Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.2.7: Кути піднесення і депресії

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54826

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Кути, що йдуть вгору або вниз від горизонтальної прямої видимості.

    Кути піднесення і западини

    Ви вирішили піти в похід з друзями. Виходячи з походу, ви досягнете вершини хребта і дивитеся вниз на стежку позаду вас. Вдалині можна побачити свій табір. Ви думаєте про те, як далеко ви подорожували, і дивуєтеся, чи є спосіб визначити це.

    Ф-Д_05 ФББ8 CAE 188А00722C4FF97А668 А65С22Д6ЕД 2604C69D381CB4EF+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Використовуючи невеликий прилад під назвою клінометр, ви можете виміряти кут між горизонтальною лінією зору і табором\(37^{\circ}\), і ви знаєте, що пагорб, на який ви щойно піднялися, має висоту 300 м Чи можна дізнатися, як далеко знаходиться ваш табір, використовуючи цю інформацію? (Припустимо, що стежка, яку ви пішли, нахилена, як сторона трикутника.)

    Кути піднесення і западини

    Ви можете використовувати правильні трикутники для пошуку відстаней, якщо ви знаєте кут піднесення або кут западини.

    На малюнку нижче показаний кожен з цих видів кутів.

    Ф-Д_ЕА 2С7Д44Ф3А2Ф8794799525А4А4А4А5180465758112 БА 2501Ф42А4+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    Кут піднесення - це кут між горизонтальною лінією зору і лінією зору до об'єкта. Наприклад, якщо ви стоїте на землі, дивлячись на вершину гори, ви можете виміряти кут підйому. Кут западини - це кут між горизонтальною лінією зору і лінією зору вниз до об'єкта. Наприклад, якщо ви стояли на вершині пагорба або будівлі, дивлячись вниз на об'єкт, ви могли б виміряти кут западини. Виміряти ці кути можна за допомогою клінометра або теодоліту. Люди, як правило, використовують клінометри або теодоліти для вимірювання висоти дерев та інших високих об'єктів. Тут ми вирішимо кілька завдань, пов'язаних з цими кутами і відстанями.

    Знаходження кута піднесення

    Ви стоїте на відстані 20 футів від дерева, і ви вимірюєте кут піднесення\(38^{\circ}\). Наскільки високе дерево?

    F-D_3ФФАЕ 50268С05Б7Ф8Ф8ФК5ФК5Е3Б129ББ7А3А6Д4272С2Е15Д312CF53D44+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    Рішення залежить від вашого зростання, оскільки ви вимірюєте кут піднесення від вашої прямої видимості. Припустимо, що ви 5 футів у висоту.

    Малюнок показує нам, що як тільки ми знайдемо значення\(T\), ми повинні додати 5 футів до цього значення, щоб знайти загальну висоту трикутника. Щоб знайти\(T\), ми повинні використовувати тангенс значення:

    \(\begin{aligned} tan38^{\circ}&=\dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}=\dfrac{T}{20} \\ tan38^{\circ}&=\dfrac{T}{20}\\ T&=20tan38^{\circ}\approx 15.63\\ \text{Height of tree}&\approx 20.63 \text{ ft}\end{aligned}\)

    Ви стоїте на вершині будівлі, дивлячись на парк вдалині. Кут западини становить 53^ {\ circ}. Якщо будівля, на якій ви стоїте, висотою 100 футів, як далеко знаходиться парк? Ваш зріст має значення?

    Знаходження кута заглиблення

    Якщо ми ігноруємо зростання людини, вирішуємо наступний трикутник:

    F-D_6A757D309A573А4Ф3КФА 456 ДББ Б 7 АЦБ594C14FFE5 ФБ 8Е59Ф7Б4968А+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{4}\)

    З огляду на кут заглиблення є\(53^{\circ}\),\(\angle A\) на малюнку вище є\(37^{\circ}\). Ми можемо використовувати функцію тангенса, щоб знайти відстань від будівлі до парку:

    \(\begin{aligned} tan 37^{\circ}=\dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}=\dfrac{d}{100}\\ tan37^{\circ} &=\dfrac{d}{100}\\d&=100 tan37^{\circ} \approx 75.36\text{ ft} \end{aligned}\)

