2.3.1: Тригонометрія та одиничне коло

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54716

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Визначити точні значення коефіцієнтів трига для загальних радіанових мір

Одинична окружність - це коло радіуса один, зосереджений на початку, що узагальнює всі 30-60-90 та 45-45-90 трикутники, які існують. При запам'ятовуванні це надзвичайно корисно для оцінки виразів на кшталт\(\cos(135^{\circ})\) або\(\sin\left(−\dfrac{5\pi}{3}\right)\). Це також допомагає виробляти батьківські графіки синуса і косинуса.

Як ви можете використовувати одиничний коло для оцінки\(\cos (135^{\circ})\) і\(\sin \left(−\dfrac{5\pi}{3}\right)\)?

Одиничне коло

Ви вже знаєте, як перевести між градусами та радіанами та співвідношеннями трикутників для 30-60-90 та 45-45-90 прямих трикутників. Для того щоб бути готовим повністю заповнити і запам'ятати одиницю кола, потрібно опрацювати два трикутника. Почніть з пошуку довжин сторін трикутника 30-60-90 і трикутника 45-45-90 кожен з гіпотенузою, рівною 1.

\(30^{\circ}\)	\(60^{\circ}\)	\(90^{\circ}\)
\(x\)	\(x\sqrt{3}\)	\(2x\)
\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	1

\(45^{\circ}\)	\(45^{\circ}\)	\(90^{\circ}\)
\(x\)	\(x\)	\(x\sqrt{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	1

Цього достатньо інформації, щоб заповнити важливі пункти в першому квадранті одиничного кола. Значення\(x\) і\(y\) координати для кожної з ключових точок наведені нижче. Пам'ятайте, що\(y\) координати\(x\) і походять від довжин ніжок спеціальних прямих трикутників, як показано спеціально для\(30^{\circ}\) кута. Завжди пам'ятайте, щоб виміряти кут від позитивної частини осі х.

Добре знання першого квадранта є ключем до знання всього одиничного кола. Будь-яку іншу точку на одиничному колі можна знайти за допомогою логіки і цього квадранта, тому немає необхідності запам'ятовувати все коло.

Щоб використовувати свої знання про перший квадрант одиничного кола для ідентифікації кутів і важливих точок другого квадранта, зверніть увагу, що висоти дзеркальні та рівні, які відповідають\(y\) значенням. \(x\)Значення всі негативні.

Існує закономірність у висотах точок у першому квадранті, яка може допомогти вам запам'ятати точки.

Зверніть увагу, що висотами точок у першому квадранті є\(y\) -координатами:\(0,\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2},1\)

При переписуванні візерунок стає зрозумілим:\(\dfrac{0}{2},\dfrac{\sqrt{1}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{\sqrt{4}}{2}\).

Три точки посередині найчастіше змішуються. Ця закономірність ілюструє, як вони збільшуються в розмірі від маленьких 12, до середніх\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), до великих\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Коли ви заповнюєте одиничне коло, шукайте висоти, які є малими, середніми та великими, і це скаже вам, коли кожне значення має йти. Зверніть увагу, що висоти для цих п'яти точок у другому квадранті також є\(0, \dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2},1\).

Цей прийом працює і для ширини. Це може зробити запам'ятовування 16 точок одиничного кола питанням логіки та шаблону:\(\dfrac{0}{2},\dfrac{\sqrt{1}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2}\).

Останній пункт, який слід зазначити, полягає в тому, що котермінальні кути - це набори кутів\(90^{\circ}\)\(450^{\circ}\), таких як, і\(-270^{\circ}\) які починаються з позитивної осі x і закінчуються на тій же стороні терміналу. Оскільки котермінальні кути закінчуються в однакових точках уздовж одиничного кола, тригонометричні вирази за участю котермінальних кутів еквівалентні:\(\sin(90)=\sin(450)=\sin(−270)\).

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вас запитали, як можна використовувати одиничний коло для оцінки\(\cos (135)\) і\(\sin\right(−\dfrac{5\pi}{3}\left)\). \(x\)Значення точки по одиничній окружності відповідає косинусу кута. \(y\)Значення точки відповідає синусу кута. Коли кути і точки запам'ятовуються, просто згадайте\(x\) або\(y\) координату. Якщо розібратися в побудові одиничного кола, визначати координати стає простіше.

Рішення

При оцінці\(\cos(135^{\circ})\) вашого розумового процесу має бути щось на зразок цього:

Ви знаєте,\(135^{\circ}\) йде з точкою\(\left(−\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\) і косинусом є х частина. Отже,\(\cos(135^{\circ})=−\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

При оцінці\(\sin\left(−\dfrac{5\pi}{3}\right)\) вашого розумового процесу має бути щось на зразок цього:

Ви знаєте,\(−\dfrac{5\pi}{3}\) йде з точкою\(\left(\dfrac{1}{2},−\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) і синус є y частина. Отже,\(\sin\left(−\dfrac{5\pi}{3}\right)=−\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Оцініть\(\cos 60^{\circ}\) за допомогою одиничного кола і тригонометрії прямокутного трикутника. Який зв'язок між координатою x точки і косинусом кута?

Рішення

Точка на одиничному колі для\(60^{\circ}\) є,\(\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) а точка - одна одиниця від початку. Це можна уявити у вигляді трикутника 30-60-90.

