Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.4.3: Склад тригових функцій та їх обернення

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54776

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Застосування синуса, косинуса, дотичної або їх зворотної, а потім іншої функції.

    Ви розглянули тригонометричні функції, і ви розглянули зворотні функції, і тепер прийшов час розглянути, як складати триг-функції та їх зворотні. Якби хтось попросить вас застосувати зворотну функцію трига до іншої функції трига, чи змогли б ви це зробити? Наприклад, чи можете ви знайти\(\sin^{−1}\left(\cos\left(\dfrac{3 \pi}{2}\right)\right)\)?

    Тригонометричні функції та їх зворотні

    В інших розділах ви дізналися, що для функції\(f(f^{−1}(x))=x\) для всіх значень\(x\) для яких\(f^{−1}(x)\) визначено. Якщо ця властивість застосовується до тригонометричних функцій, наступні рівняння будуть істинними кожного разу, коли вони визначені:

    \(\sin(\sin^{−1}(x))=x \qquad \cos(\cos^{−1}(x))=x \qquad \tan(\tan^{−1}(x))=x\)

    Так само, ви дізналися, що\(f^{−1} (f(x))=x\) для всіх значень\(x\) для яких\(f(x)\) визначено. Якщо ця властивість застосовується до тригонометричних функцій, наступні рівняння, які стосуються пошуку оберненої триг-функції триг-функції, будуть істинними лише для значень обмежених областей.\(x\)

    \(\sin^{−1}(\sin(x))=x \qquad \cos^{−1}\left(\cos(x)\right)=x \qquad \tan^{−1}\left(\tan(x)\right)=x\)

    Ці рівняння більш відомі як складові функції. Однак необов'язково мати тільки функцію і її зворотну дію один на одного. Насправді можна мати складову функцію, яка складається з однієї тригонометричної функції в поєднанні з іншою різною тригонометричною функцією. Композитні функції стануть алгебраїчними функціями і не будуть відображати жодної тригонометрії. Давайте досліджуємо це явище.

    При вирішенні цих типів проблем почніть з функції, яка складається всередині іншого і працюйте свій вихід. Використовуйте такі проблеми як орієнтир.

    1. Знайти\(\sin\left(\sin^{−1}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\).

    Ми знаємо\(\sin^{−1}\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\pi}{4}\), що в межах визначеного домену з обмеженим доступом. Потім, нам потрібно знайти\(\sin \dfrac{\pi}{4}\), який є\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Отже, перераховані вище властивості дозволяють зробити коротку стрижку. \(\sin\left(\sin^{−1}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), Подумайте про це, як синус і синус, зворотні скасовують один одного, і все, що залишилося, є\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

    2. Не використовуючи технологію, знайдіть точне значення кожного з наступного:

    а.\(\cos \left(\tan^{−1}\sqrt{3}\right)\)

    \(\cos\left(\tan^{−1}\sqrt{3}\right)\): Перша знахідка\(\tan^{−1}\sqrt{3}\), яка є\(\dfrac{\pi}{3}\). Тоді знайдіть\(\cos\dfrac{\pi}{3}\). Ваша остаточна відповідь\(\dfrac{1}{2}\). Тому,\(\cos\left(\tan^{−1}\sqrt{3}\right)=\dfrac{1}{2}\).

    б.\(\tan \left(\sin^{−1}\left(−\dfrac{1}{2}\right)\right)\)

    \(\tan\left(\sin^{−1}\left(−\dfrac{1}{2}\right)\right)=\tan\left(−\dfrac{\pi}{6}\right)=−\sqrt{3}{3}\)

    c.\(\cos\left(\tan^{−1}(−1)\right)\)

    \(\cos\left(\tan^{−1}(−1)\right)=\cos^{−1}\left(−\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

    д.\(\sin\left(\cos^{−1}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)

    \(\sin\left(\cos^{−1}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sin \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Раніше вас просили вирішити\(\sin^{−1}\left(\cos\left(\dfrac{3 \pi}{2}\right)\right)\).

    Рішення

    Щоб вирішити цю проблему:\(\sin^{−1}\left(\cos\left(\dfrac{3 \pi}{2}\right)\right)\), можна працювати назовні.

    Перша знахідка:

    \(\cos\left(\dfrac{3 \pi}{2}\right)=0\)

    Потім знайдіть:

    \(\sin^{−1} 0=0\)

    або

    \(\sin^{−1} 0=\pi\)

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Знайдіть точне значення\(\cos^{−1}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), без калькулятора, над обмеженим доменом.

    Рішення

    \(\dfrac{\pi}{6}\)

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Оцініть:\(\sin \left(\cos^{−1} \dfrac{5}{13}\right)\)

    Рішення

    \(\begin{aligned} \cos \theta &=\dfrac{5}{13} \\ \sin\left(\cos^{−1}\left(\dfrac{5}{13}\right)\right) &=\sin \theta \\ \sin \theta & =\dfrac{12}{13} \end{aligned}\)

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Оцініть:\(\tan \left(\sin^{−1}\left(−\dfrac{6}{11}\right)\right)\)

    Рішення

    \(\tan\left(\sin^{−1}\left(−\dfrac{6}{11}\right)\right) \rightarrow \sin \theta =−\dfrac{6}{11}\).

    Третя сторона - це\(b=\sqrt{121−36}=\sqrt{85}\).

    \(\tan \theta =−\dfrac{6}{\sqrt{85}}=−\dfrac{6\sqrt{85}}{85}\)

    Рецензія

    Не використовуючи технологію, знайдіть точне значення кожного з наступних.

    1. \(\sin\left(\sin^{−1} \dfrac{1}{2}\right)\)
    2. \(\cos\left(\cos^{−1}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
    3. \(\tan\left(\tan^{−1}\sqrt{3}\right)\)
    4. \(\cos\left(\sin^{−1} \dfrac{1}{2}\right)\)
    5. \(\tan\left(\cos^{−1}1\right)\)
    6. \(\sin\left(\cos^{−1}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
    7. \(\sin^{−1}\left(\sin \dfrac{\pi}{2}\right)\)
    8. \(\cos^{−1}\left(\tan \dfrac{\pi}{4}\right)\)
    9. \(\tan^{−1}\left(\sin\pi \right)\)
    10. \(\sin^{−1}\left(\cos \dfrac{\pi}{3}\right)\)
    11. \(\cos^{−1}\left(\sin−\dfrac{\pi }{4}\right)\)
    12. \(\tan\left(\sin^{−1}0\right)\)
    13. \(\sin\left(\cos^{−1}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
    14. \(\tan^{−1}\left(cos \dfrac{\pi}{ 2}\right)\)
    15. \(\cos\left(\sin^{−1}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 4.6.

    Лексика

    Термін Визначення
    композитна функція Складена функція - це функція,\(h(x)\) утворена за допомогою виведення однієї функції в\(g(x)\) якості входу іншої функції f (x). Складові функції записуються у вигляді\(h(x)=f(g(x))\) або\(h=f\circ g\).