrac{1}{2}\). Для пошуку періоду ми використовуємо:

\(\text{period}=\dfrac{2\pi }{\dfrac{1}{2}}=4\pi\)

Отже, існує лише одна половина кривої косинуса від 0 до,\(2 \pi\) і кожна окрема хвиля вимагає\(4\pi \) радіанів для завершення.

b) Поясніть будь-які вертикальні або горизонтальні переклади, присутні у рівнянні.

\(D=3\)і\(C=\dfrac{\pi }{2}\), таким чином, цей графік був переведений на 3 одиниці вгору, а\(\dfrac{\pi }{2}\) одиниці вправо.

c Намалюйте графік від\(-2 \pi\) до\(2 \pi\).

Щоб намалювати графік, почніть з графіка\(y=\cos (x)\)

Малюнок\(\PageIndex{9}\)

Відрегулюйте амплітуду так, щоб косинусна хвиля сягала до 3 і вниз до негативних трьох. Це впливає на максимальні точки, але точки на осі x залишаються незмінними. Ці точки іноді називають вузлами.

Малюнок\(\PageIndex{10}\)

Відповідно до періоду, ми повинні побачити одну з цих фігур кожної\(4\pi \) одиниці. Оскільки інтервал вказано,\([−2\pi ,2\pi ]\) а крива косинуса «починається» з\((0, 3)\) осі y, а значення дорівнює -3.\(2\pi \) І навпаки, при\(−2\pi \), функція також дорівнює -3.

Малюнок\(\PageIndex{11}\)

Тепер змістіть\(\dfrac{\pi }{2}\) одиниці графа вправо.

Малюнок\(\PageIndex{12}\)

Нарешті, нам потрібно відрегулювати вертикальний зсув, перемістивши його вгору на 3 одиниці.

Малюнок\(\PageIndex{13}\)

3. Знайдіть рівняння синусоїди, наведене тут.

Малюнок\(\PageIndex{14}\)

Перш за все, пам'ятайте, що для моделювання цих графіків можна використовувати або синус, або косинус. Однак зазвичай простіше використовувати косинус, оскільки горизонтальний зсув легше знайти в більшості випадків. Тому модель, яку ми будемо використовувати, є\(y=D\pm A\cos (B(x\pm C)) \).

По-перше, якщо ми думаємо про графік як косинус функції, він має горизонтальний переклад нуля. Максимальна точка також є y−перехопленням графіка, тому немає необхідності зрушувати графік по горизонталі і, отже,\(C=0\). Амплітуда - це висота від центру хвилі. Якщо ви не можете знайти центр хвилі на вигляд, ви можете обчислити його. Центр повинен знаходитися на півдорозі між найвищою та найнижчою точками, що дійсно є середнім значенням максимуму та мінімуму. Це значення фактично буде вертикальним зсувом, або значенням D.

Малюнок\(\PageIndex{15}\)

\(D=\text{center}=\dfrac{60+−20}{2}=\dfrac{40}{2}=20\)

Амплітуда - це висота від центральної лінії, або вертикальний зсув, або до мінімального, або максимального. Отже,\(A=60−20=40\).

Останнє значення, яке потрібно знайти, - частота. Для того, щоб це зробити, ми повинні спочатку знайти період. Період - це відстань, необхідне для однієї повної хвилі. Щоб знайти це значення, подивіться на відстань по горизонталі між двома послідовними максимальними точками.

Малюнок\(\PageIndex{16}\)

На нашому графіку від максимуму до максимуму дорівнює 3.

Тому період дорівнює 3, тому частота є\(B=\dfrac{2\pi }{3}\).

Тепер ми розрахували кожен з чотирьох параметрів, необхідних для написання рівняння. Заміна їх в рівнянні дає:

\(y=20+40\cos \dfrac{2\pi }{3} x\)

Якби ми вирішили моделювати цю криву за допомогою синусоїдальної функції, амплітуда, період і частота, а також вертикальний зсув були б однаковими. Єдиною відмінністю буде горизонтальний зсув. Синусоїда починається посередині похилого вгору ділянки кривої, як показано червоним колом.

Малюнок\(\PageIndex{17}\)

Ця точка перетинається з вертикальною лінією перекладу і становить третину відстані назад до -3. Так, в даному випадку синусоїда була переведена на 1 одиницю вліво. Рівняння, що використовує функцію синуса замість цього, було б:\(y=20+40\sin \left(\dfrac{2\pi }{3}(x+1)\right)\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вас попросили змова\(f(x)=3+7\sin \left(4\left(x+\dfrac{\pi }{2}\right)\right)\).

