2.4.1: Зворотні функції Trig

Розв'язування для кута заданого тригонометричного відношення.

Обернені функції трига та розв'язування правильних трикутників

Прямокутний трикутник має ноги, які вимірюють 2 одиниці та\(2 \sqrt{3}\) одиниці. Які міри гострих кутів трикутника?

Обернені тригонометричні функції

Ми використовували тригонометричні функції синус, косинус і тангенс, щоб знайти співвідношення окремих сторін у прямокутному трикутнику з заданим кутом. У цій концепції ми будемо використовувати зворотні ці функції\(\sin^{-1}\),\(\cos^{-1}\) і\(\tan^{-1}\), щоб знайти міру кута, коли відомо співвідношення довжин сторін. Коли ми набираємо\(\sin 30^{\circ}\) в наш калькулятор, калькулятор переходить до таблиці і знаходить коефіцієнт трига пов'язаний з\(30^{\circ}\), який дорівнює 12. Коли ми використовуємо обернену функцію, ми кажемо калькулятору шукати співвідношення і дати нам вимір кута. Наприклад:\(\sin^{-1}\left(\dfrac{1}{2}\right)=30^{\circ}\). На калькуляторі ви натиснете,\(2^{ND} SIN\) щоб отримати,\(\sin^{-1}\) а потім введіть\(\dfrac{1}{2}\), закрийте дужки та натисніть ENTER. Екран калькулятора повинен читати,\(\sin^{-1}\left(\dfrac{1}{2}\right)\) коли ви натискаєте ENTER.

Давайте знайдемо міру кута,\(A\) пов'язану з наступними співвідношеннями і круглими відповідями до найближчого ступеня.

1. \(\sin A=0.8336\)
2. \(\tan A=1.3527\)
3. \(\cos A=0.2785\)

За допомогою калькулятора отримуємо наступне:

1. \(\sin^{-1}(0.8336)\approx 56^{\circ}\)
2. \(\tan^{-1} (1.3527)\approx 54^{\circ}\)
3. \(\cos^{-1} (0.2785)\approx 74^{\circ}\)

Тепер знайдемо міри невідомих кутів у показаному трикутнику та округлі відповіді до найближчого ступеня.

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Ми можемо вирішити\(x\) або\(y\) спочатку. Якщо ми вирішимо вирішити\(x\) спочатку, 23 протилежно, а 31 є суміжним, тому ми будемо використовувати дотичне співвідношення.

\(x=\tan^{-1} \left (\dfrac{23}{31}\right)\approx 37^{\circ}\).

Нагадаємо, що в прямокутному трикутнику гострі кути завжди взаємодоповнюють, значить\(90^{\circ} −37^{\circ} =53^{\circ}\), так\(y=53^{\circ}\). Ми також можемо використовувати довжину сторін та коефіцієнт трига для вирішення для y:

\(y=\tan^{-1} \left(\dfrac{31}{23}\right)\approx 53^{\circ}\).

Нарешті, давайте вирішимо правильний трикутник, показаний нижче, і округляємо всі відповіді до найближчої десятої.

Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Ми можемо вирішити для будь-якого кута\(A\) або кута в\(B\) першу чергу. Якщо ми вирішимо вирішити для кута\(B\) спочатку, то 8 - гіпотенуза, а 5 - протилежна довжина сторони, тому ми будемо використовувати синусоїдальне співвідношення.

\(\begin{aligned}\sin B&=\dfrac{5}{8} \\ m\angle B&=\sin^{-1} \left(\dfrac{5}{8}\right)\approx 38.7^{\circ}\end{aligned}\)

Тепер ми можемо знайти A двома різними способами.

Спосіб 1: Ми можемо використовувати тригонометрію і співвідношення косинусів:

\(\begin{aligned}\cos A&=\dfrac{5}{8} \\ m\angle A&=\cos^{-1} \left(\dfrac{5}{8}\right)\approx 51.3^{\circ}\end{aligned}\)

Спосіб 2: Ми можемо відняти\(m\angle B\) від\(90^{\circ}\):\(90^{\circ} −38.7^{\circ} =51.3^{\circ}\) оскільки гострі кути в прямокутному трикутнику завжди компліментарні.

