Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.3.6: Тригонометричні функції та кути повороту

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54692

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Грунтуючись на одиничному колі.

    Ви наполегливо працювали у вашому математичному класі, і отримуєте, щоб бути досить експертом з функцій trig. Тоді одного разу до вас підходить ваш друг, який на рік попереду вас в школі.

    «Отже, ви досить добре справляєтеся з математикою? І ви добре з функціями trig?» просить він з посмішкою.

    «Так», - відповідаєте ви впевнено. «Я є».

    «Добре, тоді в чому синус\(150^{\circ}\)?» він запитує.

    «Що? Це не має сенсу. Жоден прямокутний трикутник не має такого кута, тому немає можливості визначити цю функцію!» ви скажете.

    Ваш друг сміється. «Як виявляється, цілком можливо мати триг-функції кутів більше, ніж»\(90^{\circ}\).

    Ваш друг просто жартує над вами, або він це має на увазі? Чи можете ви насправді обчислити\(\sin 150^{\circ}\)?

    Кути повороту і тригонометричні функції

    Так само, як можна визначити шість тригонометричних функцій для кутів у прямих трикутниках, ми також можемо визначити ті ж функції з точки зору кутів повороту.

    Розглянемо кут в стандартному положенні, кінцева сторона якого перетинає коло радіуса\(r\). Ми можемо думати про радіус як гіпотенузу прямокутного трикутника:

    Ф-Д_82Ф2998965 АФ 0БА 468 АЦ84Е 1Д2786Д86Е76386С2974А5896 А05512+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Точка,\((x,y)\) де кінцева сторона кута перетинає коло, говорить нам довжини двох катетів трикутника. Тепер ми можемо визначити тригонометричні функції з точки зору\(x\)\(y\), і\(r\):

    \ (\ почати {вирівняний}
    \ cos\ тета &=\ dfrac {x} {r} &\ сек\ theta=\ dfrac {r} {x}\
    \ sin\ тета &=\ dfrac {y} {r} &\ csc\ theta=\ dfrac {r} {у}\
    \ тан\ тета &=\ dfrac {y} x} &\ cot\ theta=\ dfrac {x} {y}
    \ кінець {вирівняний}\)

    І, ми можемо розширити ці функції, щоб включити негострі кути.

    Розглянемо кут в стандартному положенні, таким чином, щоб точка\((x,y)\) на кінцевій стороні кута була точкою на колі з радіусом 1.

    Ф-Д_7ФК 60Д915С790Ф6907БД763058953С6С646340ФКБ7Д6Б2Ф9ЕД8Е131+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    Це коло називається одиничним колом. За допомогою\(r=1\), ми можемо визначити тригонометричні функції в одиничному колі:

    \ (\ почати {масив} {lll}
    \ cos\ theta=\ dfrac {x} {r} =\ dfrac {x} {1} = x &\ сек\ theta=\ dfrac {r} {x} {1} {x}\\ sin
    \ theta=\ dfrac {y} {r} =\ dfrac {y} {1} =y &\ csc\ тета=\ dfrac {r} {y} =\ dfrac {1} {y}\\ tan
    \ theta=\ dfrac {y} {x} &\ cot\ theta=\ dfrac {x} {y}
    \ end {масив}\)

    Зверніть увагу, що в одиничному колі синус і косинус кута є\(y\) і\(x\) координатами точки на кінцевій стороні кута. Тепер ми можемо знайти значення тригонометричних функцій будь-якого кута повороту, навіть квадратних кутів, які не є кутами в трикутниках.

    F-д_64ЕКА 36 ДФ змінного струму 548112606993С6209829Б715Ф77086D1ЦБ56124+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    Ми можемо використовувати малюнок вище для визначення значень функцій трига для квадратних кутів. Наприклад,\(\sin 90^{\circ}=y=1\).

    Визначення значення тригонометричних функцій

    1. Визначте значення шести тригонометричних функцій.

    Точка\((-3, 4)\) є точкою на кінцевій стороні кута в стандартному положенні. Визначте значення шести тригонометричних функцій кута.

    Зверніть увагу, що кут більше 90 градусів, і що кінцева сторона кута лежить у другому квадранті. Це вплине на ознаки тригонометричних функцій.

    Ф-Д_С4Д40С7Б78Ф12034С93А5ДЕ0Е46Ф8280Б5Д6ЦБ871СС2Ф6ААБ59080А+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{4}\)

    \ (\ почати {вирівняний}
    \ cos\ тета &=\ dfrac {-3} {5} &\ сек\ тета=\ dfrac {5} {-3}\
    \ sin\ тета &=\ dfrac {4} {5} &\ csc\ theta=\ dfrac {5} {4}\
    \ тан\ тета &=\ dfrac {4} -3} &\ cot\ theta=\ dfrac {-3} {4}
    \ кінець {вирівняний}\)

    Зверніть увагу, що значення\(r\) залежить від координат даної точки. Завжди можна знайти значення за\(r\) допомогою теореми Піфагора. Однак часто ми дивимося на кути по колу з радіусом 1. Як бачите, це дозволяє спростити визначення функцій trig.

