Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.3.10: Точні значення для зворотного синуса, косинуса та тангенса

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54742

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Знайти всі кути на одиничному колі, що відповідають точним коефіцієнтам трига

    Ви працюєте з трикутною дужкою в класі магазину. Дужка являє собою прямокутний трикутник, а довжина однієї сторони кронштейна -\(\sqrt{3}\approx 1.732\) і вона з'єднана з іншою стороною під прямим кутом. Довжина іншої сторони - 1. Вам потрібно знайти кут, який робить третій шматок з першим шматком, позначений нижче як «C»:

    Ф-д_САЕ 0д7 Плата 4Ф7С9А78Д3Е 265620Б1Д464ДФ685 БК8Е315Д2С90А8С66+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Чи можете ви знайти кут між ніжками дужки?

    До того часу, як ви закінчите читати цей урок, ви зможете відповісти на це питання.

    Зворотний синус, косинус і тангенс

    Зворотні функції трига можуть бути корисними в різних математичних задачах для пошуку кутів, які вам потрібно знати. У багатьох випадках, таких як кути, що включають кратні\(30^{\circ}\)\(90^{\circ}\),\(60^{\circ} \) і, значення триг-функцій часто запам'ятовуються, оскільки вони використовуються так часто.

    Згадайте одиничний коло і критичні значення. За допомогою обернених тригонометричних функцій ви можете знайти значення кута (в радіанах або градусах), коли задано співвідношення та функцію. Переконайтеся, що ви знайдете всі рішення в межах заданого інтервалу.

    Давайте розглянемо кілька прикладів проблем.

    1. Знайти точне значення виразу без калькулятора, в\([0,2\pi )\).

    \(\sin^{-1}\left(−\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)

    Це значення зі спеціальних прямокутних трикутників і одиничного кола.

    Нагадаємо,\(−\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) що з трикутника 30−60−90. Кут відліку для гріха і\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) буде\(60^{\circ}\). Оскільки це синус і він негативний, він повинен бути в третьому або четвертому квадранті. Відповідь - або\(\dfrac{4\pi }{3}\) або\(\dfrac{5\pi }{3}\).

    2. Знайти точне значення виразу без калькулятора, в\([0,2\pi )\).

    \(\cos^{-1}\left(−\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)

    Це значення зі спеціальних прямокутних трикутників і одиничного кола.

    \(−\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)від рівнобедреного прямокутного трикутника. Тоді опорний кут\(45^{\circ}\). Оскільки це косинус і негативний, кут повинен бути або в другому, або в третьому квадранті. Відповідь - або\(\dfrac{3\pi }{4}\) або\(\dfrac{5\pi }{4}\).

    3. Знайти точне значення виразу без калькулятора, в\([0, 2\pi )\).

    \(\tan^{-1}\sqrt{3}\)

    Це значення зі спеціальних прямокутних трикутників і одиничного кола.

    \(\sqrt{3}\)також є трикутником 30−60−90. Тангенс призначений\(\sqrt{3}\) для опорного кута\(60^{\circ}\). Тангенс позитивний в першому і третьому квадрантах, тому відповідь буде\(\dfrac{\pi}{3}\) або\(\dfrac{4\pi}{3}\).

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Раніше вас просили знайти кут між ніжками скоби.

    Рішення

    Використовуючи свої знання про значення триг-функцій для кутів, ви можете працювати назад, щоб знайти кут, який робить дужка:

    \(\begin{aligned} \tan C &=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ \tan^{-1} C &=\tan^{-1}\dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ C&=60^{\circ} \end{aligned}\)

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Знайти точне значення оберненої функції\(\cos^{-1}(0)\), без калькулятора в\([0,2\pi)\)

    Рішення

    \(\dfrac{\pi }{2}, \dfrac{3\pi}{2}\)

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Знайти точне значення оберненої функції\(\tan^{-1}(−\sqrt{3})\), без калькулятора в\([0, 2\pi )\)

    Рішення

    \(\dfrac{2\pi }{3}, \dfrac{5\pi }{3}\)

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Знайти точне значення оберненої функції\(\sin^{-1}(−12)\), без калькулятора в\([0, 2\pi )\)

    Рішення

    \(\dfrac{11\pi}{6}, \dfrac{7\pi}{6}\)

    Рецензія

    Знайти точне значення кожного виразу без калькулятора, в\([0, 2\pi )\).

    1. \(\sin^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
    2. \(\cos^{-1}\left(\dfrac{1}{2}\right)\)
    3. \(\sin^{-1}(1)\)
    4. \(\cos^{-1}\left(−\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
    5. \(\tan^{-1}\left(−\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\)
    6. \(\tan^{-1}(−1)\)
    7. \(\sin^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
    8. \(\cos^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
    9. \(\csc ^{-1}(\sqrt{2})\)
    10. \(\sec ^{-1}(−2)\)
    11. \(\cot ^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{3}}3\right)\)
    12. \(\sec ^{-1}\left(\dfrac{2\sqrt{3}}{2}\right)\)
    13. \(\csc ^{-1}\left(−\dfrac{2\sqrt{3}}{2}\right)\)
    14. \(\cot ^{-1}(−\sqrt{3})\)
    15. \(\cot ^{-1}(−1)\)

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 4.2.

    Лексика

    Термін Визначення
    Тригонометричний зворотний Тригонометрична обернена функція, яка скасовує тригонометричну функцію, щоб дати початковий аргумент функції. Він також може бути використаний для пошуку відсутнього кута трикутника із співвідношення двох сторін трикутника.