2.3.5: Ознаки тригонометричних функцій

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54741

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

\(x\)і\(y\) значення функції; ознаки функцій на основі квадрантів.

Домен, діапазон та ознаки тригонометричних функцій

Ви малюєте в художньому класі одного дня, коли малюєте коло. Потім ви малюєте кілька ліній, що йдуть назовні від центру до краю кола. Ви малюєте трикутник з віссю\(x\) "" і розумієте, що ви знову думаєте про свій клас математики.

Ф-Д_Ф682328267Е292А04445Ф3Б590С7АФ82КА05003C9E07303Б03968530+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Ви помічаєте, що співвідношення для синусоїдальної функції передбачає довжину сторони, протилежної куту, поділену на довжину гіпотенузи. Але при цьому гіпотенуза завжди позитивне число, знак протилежної сторони може бути різним, в залежності від того, в якому квадранті втягнутий кут.

Чи можете ви визначити, який знак синусоїдальної функції буде в кожному з чотирьох квадрантів, грунтуючись на знанні співвідношення, яке визначає функцію синуса?

Домен і діапазон тригонометричних функцій

Хоча тригонометричні функції можуть здатися зовсім іншими функціями, з якими ви працювали, вони насправді так само, як і будь-яка інша функція. Ми можемо думати про триг-функцію з точки зору «вхід» і «вихід». Вхід завжди є кутом. На виході виходить співвідношення сторін трикутника. Якщо подумати про функції trig таким чином, ви можете визначити область і діапазон кожної функції.

Розглянемо спочатку функції синуса і косинуса. Вхідні дані кожної з цих функцій завжди є кутом, і, як ви дізналися в попередніх розділах, ці кути можуть приймати будь-яке дійсне значення числа. Тому синус і косинус функція мають один і той же домен, множина всіх дійсних чисел,\(R\). Визначити діапазон функцій можна, якщо подумати про те, що синус кута є\(y\) −координатою точки, де кінцева сторона кута перетинає одиничну окружність. Косинусом є\(x\) −координата цієї точки. Тепер нагадаємо, що в одиничному колі ми визначили функції трига через трикутник з гіпотенузою 1.

Ф-Д_199Б94 А4 А7Б9Е5Ф96Е29883Е4890516Ф5412ФДД684479Д769Е061А+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок\(\PageIndex{2}\)

У цьому прямокутному трикутнику\(x\) і\(y\) знаходяться довжини катетів трикутника, які повинні мати довжини менше 1, довжина гіпотенузи. Тому діапазони функції синуса і косинуса не включають значення більше одиниці. Однак діапазони містять негативні значення. Будь-який кут, кінцева сторона якого знаходиться у третьому або четвертому квадранті, матиме від'ємну\(y\) −координату, а будь-який кут, кінцева сторона якого знаходиться у другому або третьому квадранті, матиме від'ємну\(x\) −координату.

F-D_1A0e046E34 Беа АА76943Б8 АД 3Д7849Ф5Ф7Б871Ф65772CDDC871F871B+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок\(\PageIndex{3}\)

У будь-якому випадку мінімальне значення дорівнює -1. Наприклад,\(\cos 180^{\circ} =−1\) і\(\sin 270^{\circ} =−1\). Тому синус і косинус обидві функції мають діапазон від -1 до 1.

У таблиці нижче узагальнено домени та діапазони цих функцій:

	Домен	Діапазон
Синус	\(\theta =R\)	\(−1\leq y\leq 1\)
косинус	\(\theta =R\)	\(−1\leq y\leq 1\)

Знання області та діапазону функції косинуса та синуса може допомогти нам визначити область та діапазон секансної та косекансної функції. Спочатку розглянемо синусоїдні і косекансні функції, які, як ми показали вище, є взаємними. Функція косеканса буде визначена до тих пір, поки значення синуса не дорівнює 0. Тому область косекансної функції виключає всі кути зі значенням синуса 0, які є\(0^{\circ}\)\(180^{\circ}\)\(360^{\circ}\), і т.д.

У розділі 2 ви проаналізуєте графіки цих функцій, що допоможе вам зрозуміти, чому взаємний зв'язок призводить до певного діапазону для косекансної функції. Тут ми викладемо цей діапазон, а в оглядових питаннях ви вивчите значення функції синус і косеканс, щоб почати перевірку цього діапазону, а також області і діапазону функції секанс.

Функція	Домен	Діапазон
Тангенс	\(\theta \in R,\theta \neq 90,270,450 \ldots\)	Всі реала
Котангенс	\(\theta \in R,\theta \neq 0,180,360 \ldots\)	Всі реала

Тепер розглянемо функції тангенса і котангенса. Функція тангенса визначається як\(\tan \theta =\dfrac{y}{x}\). Тому область цієї функції виключає кути, для яких впорядкована пара має\(x\) −координату 0:\(90^{\circ}\)\(270^{\circ}\), тощо. Функція котангенса визначається як\(\cot \theta =\dfrac{x}{y}\), тому область цієї функції виключає кути, для яких впорядкована пара має\(y\) −координату 0: \(0^{\circ} \),\(180^{\circ}\)\(360^{\circ}\), і т.д.

