2.4.2: Інверси шляхом відображення
- Page ID
- 54777
Відображати точки з\(f(x)\) усієї лінії\(y = x\).
Ваш інструктор дає вам функцію\(f(x)=(x−1)^2+3\), де\(x\geq 1\), і просить вас знайти зворотне. Ви готові почати маніпулювати рівнянням, коли ваш Інструктор вказує, що ви повинні знайти зворотне за допомогою графіків, а не за допомогою алгебраїчної маніпуляції.
Чи вмієте ви це зробити?
Пошук зворотного шляхом відображення
Визначення оберненої функції алгебраїчно може бути як задіяним, так і складним, тому корисно знати, як\(f\) відображати\(f^{−1}\).
Графік f може бути використаний для отримання графіка\(f^{−1}\) шляхом застосування зворотного принципу відображення:
Точки\((a,b)\) і\((b,a)\) в координатній площині симетричні по відношенню до лінії\(y=x\).
Точки\((a,b)\) і\((b,a)\) є відображенням один одного поперек лінії\(y=x\).
Знаходження оберненої функції
1. Знайти зворотне за\(f(x)=\dfrac{1}{x−5}\) допомогою відображення.
З останнього розділу ми знаємо, що зворотна ця функція є\(y=\dfrac{5x+1}{x}\). Щоб знайти зворотне шляхом відображення, виберіть кілька точок на\(f(x)\), відобразіть їх, використовуючи принцип відображення і графік. Примітка: Координати деяких точок округлені.
\(A: (4, -1)\)
\(B: (4.8, -5)\)
\(C: (2, -0.3)\)
\(D: (0, -0.2)\)
\(E: (5.3, 3.3)\)
\(F: (6, 1)\)
\(G: (8, 0.3)\)
\(H: (11, 0.2)\)
Тепер візьміть ці вісім точок, перемкніть\(x\)\(y\) і сюжет\((y,x)\). З'єднайте їх, щоб зробити зворотну функцію.
\(A^{−1}: (−1,4)\)
\(B^{−1}: (−5,4.8)\)
\(C^{−1}: (−0.3,2)\)
\(D^{−1}: (−0.2,0)\)
\(E^{−1}: (3.3,5.3)\)
\(F^{−1}: (1,6)\)
\(G^{−1}: (0.3,8)\)
\(H^{−1}: (0.2,11)\)
Не всі функції мають зворотні, які є один-на-один. Однак обернену функцію можна змінити на функцію один до одного, якщо до оберненої функції застосовується «обмежений домен».
2. Знайдіть зворотне\(f(x)=x^2−4\).
Давайте використаємо графічний підхід для цього. Функція графічна синім кольором, а її зворотна - червоною.
Зрозуміло, що зворотне відношення не є функцією, оскільки воно не проходить тест вертикальної лінії. Це пов'язано з тим, що всі параболи не проходять тест на горизонтальну лінію. Щоб «зробити» зворотну функцію, ми обмежимо область вихідної функції. Для парабол це досить просто. Щоб знайти обернену цю функцію алгебраїчно, отримаємо\(f^{−1}(x)=\sqrt{x+4}\). Технічно, однак, зворотне полягає в\(\pm\sqrt{x+4}\) тому, що квадратний корінь будь-якого числа може бути позитивним або негативним. Отже, оберненою\(f(x)=x^2−4\) є обидві частини рівняння квадратного кореня,\(\sqrt{x+4}\) і\(−\sqrt{x+4}\). \(\sqrt{x+4}\)поступиться верхньої частини горизонтальної параболи і\(−\sqrt{x+4}\) поступиться нижній половині. Будьте обережні, тому що якщо ви просто графа\(f^{−1}(x)=\sqrt{x+4}\) в графічному калькуляторі, він буде тільки графік верхньої частини зворотного.
Ця техніка секціонування зворотного застосовується для знаходження обернених тригонометричних функцій, оскільки вона є періодичною.
3. Знайдіть зворотне\(f(x)=\dfrac{x−1}{3x+2}\) відображення.
Щоб знайти зворотне шляхом відображення, виберіть кілька точок на\(f(x)\), відобразіть їх, використовуючи принцип відображення і графік. Примітка: Координати деяких точок округлені.