Оскільки косинус сусідить над гіпотенузою, косинус виявляється саме\(x\) координатою\(\dfrac{1}{2}\).

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Використовуючи знання першого квадранта одиничного кола, визначте кути і важливі точки третього квадранта.

Рішення

І значення, і\(x\)\(y\) значення є від'ємними, і їх відповідні координати відповідають координатам інших квадрантів.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Для кожної з шести тригонометричних функцій визначте квадранти, де вони позитивні, і квадранти, де вони негативні.

Рішення

У квадранті I гіпотенуза, сусідня і протилежна сторона все позитивні. Таким чином, всі 6 тригонометричних функцій є позитивними.

У квадранті II гіпотенуза і протилежні сторони позитивні, а сусідні - негативні. Це означає, що кожне тригонометричне вираз, що включає сусідню сторону, є негативним. Синус і його зворотна косеканс - єдині дві тригонометричні функції, які не відносяться до сусідньої сторони, що робить їх єдиними позитивними.

У III квадранті позитивна тільки гіпотенуза. Таким чином, єдиними тригонометричними функціями, які є позитивними, є тангенс та його зворотний котангенс, оскільки ці функції стосуються як суміжних, так і протилежних сторін, які будуть негативними.

У IV квадранті гіпотенуза та сусідні сторони позитивні, тоді як протилежна сторона негативна. Це означає, що позитивними є тільки косинус і його зворотний секанс.

Мнемонічний пристрій для запам'ятовування того, які тригонометричні функції є позитивними, а які тригонометричні функції є негативними, - це «Усі студенти S, щоб зробити калькуляс C». Все відноситься до всіх тригонометричних функцій є позитивними в квадранті I. Буква S відноситься до синус і його зворотний косеканс, які є позитивними в квадранті II. Буква T відноситься до дотичної та її зворотного котангенсу, які є позитивними в квадранті III. Буква C відноситься до косинуса та його зворотного секансу, які є позитивними в четвертому квадранті.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Оцінити наступні тригонометричні вирази за допомогою одиничного кола.

Рішення

\(\sin\dfrac{\pi}{2}\)

\(\sin \dfrac{\pi}{2}=1\)

\(\cos 210^{\circ}\)

\(\cos 210^{\circ} =−\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\tan 315^{\circ}\)

\(\tan 315^{\circ} =−1\)

\(\cot 270^{\circ}\)

\(\cot 270^{\circ} =0\)

\(\sec \dfrac{11 \pi}{6}\)

\(\sec\dfrac{11 \pi}{6} =\dfrac{1}{\cos\dfrac{11 \pi}{6}} =\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\)

\(\csc\dfrac{-5\pi}{4}\)

\(\csc\dfrac{-5\pi}{4} =\dfrac{1sin\dfrac{-5\pi}{4} =−\dfrac{2}{\sqrt{2}}=−\sqrt{2}\)

Рецензія

Назвіть кут між 0^ {\ circ} і 360^ {\ circ}, який є співтермінальним з...

1. \(−20^{\circ}\)

2. \(475^{\circ}\)

3. \(−220^{\circ}\)

4. \(690^{\circ}\)

5. \(−45^{\circ}\)

Використовуйте свої знання одиничного кола, щоб допомогти визначити, чи є кожне з наступних тригонометричних виразів позитивним чи негативним.

6. \(\tan 143^{\circ}\)

7. \(\cos \dfrac{\pi}{3}\)

8. \(\sin 362^{\circ}\)

9. \(\csc \dfrac{3\pi}{4}\)

Використовуйте свої знання одиничного кола для оцінки кожного з наступних тригонометричних виразів.

10. \(\cos 120^{\circ}\)

11. \(\sec\pi 3\)

12. \(\tan 225^{\circ}\)

13. \(\cot 120^{\circ}\)

14. \(\sin \dfrac{11\pi}{6}\)

15. \(\csc 240^{\circ}\)

16. Знайти\(\sin\theta \) і\(\tan\theta\) якщо\(\cos\theta =\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) і\(\cot \theta >0\).

17. Знайти\(\cos\theta\) і\(\tan\theta \) якщо\(\sin\theta =−\dfrac{1}{2}\) і\(\sec \theta <0\).

18. Намалюйте повне коло одиниць (всі чотири квадранта) і позначте важливі моменти.

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 5.1.

Лексика

Термін	Визначення
Котермінал	Два кути є котермінальними, якщо вони намальовані в стандартному положенні, і обидва мають кінцеві сторони, які знаходяться в одному місці.
Котермінальні кути	Набір котермінальних кутів - це кути з однаковою кінцевою стороною, але виражені по-різному, наприклад, різна кількість повних обертань навколо одиничного кола або кутів, що виражаються як позитивні проти негативних вимірювань кута.
квадрант	Квадрант - це одна четверта координатної площини. Чотири квадранти нумеруються за допомогою римських цифр I, II, III та IV, починаючи у верхньому правому куті та збільшуючись проти годинникової стрілки.
одиниця коло	Одинична окружність - це коло радіуса один, центрований у початковій точці.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Оцінка тригонометричних функцій (Unit Circle) - огляд

Практика: Тригонометрія та одиничне коло