Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.3.8: Тригонометричні функції негативних кутів

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54731

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Кути вимірюються обертанням за годинниковою стрілкою від позитивної\(x\) осі.

    Під час занять для команди треків, ви регулярно зупиняєтеся, щоб розглянути значення функцій трига для кута, який ви покрили, коли ви бігаєте навколо кругової доріжки у вашій школі. Сьогодні, однак, відрізняється. Щоб зробити речі цікавішими, ваш тренер вирішив, щоб ви та ваші товариші по команді бігли протилежним звичайному напрямку на трасі. З навчання в школі ви знаєте, що це еквівалент "негативного кута».

    Ви побігли\(−45^{\circ}\) по доріжці, і хочете, щоб оштрафувати значення функції косинуса для цього кута. Чи все ще можна знайти значення триг-функцій для цих нових типів кутів?

    Тригонометричні функції негативних кутів

    Нагадаємо, що графічне відображення негативного кута означає обертання за годинниковою стрілкою. На графіку нижче показано\(−30^{\circ}\).

    Ф-Д_49428ФЧ 9Б10387С8Б6818404Д4Б4А9Б4 АББ4 Б74Е98С6217АБ8Б31Ф88+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.JPG
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Зверніть увагу, що цей кут є співтермінальним з\(330^{\circ}\). Так що впорядкована пара є\(\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},−\dfrac{1}{2} \right)\). Ми можемо використовувати цю впорядковану пару, щоб знайти значення будь-якої з тригових функцій\(−30^{\circ}\). Наприклад,\(\cos(−30^{\circ})=x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

    Загалом, якщо негативний кут має опорний кут\(30^{\circ}\), або\(45^{\circ}\)\(60^{\circ}\), або якщо це квадратний кут, ми можемо знайти його впорядковану пару, і тому ми можемо визначити значення будь-якої з тригових функцій кута.

    Пошук значення тригонометричних виразів

    Знайдіть значення наступних виразів:

    1. \(\sin(−45^{\circ} )\)

    \(\sin(−45^{\circ} )=−\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

    \(−45^{\circ}\)знаходиться в\(4^{th}\) квадранті, і має опорний кут\(45^{\circ}\). Тобто цей кут співтермінальний с\(315^{\circ}\). Тому впорядкована пара є,\(\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},−\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\) а значення синуса є\(−\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

    2. \(\sec(−300^{\circ} )\)

    \(\sec(−300^{\circ} )=2\)

    Кут\(−300^{\circ}\) знаходиться в\(1^{st}\) квадранті і має опорний кут\(60^{\circ}\). Тобто цей кут співтермінальний с\(60^{\circ}\). Тому впорядкована пара є,\(\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) а значення секанса є\(\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=2\).

    3. \(\cos(−90^{\circ} )\)

    \(\cos(−90^{\circ} )=0\)

    Кут −90^ {\ circ}\) є співтермінальним з\(270^{\circ}\). Тому впорядкована пара дорівнює (0, -1), а значення косинуса дорівнює 0.

    Ф-Д_887 БК 9АФ851FF88C687DC 552726295 Ф1Д2А3АФ0Д2С7ЕФ522А8АБ4Б+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    Ми також можемо використовувати наші знання про опорні кути та впорядковані пари, щоб знайти значення тригових функцій кутів із мірою більше 360 градусів.

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Раніше вас запитали, чи все ще можна знайти значення триг-функцій для нового типу кутів.

    Рішення

    Те, що ви хочете знайти, так це значення виразу:\(\cos(−45^{\circ})\)

    \(\cos(−45^{\circ} )=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

    \(−45^{\circ}\)знаходиться в\(4^{th}\) квадранті, і має опорний кут\(45^{\circ}\). Тобто цей кут співтермінальний с\(315^{\circ}\). Тому впорядкована пара є,\(\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},−\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\) а значення косинуса є\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Знайдіть значення виразу:\(\cos −180^{\circ}\)

    Рішення

    Кут\(−180^{\circ}\) співтермінальний с\(180^{\circ}\). Тому впорядкована пара очок є\((-1, 0)\). Косинус - це координата «x», тому тут -1.

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Знайдіть значення виразу:\(\sin−90^{\circ}\)

    Рішення

    Кут\(−90^{\circ}\) співтермінальний с\(270^{\circ}\). Тому впорядкована пара очок є\((0, -1)\). Синус - це координата\(y\) "", так що тут -1.

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Знайдіть значення виразу:\(\tan −270^{\circ}\)

    Рішення

    Кут\(−270^{\circ}\) співтермінальний с\(90^{\circ}\). Тому впорядкована пара очок є\((0, 1)\). Тангенс - це координата\(y\) "", поділена на координату\(x\) "". Оскільки координата\(x\) "" дорівнює 0, тангенс не визначено.

    Рецензія

    Розрахуйте кожне значення.

    1. \(\sin −120^{\circ}\)
    2. \(\cos −120^{\circ}\)
    3. \(\tan −120^{\circ}\)
    4. \(\csc −120^{\circ}\)
    5. \(\sec −120^{\circ}\)
    6. \(\cot −120^{\circ}\)
    7. \(\csc −45^{\circ}\)
    8. \(\sec −45^{\circ}\)
    9. \(\tan −45^{\circ}\)
    10. \(\cos −135^{\circ}\)
    11. \(\csc −135^{\circ}\)
    12. \(\sec −135^{\circ}\)
    13. \(\tan −210^{\circ}\)
    14. \(\sin −270^{\circ}\)
    15. \(\cot −90^{\circ}\)

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.19.

    Лексика

    Термін Визначення
    Негативний кут Негативний кут - це кут, виміряний обертанням за годинниковою стрілкою (замість проти годинникової стрілки) від позитивної\(x\) осі.