Будь-який метод є дійсним, але будьте обережні з методом 2, оскільки прорахунок кута B зробить міру, яку ви отримаєте для кута, а також\(A\) неправильною.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вас попросили знайти міри гострих кутів трикутника.

Рішення

Спочатку знайдемо гіпотенузу, потім ми можемо вирішити для будь-якого кута.

\(\begin{aligned} 2^2+(2\sqrt{3})^2 &=c^2 \\ 4+12&=c^2 \\ 16&=c^2 \\ c&=4\end{aligned}\)

Один з гострих кутів матиме синус\(\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\).

\(\begin{aligned} \sin A&=\dfrac{1}{2}\\ m\angle A&=\sin^{-1} \dfrac{1}{2}=30^{\circ}\end{aligned}\)

Тепер ми можемо знайти B, віднімаючи\(m\angle A\) з\(90^{\circ}\):\(90^{\circ} −30^{\circ} =60^{\circ}\) оскільки гострі кути в прямокутному трикутнику завжди компліментарні.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Знайдіть міру кута\(A\).

Рішення

\(\begin{aligned} \sin A&=0.2894 \\ \sin^{-1}(0.2894) &\approx 17^{\circ} \end{aligned}\)

\) Приклад\(\PageIndex{3}\)

Знайдіть міру кута\(A\).

Рішення

\(\begin{aligned} \tan A&=2.1432 \\ \tan^{-1} (2.1432)&\approx 65^{\circ} \end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Знайдіть міру кута\(A\).

Рішення

\(\begin{aligned} \cos A&=0.8911 \\ \cos^{-1} (0.8911) &\approx 27^{\circ}\end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Знайдіть міри невідомих кутів у показаному трикутнику. Круглі відповіді до найближчого ступеня.

Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Рішення

\(x=\cos^{-1} \left(\dfrac{13}{20}\right)\approx 49^{\circ} ; \quad y=\sin^{-1}(\dfrac{13}{20})\approx 41^{\circ}\)

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Вирішити трикутник. Довжини округлих сторін до найближчої десятої і кутів до найближчого градуса.

Малюнок\(\PageIndex{4}\)

Рішення

\(m\angle A=\cos^{-1} (\dfrac{17}{38})\approx 63^{\circ} ; m\angle B=\sin^{-1}(\dfrac{17}{38})\approx 27^{\circ} ; a=\sqrt{38^2−17^2} \approx 34.0\)

Рецензія

Використовуйте калькулятор, щоб знайти міру\(\angle B\). Круглі відповіді до найближчого ступеня.

1. \(\tan B=0.9523\)
2. \(\sin B=0.8659\)
3. \(\cos B=0.1568\)
4. \(\sin B=0.2234\)
5. \(\cos B=0.4855\)
6. \(\tan B=0.3649\)

Знайдіть міри невідомих гострих кутів. Круглі заходи до найближчого ступеня.

7. 
   

   Малюнок\(\PageIndex{5}\)

8. 
   

   Малюнок\(\PageIndex{6}\)

9. 

   Малюнок\(\PageIndex{7}\)

10. 

    Малюнок\(\PageIndex{8}\)

11. 

    Малюнок\(\PageIndex{9}\)

12. 

    Малюнок\(\PageIndex{10}\)

Вирішіть наступні правильні трикутники. Круглий кут вимірює до найближчого градуса і довжини сторін до найближчої десятої.

13. 
    

    Малюнок\(\PageIndex{11}\)

14. 

    Малюнок\(\PageIndex{12}\)

15. 

    Малюнок\(\PageIndex{13}\)

Відповіді на проблеми з оглядом

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 13.3.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Оцінка обернених тригонометричних функцій без використання калькулятора - огляд

Практика: Зворотні функції Trig