\(A: (0, -.5)\)
\(B: (-1, 2)\)
\(C: (1, 0)\)
\(D: (-2, .75)\)
\(E: (2, .125)\)
\(F: (-3, .57)\)
\(G: (3, .18)\)
Тепер візьміть ці сім точок, перемкніть\(x\)\(y\) і сюжет\((y,x)\). З'єднайте їх, щоб зробити зворотну функцію.
\(A^{−1}: (−.5,0)\)\)
\(B^{−1}: (2,−1)\)
\(C^{−1}: (0,1)\)
\(D^{−1}: (.75,−2)\)
\(E^{−1}: (.125,2)\)
\(F^{−1}: (.57,−3)\)
\(G^{−1}: (.18,3)\)
Не всі функції мають зворотні, які є один-на-один. Однак обернену функцію можна змінити на функцію один до одного, якщо до оберненої функції застосовується «обмежений домен».
Раніше вам було запропоновано знайти зворотну функцію.
Вихідне рівняння є\(f(x)=(x−1)^2+3\).
Рішення
Ось сюжет функції:
Зверніть увагу, що область досліджуваної функції повинна бути обмежена 1 або більше, так що функція буде проходити тест горизонтальної лінії. Деякі моменти, які знаходяться на цьому графіку:
\(A: (1, 3)\)
\(B: (2, 4)\)
\(C: (3, 7)\)
Щоб зіставити зворотну функцію, спочатку візьміть кожну точку і перемкніть значення\(x\) "" і\(y\) "":
\(A^{−1}: (3,1)\)
\(B^{−1}: (4,2)\)
\(C^{−1}: (7,3)\)
Потім з'єднайте ці точки, і ви можете побачити графік зворотної функції. Графік оберненої функції виглядає наступним чином:
У цьому випадку діапазон функції повинен бути обмежений 1 або більше, так що зворотна функція буде проходити тест вертикальної лінії.
Вивчіть наступний графік і дайте відповідь на ці питання:
Чи є графічне відношення функцією?
Чи має відношення зворотне, що є функцією?
Рішення
Графік являє собою функцію один до одного. Він проходить як вертикальну, так і горизонтальну лінію тесту. Оберненою буде функція.
Знайти зворотне за\(f(x)=x^2+2x−15\) допомогою принципу відображення.
Рішення
Вибравши 4-5 точок\(x\) і переключивши\(y\) значення і, ви отримаєте червоний графік нижче.
Знайти зворотне за\(y=1+2 \sin x\) допомогою принципу відображення.
Рішення
Вибравши 4-5 точок\(x\) і переключивши\(y\) значення і, ви отримаєте червоний графік нижче.
Рецензія
Для кожного з наведених нижче графіків відповідають ці питання:
(a) Чи є графічне відношення функцією?
(b) Чи має відношення зворотне, яке є функцією?
-
Малюнок\(\PageIndex{12}\) -
Малюнок\(\PageIndex{13}\) -
Малюнок\(\PageIndex{14}\) -
Малюнок\(\PageIndex{15}\) -
Малюнок\(\PageIndex{16}\) -
Малюнок\(\PageIndex{17}\)
Знайдіть обернену для кожної функції за принципом відображення.
- \(y=x^2+x−2\)
- \(y=x^3\)
- \(y=\sin\left (x−\dfrac{\pi}{2}\right)\)
- \(y=\cos(2x)\)
- \(y=\dfrac{1}{x}\)
- \(y=x^2−9\)
- \(y=−2+\sin\left(\dfrac{1}{2}x\right)\)
- Який тип точок буде знаходитися в одному і тому ж місці як у функції, так і в її зворотному?
- Коли ви графуєте функцію та її зворотну на тому ж наборі осей, де лінія відображення? Чому?
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 4.4.
Лексика
| Термін | Визначення |
|---|---|
| обернена функція | Зворотні функції - це функції, які «скасовують» один одного. Формально\(f(x)\) і\(g(x)\) є оберненими функціями if\(f(g(x))=g(f(x))=x\). |
| Картографування | Відображення - це процедура, яка передбачає побудову точок на координатній сітці, щоб побачити поведінку функції. |