2.3.9: Тригонометричні функції кутів більше 360 градусів
- Page ID
- 54703
На основі котермінальних і опорних кутів.
У той час як в місцевому парку розваг з друзями, ви покататися на Go Karts. Ви їдете по круговій доріжці в візках три з половиною рази, а потім зупиняєтеся на «піт-стопі», щоб відпочити. Під час очікування вашого Go Kart, щоб отримати більше палива, ви говорите з друзями про поїздку. Ви знаєте, що одним із способів вимірювання того, як далеко щось пішло навколо кола (або значення трига, пов'язані з ним), є використання кутів. Тим не менш, ви пройшли більше одного повного кола навколо траси.
Чи все ще можна дізнатися, які значення синуса і косинуса для зміни кута, який ви зробили?
Кути більше 360°
Враховуйте кут\(390^{\circ}\). Як ви дізналися раніше, ви можете думати про цей кут як про повне обертання на 360 градусів, плюс додаткові 30 градусів. Тому\(390^{\circ}\) співтермінал с\(30^{\circ}\). Як ви бачили вище з негативними кутами, це означає, що\(390^{\circ}\) має ту саму впорядковану пару\(30^{\circ}\), що і тому вона має ті ж значення трига. Наприклад,
\(\cos 390^{\circ}=\cos 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
Загалом, якщо кут, міра якого більше
\(360^{\circ}\)має опорний кут\(30^{\circ}\), або\(45^{\circ}\)\(60^{\circ}\), або якщо це квадратний кут, ми можемо знайти його впорядковану пару, і тому ми можемо знайти значення будь-якої з тригових функцій кута. Знову ж таки, спочатку визначте опорний кут.
Давайте розглянемо деякі проблеми, пов'язані з кутами більше, ніж\(360^{\circ}\).
Знайдіть значення наступних виразів:
1. \(\sin 420^{\circ}\)
\(\sin 420^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(420^{\circ}\)це повний поворот на 360 градусів, плюс додаткові 60 градусів. Тому кут співтермінальний з\(60^{\circ}\), і тому він поділяє ту саму впорядковану пару,\(\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\). Значення синуса є\(y\) −координатою.
2. \(\tan 840^{\circ}\)
\(\tan 840^{\circ}=−\sqrt{3}\)
\(840^{\circ}\)це два повних обертання, або 720 градусів, плюс додаткові 120 градусів:
\(840=360+360+120\)
Тому\(840^{\circ}\) є співтермінальним з\(120^{\circ}\), тому впорядкована пара є\(\left(−\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\). Значення тангенса можна знайти за наступним:
\(\tan 840^{\circ}=\tan 120^{\circ}=\dfrac{y}{x}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{−\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times −\dfrac{2}{1}=−\sqrt{3}\)
3. \(\cos 540^{\circ}\)
\(\cos 540^{\circ}=−1\)
\(540^{\circ}\)це повний поворот на 360 градусів, плюс додаткові 180 градусів. Тому кут співтермінальний з\(180^{\circ}\), а впорядкована пара є\((-1, 0)\). Таким чином, значення косинуса дорівнює -1.
Раніше вас запитали, чи можна ще дізнатися, які значення синуса і косинуса для зміни кута.
Рішення
Оскільки ви об'їхали трек 3,5 рази, загальний кут, який ви пройшли, становить\(360^{\circ}\times 3.5=1260^{\circ}\). Однак, як ви дізналися в цій одиниці, це еквівалентно\(180^{\circ}\). Таким чином, ви можете використовувати це значення у своїх обчисленнях:
\(\begin{aligned} \sin 1260^{\circ}&=\sin 180^{\circ}=0 \\ \cos 1260^{\circ}&=\cos 180^{\circ}=−1 \end{aligned}\)
Знайдіть значення виразу:\(\sin 570^{\circ}\)
Рішення
Оскільки\(570^{\circ}\) має ту ж клемну сторону, що і\(210^{\circ}\),\(\sin 570^{\circ}=\sin 210^{\circ}=\dfrac{\dfrac{−1}{2}}{1}=\dfrac{−1}{2}\)
Знайдіть значення виразу:\(\cos 675^{\circ}\)
Рішення
Оскільки\(675^{\circ}\) має ту ж клемну сторону, що і\(315^{\circ}\),\(\cos 675^{\circ}= \cos 315^{\circ}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{1}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
Знайдіть значення виразу:\(\sin 480^{\circ}\)
Рішення
Оскільки\(480^{\circ}\) має ту ж клемну сторону, що і\(120^{\circ}\),\(\sin 480^{\circ}=\sin 120^{\circ}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
Рецензія
Знайдіть значення кожного виразу.
- \(\sin 405^{\circ}\)
- \(\cos 810^{\circ}\)
- \(\tan 630^{\circ}\)
- \(\cot 900^{\circ}\)
- \(csc 495^{\circ}\)
- \(\sec 510^{\circ}\)
- \(\cos 585^{\circ}\)
- \(\sin 600^{\circ}\)
- \(\cot 495^{\circ}\)
- \(\tan 405^{\circ}\)
- \(\cos 630^{\circ}\)
- \(\sec 810^{\circ}\)
- \(\csc 900^{\circ}\)
- \(\tan 600^{\circ}\)
- \(\sin 585^{\circ}\)
- \(\tan 510^{\circ}\)
- Поясніть, як оцінити тригонометричну функцію для кута більше\(360^{\circ}\).
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.20.