    2. Використовуйте одиничне коло вище, щоб знайти значення\(\cos 90^{\circ}\)

    \(\cos 90^{\circ}=0\)

    Впорядкована пара для цього кута дорівнює (0, 1). Значення косинуса -\(x\) координата,.

    3. Використовуйте одиничне коло вище, щоб знайти значення\(\cot 180^{\circ}\)

    \(\cot 180^{\circ}\)не визначено

    Впорядкована пара для цього кута дорівнює (-1, 0). Співвідношення\(\dfrac{x}{y}\) є\(\dfrac{−1}{0}\), яке не визначено.

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Раніше вас запитали, чи можна реально обчислити\(\sin 150^{\circ}\).

    Рішення

    Оскільки ви тепер знаєте, що можна застосовувати тригонометричні функції до кутів більше ніж\(90^{\circ}\), ви можете обчислити\(\sin 150^{\circ}\). Найпростіший спосіб зробити це без праці - вважати, що кут\(150^{\circ}\) знаходиться в тому ж положенні, що і\(30^{\circ}\), за винятком того, що він знаходиться у другому квадранті. Це означає, що він має ті самі значення\(x\) "» та «\(y\)\(30^{\circ}\), за винятком того, що значення «x» є від'ємним.

    Тому,

    \(\sin 150^{\circ}=\dfrac{1}{2}\)

    Скористайтеся цим малюнком:

    F-D_0E983A666CAD5E220C2F Будиночок 5с8да43д7ДФД5ДДДФ8А30С764С04Д4Д445+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{5}\)

    відповісти на наступні приклади.

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Знайдіть\(\cos \theta\) на колі вище.

    Рішення

    З осей "" і\(x\) "\(y\)" ми бачимо, що координата\(x\) ""\(y\) "є\(−\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), координата є\(\dfrac{1}{2}\), а гіпотенуза має довжину 1. Це означає, що функція косинуса:

    \(\cos \theta=\dfrac{\text { adjacent }}{\text { hypotenuse }}=\dfrac{\dfrac{-\sqrt{3}}{2}}{1}=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}\)

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Знайдіть\(\cot \theta \) на колі вище.

    Рішення

    Ми це знаємо\(\cot =\dfrac{1}{\tan }=\dfrac{1}{\dfrac{\text { opposite }}{\text { adjacent }}}=\dfrac{\text { adjacent }}{\text { opposite }}\). Сусідня сторона до\ тета в колі є\(−\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) і протилежна сторона є\(\dfrac{1}{2}\). Тому,

    \(\cot \theta=\dfrac{\dfrac{-\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1}{2}}=-\sqrt{3}\)

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Знайдіть\(\csc\theta \) на колі вище.

    Рішення

    Ми це знаємо\(\csc =\dfrac{1}{\sin }=\dfrac{1}{\dfrac{\text { opposite }}{\text { hypotenuse }}}=\dfrac{\text { hypotenuse }}{\text { opposite }}\). Протилежна сторона до\(\theta\) в колі є\(\dfrac{1}{2}\) і гіпотенуза дорівнює 1. Тому,

    \(\csc \theta=\dfrac{\text { hypotenuse }}{\text { opposite }}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=2\)

    Рецензія

    Знайдіть значення шести тригонометричних функцій для кожного кута нижче.

    1. \(0^{\circ}\)
    2. \(90^{\circ}\)
    3. \(180^{\circ}\)
    4. \(270^{\circ}\)
    5. Знайдіть синус кута, який проходить через точку\(\left (\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\).
    6. Знайдіть косинус кута, який проходить через точку\(\left (\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\).
    7. Знайдіть тангенс кута, який проходить через точку\(\left (\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\).
    8. Знайдіть січний кут, який проходить через точку\(\left (−\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2}\right)\).
    9. Знайдіть котангенс кута, який проходить через точку\(\left (−\dfrac{\sqrt{3}}{2},−\dfrac{1}{2}\right)\).
    10. Знайдіть косеканс кута, який проходить через точку\(\left (\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2}\right)\).
    11. Знайдіть синус кута, який проходить через точку\(\left (\dfrac{1}{2},−\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\).
    12. Знайдіть косинус кута, який проходить через точку\(\left (−\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\).
    13. Синус кута в першому квадранті дорівнює 0,25. Що таке косинус цього кута?
    14. Косинус кута в першому квадранті дорівнює 0,8. Що таке синус цього кута?
    15. Синус кута в першому квадранті дорівнює 0,15. Що таке косинус цього кута?

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.17.

    Лексика

    Термін Визначення
    Квадрантальний кут Квадратний кут - це кут, який має свою кінцеву сторону на одній з чотирьох ліній осі: позитивний x, негативний x, позитивний y або негативний y.

    Додаткові ресурси

    Інтерактивний елемент

    Відео: Визначення тригонометричних функцій за допомогою одиничного кола