2.3.7: Опорні кути та кути в одиничному колі
- Page ID
- 54693
Утворюється між кінцевою стороною кута і найближчою частиною\(x\) -осі.
Коли ви ходите в клас математики одного дня, ваш вчитель має сюрприз для класу. Ви збираєтеся грати в серію ігор, пов'язаних з речами, про які ви дізналися в класі. У першій грі ваш вчитель вручає кожній групі учнів вертушка з позначеними віссю\(y\) "» та «.\(x\) Гра полягає в тому, щоб побачити, скільки кутів ви правильно визначите. Однак у цій грі ви повинні дати те, що називається «опорний кут». Ви крутите свій спиннер три рази. На кожній картинці нижче показано одне з обертань:
Чи можете ви правильно визначити опорні кути для цих знімків?
Довідкові кути
Враховуйте кут\(150^{\circ}\). Якщо ми графуємо цей кут у стандартному положенні, ми побачимо, що кінцева сторона цього кута є відображенням кінцевої сторони\(30^{\circ}\), поперек\(y\) осі −.
Зверніть увагу, що\(150^{\circ}\) робить\(30^{\circ} \) кут з негативною\(x\) віссю. Тому ми говоримо, що\(30^{\circ}\) це опорний кут для\(150^{\circ}\). Формально опорний кут кута в стандартному положенні - це кут, утворений з найближчою частиною\(x\) -осі. Зверніть увагу, що\(30^{\circ}\) це опорний кут для багатьох кутів. Наприклад, це опорний кут для\(210^{\circ}\) і для\(−30^{\circ}\).
Загалом, визначення опорного кута для кута допоможе вам визначити значення тригових функцій кута.
Визначення опорних кутів
Графік кожного з наступних кутів і визначити їх опорні кути.
а.\(140^{\circ}\)
\(140^{\circ} \)робить\(40^{\circ} \) кути з негативною\(x\) -віссю. Тому опорний кут є\(40^{\circ} \).
б.\(240^{\circ}\)
\(240^{\circ}\)робить\(60^{\circ}\) кут з негативною\(x\) -віссю. Тому опорний кут\(60^{\circ}\)
c.\(380^{\circ}\)
\(380^{\circ} \)є повним обертанням\(360^{\circ}\), плюс додаткова\(20^{\circ}\). Таким чином, цей кут спів-термінал з\(20^{\circ}\), і\(20^{\circ}\) є його опорним кутом.
Визначення значення тригонометричних функцій
1. Знайдіть впорядковану пару для\(240^{\circ}\) і використовуйте її, щоб знайти значення\(\sin 240^{\circ}\).
\(\sin 240^{\circ} =−\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
Як ми виявили в частині b під питанням вище, опорний кут для\(240^{\circ}\) є\(60^{\circ}\). На малюнку нижче показані\(60^{\circ}\) і три інших кути в одиничному колі, які мають в\(60^{\circ}\) якості опорного кута.
Кінцева сторона кута\(240^{\circ}\) являє собою відображення кінцевої сторони\(60^{\circ}\) над обома осями. Таким чином, координати точки є\(\left(−\dfrac{1}{2},−\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\). y−координата є значенням синуса, отже\(\sin 240^{\circ} =−\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
Так само, як показано на малюнку вище\(60^{\circ}\) і три пов'язаних кути, ми можемо зробити подібні графіки для\(30^{\circ}\) і\(45^{\circ}\).
Знання цих впорядкованих пар допоможе вам знайти значення будь-якої з тригових функцій для цих кутів.
2. Знайти значення\(\cot 300^{\circ}\)
\(\cot 300^{\circ} =−\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
Використовуючи графік вище, ви виявите, що впорядкована пара є\(\left(\dfrac{1}{2},−\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\). Тому значення котангенса\(\cot 300^{\circ}=\dfrac{x}{y}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{1}{2} \times-\dfrac{2}{\sqrt{3}}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
Ми також можемо використовувати концепцію опорного кута та впорядкованих пар, які ми ідентифікували для визначення значень функцій трига для інших кутів.
Раніше вас запитали, чи можна правильно визначити опорні кути на знімках.
Рішення
Так як ви знаєте, як виміряти опорні кути зараз, при огляді блешні, ви знаєте\(30^{\circ}\), що перший кут є\(45^{\circ}\), другий кут, а третій кут є\(60^{\circ}\).
Графік\(210^{\circ}\) і визначити його опорний кут.
Рішення
Графік\(210^{\circ}\) виглядає наступним чином:
і оскільки кут робить кут з негативною віссю\(x\) "", опорний кут є\(30^{\circ}\).\(30^{\circ}\)
Графік\(315^{\circ}\) і визначити його опорний кут.
Рішення
Графік\(315^{\circ}\) виглядає наступним чином:
і оскільки кут робить кут з позитивною віссю\(x\) "", опорний кут є\(45^{\circ}\).\(45^{\circ}\)
Знайдіть впорядковану пару для\(150^{\circ}\) і використовуйте її, щоб знайти значення cos\(150^{\circ}\).
Рішення
Оскільки опорний кут є\(30^{\circ}\), ми знаємо, що координати точки на одиничному колі є\(\left(−\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\). Це те саме, що і значення для\(30^{\circ}\), за винятком того, що координата\(x\) "" є від'ємною замість позитивної. Знаючи це,
\(\cos 150^{\circ}=\dfrac{\text { adjacent }}{\text { hypotenuse }}=\dfrac{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{1}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
Рецензія
- Графік\(100^{\circ}\) і визначити його опорний кут.
- Графік\(200^{\circ}\) і визначити його опорний кут.
- Графік\(290^{\circ}\) і визначити його опорний кут.
Обчисліть кожне значення за допомогою одиничного кола і спеціальних прямокутних трикутників.
- \(\sin 120^{\circ}\)
- \(\cos 120^{\circ}\)
- \(\csc 120^{\circ}\)
- \(\cos 135^{\circ}\)
- \(\sin 135^{\circ}\)
- \(\tan 135^{\circ}\)
- \(\sin 210^{\circ}\)
- \(\cos 210^{\circ}\)
- \(\cot 210^{\circ}\)\)
- \(\sin 225^{\circ}\)
- \(\cos 225^{\circ}\)
- \(\sec 225^{\circ}\)
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.18.
Лексика
| Термін | Визначення |
|---|---|
| Посилання Кут | Опорний кут - це кут, утворений між кінцевою стороною кута і найближчою від позитивної або негативної\(x\) осі. |