Функція	Домен	Діапазон
Тангенс	\(\theta \in R, \theta \neq 90,270,450\ldots\)	Всі реала
Котангенс	\(\theta \in R,\theta \neq 0 ,180 ,360 \ldots\)	Всі реала

Знання діапазонів цих функцій говорить вам про значення, які слід очікувати, коли ви визначаєте значення триг-функції кута. Однак для багатьох проблем вам потрібно буде виявити ознаку функції кута: позитивний він чи негативний?

Визначаючи діапазони синусоїдних і косинусних функцій вище, ми почали класифікувати ознаки цих функцій за квадрантами, в яких лежать кути. На малюнку нижче підсумовуються знаки для кутів у всіх 4 квадрантах.

F-D_907767C6EF64 КД76 ББДК0Е2КС904945Е3С3А187Е8Б517481396С7+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg — Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Простий спосіб запам'ятати це «У всіх студентів США, щоб зробити калькулюс C». Квадрант I: A всі значення позитивні, квадрант II: S лінія позитивна, квадрант III: T ангент позитивний, а квадрант IV: C озин позитивний. Це просте запам'ятовуючий пристрій допоможе вам згадати, які функції трига позитивні і де.

Постановка знака

1. Вказати знак\(\cos 100^{\circ}\)

Кут\(100^{\circ}\) знаходиться у другому квадранті. Тому\(x\) −coordinate є від'ємним і\(\cos 100^{\circ}\) від'ємним.

2. Вказати знак\(\csc 220^{\circ}\)

Кут\(220^{\circ}\) знаходиться в третьому квадранті. Тому\(y\) −coordinate є від'ємною. Таким чином, синус і косеканс негативні.

3. Вказати знак\(\tan 370^{\circ}\)

Кут\(370^{\circ}\) знаходиться в першому квадранті. Тому дотичне значення є додатним.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вас попросили визначити, який знак синусоїдальної функції буде в кожному з чотирьох квадрантів.

Рішення

Оскільки функція синуса визначається як довжина протилежної сторони, поділена на довжину гіпотенузи, ознакою синусоїдної функції є знак y -координати для будь-якого квадранта, який розглядається. У квадрантах 1 і 2 координата «y» позитивна, тому функція синуса позитивна. У квадрантах 3 і 4 y-координата від'ємна, тому функція синуса також негативна.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Вказати знак\(\cos 70^{\circ}\)

Рішення

Кут\(70^{\circ}\) знаходиться в першому квадранті. Косинус визначається як сусідня сторона, розділена на гіпотенузу. Так як гіпотенуза одиничного кола одна, а суміжна сторона\(x\) - координата -координата, знак косинусної функції визначається знаком\(x\) -координати. Оскільки\(70^{\circ}\) знаходиться в першому квадранті,\(x\) значення позитивне. Тому значення косинуса позитивне.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Вказати знак\(\sin 130^{\circ}\)

Рішення

Кут\(130^{\circ}\) знаходиться у другому квадранті. Синус визначається як протилежна сторона, розділена на гіпотенузу. Так як гіпотенуза одиничного кола одна, а протилежна сторона - y-координата, знак синусоїдальної функції визначається знаком\(y\) -координати. Так як\(130^{\circ}\) знаходиться у другому квадранті,\(y\) значення позитивне. Тому значення синуса позитивне.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Вказати знак\(\tan 250^{\circ}\)

Рішення

Кут\(250^{\circ}\) знаходиться в третьому квадранті. Дотична визначається протилежною стороною, розділеною суміжною стороною. У третьому квадранті\(x\) значення від'ємні, а значення y - від'ємні. Негативний, розділений на негативний, дорівнює позитивному. Тому тангенс\(250^{\circ}\) позитивний.

Рецензія

У яких квадрантах синусова функція позитивна?
У яких квадрантах функція котангенса негативна?
У яких квадрантах функція косинуса негативна?
У яких квадрантах дотична функція позитивна?
Для яких кутів функція косеканса не визначена?
Вказати знак\(\sin 510^{\circ} \).
Вказати знак\(\cos 315^{\circ} \).
Вказати знак\(\tan 135^{\circ} \).
Створіть знак\(\cot 220^{\circ} \).
Створіть знак\(\csc 40^{\circ} \).
Створіть знак\(\cos 330^{\circ} \).
Створіть знак\(\sin 60^{\circ} \).
Створіть знак\(\sec −45^{\circ} \).
Поясніть, чому функція косеканса ніколи не дорівнює 0.
Використовуючи свої знання області та діапазону, зробіть можливий ескіз для\(y= \sin x\).

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.22.

Лексика

Термін	Визначення
домен	Доменом функції є набір\(x\) -значень, для яких визначена функція.
Діапазон	Діапазон функції - це набір\(y\) -значень, для яких визначена функція.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Домен, діапазон та ознаки тригонометричних функцій

Практика: Ознаки тригонометричних функцій