Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.3.2: Вимірювання обертання

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54704

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Вивчіть коефіцієнти тригів кутів більше 90 градусів

    Вступ до кутів повороту, котермінальних кутів та опорних кутів

    В якому квадранті\(−500^{\circ}\) лежить кінцева сторона кута і який опорний кут для цього кута?

    Кути повороту

    Кути повороту утворюються в координатній площині між позитивною\(x\) -віссю (початкова сторона) і променем (кінцева сторона). Позитивні кутові заходи представляють обертання проти годинникової стрілки, а негативні - обертання за годинниковою стрілкою.

    F-D_3B35321БД 6478 ЕЕФ Ц75С54Б2Б3487172Б342682 ДД825373C4933E553+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Оскільки\(x\)\(y\) осі і перпендикулярні, кожна вісь тоді являє собою прирост дев'яносто градусів обертання. На діаграмах нижче показані різноманітні кути, утворені обертанням променя через квадранти координатної площини.

    F-D_C7520154256BE5F341724E024B1A2F6 ДЭ7319979Д88ФДЕ9CF13E0+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    Кут повороту можна описати нескінченно багатьма способами. Він може бути описаний позитивним або негативним кутом повороту або шляхом здійснення декількох повних обертань кола через\(360^{\circ}\). Приклад нижче ілюструє це поняття.

    F-д_Д8919 Ф69А2С674091 СА81 ФЭ8Ф67Б4Э342 КФе 230Д777КА34С41Б412+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    Для кута робиться ціле\(360^{\circ}\) обертання\(525^{\circ}\), а потім ми продовжуємо\(165^{\circ}\) йти іншим\(525^{\circ}\). Тому отриманий кут еквівалентний\(525^{\circ}−360^{\circ}\), або\(165^{\circ}\). Іншими словами, сторона терміналу знаходиться в тому ж місці, що і сторона клеми для\(165^{\circ}\) кута. Якщо відняти\(360^{\circ}\) знову, то отримаємо негативний кут,\(−195^{\circ}\). Оскільки всі вони мають однакову термінальну сторону, їх називають котермінальними кутами.

    Визначимо два котермінальних кута до\(837^{\circ}\), один позитивний і один негативний.

    Щоб знайти котермінальні кути, ми просто додаємо або віднімаємо\(360^{\circ}\) кілька разів, щоб отримати бажані кути. \(837^{\circ}−360^{\circ}=477^{\circ}\), Таким чином, у нас є позитивний котермінальний кут. Тепер ми можемо\(360^{\circ}\) знову відняти, щоб отримати\(477^{\circ}−360^{\circ}=117^{\circ}\).

    Довідковий кут

    Опорний кут - це гострий кут між кінцевою стороною кута і віссю\(x \) —. На діаграмі нижче показані опорні кути для кінцевих сторін кутів у кожному з чотирьох квадрантів.

    Примітка: Опорний кут ніколи не визначається кутом між стороною терміналу та віссю\(y\) —. Це поширена помилка для студентів, особливо коли сторона терміналу, здається, ближче до осі\(y\) -, ніж\(x\) - вісь.

    F-д_ФБ КБК 82Ф5597C753A29F3F3ФЕ382А171ЕБ6Ф863713АА6CD7953+зображення_крихіткий+зображення_крихітковий_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{4}\)

    Тепер визначимо квадрант, в якому\(−745^{\circ}\) лежить і, отже, визначимо опорний кут.

    Оскільки наш кут більше одного повороту, нам потрібно складати,\(360^{\circ}\) поки ми не отримаємо кут, абсолютне значення якого менше\)\(360^{\circ}\):\(−745^{\circ}+360^{\circ}=−385^{\circ}\), знову\(−385^{\circ}+360^{\circ}=−25^{\circ}\).

    Тепер ми можемо побудувати кут і визначити опорний кут:

    Зверніть увагу, що опорний кут є позитивним\(25^{\circ}\). Всі опорні кути будуть позитивними, оскільки вони є гострими кутами (між\(0^{\circ}\) і\(90^{\circ}\)).