Рішення

Маючи передові знання синусоїдальних рівнянь, ви можете визначити в рівнянні:

\((f(x)=3+7\sin \left(4\left(x+\dfrac{\pi }{2}\right)\right)\)

Вертикальний зсув графіка становить 3 одиниці вгору. Амплітуда графіка дорівнює 7. Горизонтальний зсув графіка - це\(\dfrac{\pi }{2}\) одиниці вліво. Частота дорівнює 4.

Так як частота дорівнює 4, то період можна обчислити:

\(\begin{aligned} p&=\dfrac{2\pi}{f} \\ p&=\dfrac{2\pi }{4} \\ p&=\dfrac{\pi }{2}\end{aligned}\)

Це означає, що графік приймає\ pi 2 одиниці, щоб зробити один повний цикл.

Графік цього рівняння виглядає так:

Малюнок\(\PageIndex{18}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Визначте амплітуду, період, частоту, максимальну та мінімальну точки, вертикальний зсув та горизонтальний зсув\(y=2+3\sin (2(x−1))\).

Рішення

Це синусоїда, яка була переведена на 1 одиницю вправо і 2 одиниці вгору. Амплітуда 3, а частота - 2. Період графіка дорівнює\(\pi \). Функція досягає максимальної точки 5 і мінімум -1.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Визначте амплітуду, період, частоту, максимальну та мінімальну точки, вертикальний зсув та горизонтальний зсув\(y=−1+\sin \left(\pi \left(x+\dfrac{\pi }{3}\right)\right)\).

Рішення

Це синусоїда, яка була переведена на 1 одиницю вниз і\(\dfrac{\pi }{3}\) радіани вліво. Амплітуда дорівнює 1, а період - 2. Частота графіка дорівнює\(\pi \). Функція досягає максимальної точки 0 і мінімум -2.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Визначте амплітуду, період, частоту, максимальну та мінімальну точки, вертикальний зсув та горизонтальний зсув\(y=\cos (40(x−120))+5\).

Рішення

Це косинусна хвиля, яка була переведена на 5 одиниць вгору і 120 радіанів вправо. Амплітуда дорівнює 1, а частота - 40. Період графіка дорівнює\(\dfrac{\pi }{20}\). Функція досягає максимальної точки 6 і мінімум 4.

Рецензія

Для кожного нижче рівняння визначте період, амплітуду, частоту та будь-які вертикальні/горизонтальні переклади.

1. \(y=2−4\cos \left(\dfrac{2}{3}(x−3)\right)\)
2. \(y=3+\dfrac{1}{2}\sin \left(\dfrac{1}{2}(x−\pi )\right)\)
3. \(y=1+5\cos (4(x+\dfrac{\pi }{2}))\)
4. \(y=4−\cos (2(x+1))\)
5. \(y=3+2\sin (x−4)\)

Графік кожного з наступних рівнянь від\(−2\pi \) до\(2\pi \).

6. \(y=1−3\sin \left(\dfrac{1}{3}(x−\pi )\right)\)
7. \(y=5+12\sin \left(\dfrac{1}{2}(x−2)\right)\)
8. \(y=2+\cos \left(4\left(x+\dfrac{\pi }{2}\right)\right)\)
9. \(y=4+2\cos \left(2\left(x+3\right)\right)\)
10. \(y=2−3\sin \left(x−\dfrac{3\pi }{2}\right)\)

Знайдіть рівняння кожної синусоїди.

11. 

    Малюнок\(\PageIndex{19}\)

12. 

    Малюнок\(\PageIndex{20}\)

13. 

    Малюнок\(\PageIndex{21}\)

14. 

    Малюнок\(\PageIndex{22}\)

15. 

    Малюнок\(\PageIndex{23}\)

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 2.17.

Лексика

Термін	Визначення
Тригонометричні загальні рівняння	Тригонометричні загальні рівняння - це\(y=D\pm A\cos (B(x\pm C))\) або\(y=D\pm A\sin (B(x\pm C))\), де A - амплітуда, B - частота, C - горизонтальний переклад, а D - вертикальний переклад.

Додаткові ресурси

Відео: Приклад: Графік перетворення синуса і косинуса

Практика: Тригонометричні тотожності та рівняння