    F-D_оголошення 83367Б08С6К07А83Д4 ЕБ857631Б178С1034418Ф764ЕД 360Ф191ББ+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{5}\)

    Нарешті, давайте дамо два котермінальні кути\(595^{\circ}\), один позитивний і один негативний, і знайти опорний кут.

    Щоб знайти котермінальні кути, ми можемо додати/відняти\(360^{\circ}\). У цьому випадку наш кут більше, ніж\(360^{\circ}\) так, має сенс відняти,\(360^{\circ}\) щоб отримати позитивний котермінальний кут:\(595^{\circ}−360^{\circ}=235^{\circ}\). Тепер знову відніміть, щоб отримати негативний кут:\(235^{\circ}−360^{\circ}=−125^{\circ}\).

    Побудувавши будь-який з цих кутів, ми можемо побачити, що кінцева сторона лежить у третьому квадранті, як показано.

    Так як кінцева сторона лежить в третьому квадранті, нам потрібно знайти кут між\(180^{\circ}\) і\(235^{\circ}\), значить\(235^{\circ}−180^{\circ}=55^{\circ}\).

    F-д_д2СА8ФДА 986d899138384A235cd90c8b05c530AECE4E63FBFF70519+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{6}\)
    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Раніше вас попросили знайти опорний кут\(−500^{\circ}\) і знайти квадрант, в якому лежить кінцева сторона.

    Рішення

    Оскільки наш кут більше одного повороту, нам потрібно складати,\(360^{\circ}\) поки не отримаємо кут, абсолютне значення якого менше\(360^{\circ}\):\(−500^{\circ}+360^{\circ}=−200^{\circ}\).

    Якщо ми будуємо цей кут, ми бачимо, що він знаходиться\(−200^{\circ}\) за годинниковою стрілкою від початку або\(160^{\circ}\) проти годинникової стрілки. \(160^{\circ}\)лежить у другому квадранті.

    Тепер визначаємо опорний кут:\(180^{\circ}−160^{\circ}=20^{\circ}\).

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Знайдіть два котермінальні кути до\(138^{\circ}\), один позитивний і один негативний.

    Рішення

    \(138^{\circ}+360^{\circ}=498^{\circ}\)і\(138^{\circ}−360^{\circ}=−222^{\circ}\)

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Знайдіть опорний кут для\(895^{\circ}\).

    Рішення

    \(895^{\circ}−360^{\circ}=535^{\circ}\),\(535^{\circ}−360^{\circ}=175^{\circ}\). Кінцева сторона лежить у другому квадранті, тому нам потрібно визначити кут між\(175^{\circ}\) і\(180^{\circ}\), який є\(5^{\circ}\).

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Знайдіть опорний кут для\(343^{\circ}\).

    Рішення

    \(343^{\circ}\)знаходиться в четвертому квадранті, тому нам потрібно знайти кут між\(343^{\circ}\) і\(360^{\circ}\) який є\(17^{\circ}\).

    Рецензія

    Знайдіть два котермінальні кути до кожної міри кута, один позитивний і один негативний.

    1. \(−98^{\circ}\)
    2. \(475^{\circ}\)
    3. \(−210^{\circ}\)
    4. \(47^{\circ}\)
    5. \(−1022^{\circ}\)
    6. \(354^{\circ}\)
    7. \(−7^{\circ}\)

    Визначте квадрант, в якому лежить кінцева сторона, і знайдіть опорний кут для кожного з наступних кутів.

    1. \(102^{\circ}\)
    2. \(−400^{\circ}\)
    3. \(1307^{\circ}\)
    4. \(−820^{\circ}\)
    5. \(304^{\circ}\)
    6. \(251^{\circ}\)
    7. \(−348^{\circ}\)
    8. Поясніть, чому опорний кут для кута між\(0^{\circ}\) і\(90^{\circ}\) дорівнює самому собі.

    Відповіді на проблеми з оглядом

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 13.5.

    Додаткові ресурси

    Інтерактивний елемент