    Якщо врахувати зростання людини, то це змінить значення сусідньої сторони. Наприклад, якщо людина заввишки 5 футів, у нас інший трикутник:

    Ф-Д_С01Ф614С570А2810 ДФ 136С14Б9ААААД 7АА28Д999Б841БCF35B2D+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{5}\)

    \(\begin{aligned} tan37^{\circ}&=\dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}=\dfrac{d}{105} \\ tan37^{\circ} &=\dfrac{d}{105} \\ d&=105{tan37^{\circ} \approx 79.12\text{ ft}\end{aligned}\)

    Якщо ви тільки шукаєте, щоб оцінити відстань, то ви можете ігнорувати зростання людини, яка знімає вимірювання. Однак висота людини матиме більше значення в ситуаціях, коли відстані або довжини, що беруть участь, менші. Наприклад, висота людини впливатиме на результат більше у проблемі висоти дерева, ніж на проблему будівлі, оскільки дерево ближче по висоті до людини, ніж будівля.

    Застосування в реальному світі: Горизонт

    Ви перебуваєте в тривалій поїздці по пустелі. Вдалині ви можете побачити гори, і швидке вимірювання говорить вам, що кут між вершиною гори і землею є\(13.4^{\circ}\). З ваших досліджень ви знаєте, що один із способів визначити гору - це купа землі, що має висоту не менше 2500 метрів. Якщо ви припускаєте, що гора є мінімально можливою висотою, як далеко ви перебуваєте далеко від центру гори?

    Ф-Д_525Е93Е5ЕФ228Е1С17Ф6БФ 989935 ФА7 ААФ 10ААФБ 6Ф0Ф5Ф36ФЕ25676+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{6}\)

    \(\begin{aligned} tan 13.4^{\circ}&=\dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}=\dfrac{2500}{d}\\ tan 13.4^{\circ} &=\dfrac{2500}{d} \\ d&=\dfrac{2500}{tan13.4^{\circ}} \approx 10,494 meters \end{aligned}\)

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Раніше вас запитали, чи можна дізнатися, наскільки далеко знаходиться ваш табір, використовуючи надану інформацію.

    Рішення

    Оскільки ви знаєте кут западини\(37^{\circ}\), ви можете використовувати цю інформацію, поряд з висотою пагорба, для створення тригонометричного співвідношення:

    Ф-Д_05 ФББ8 CAE 188А00722C4FF97А668 А65С22Д6ЕД 2604C69D381CB4EF+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{7}\)

    Оскільки невідомою стороною трикутника є гіпотенуза, а ви знаєте протилежну сторону, слід використовувати синусоїдальне співвідношення для вирішення проблеми:

    \(\begin{aligned} sin37^{\circ}&=\dfrac{300}{hypotenuse} \\ hypotenuse&=\dfrac{300}{sin37^{\circ} }\\ hypotenuse &\approx 498.5\end{aligned}\)

    Ви подорожували приблизно 498,5 метрів вгору по пагорбу.

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Ви висотою шість футів і виміряйте кут між горизонталлю і птахом на небі, щоб бути 40^ {\ circ}. Ви можете бачити, що тінь птиці знаходиться прямо під птахом, і 200 футів від вас на землі. Наскільки високо птах в небі?

    Ф-Д_5ЕС 650д17Д6А0646БА558Б822А8С012Ф60А5695825Д6Б5А6745А6Е65+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{8}\)

    Рішення

    Ми можемо скористатися функцією дотичної, щоб дізнатися, наскільки високо птах знаходиться в небі:

    \(\begin{aligned} tan40^{\circ} =\dfrac{height}{200} \\ height&=200 tan40^{\circ} \\ height&=(200)(.839) \\height&=167.8\end{aligned}\)

    Потім нам потрібно додати свій зріст в розчин для трикутника. Оскільки ви зростом шість футів, загальна висота птиці в небі становить 173,8 футів.

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Під час купання одного дня ви помітили монету на дні басейну. Басейн глибиною десять футів, а кут між вершиною води і монеткою є\(15^{\circ}\). Як далеко знаходиться монета від вас уздовж дна басейну?

    Ф-Д_3217Д501АЕ0С6ФФ809Б95242120727КА153Б9137ФД8Е784Е51Б8А+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{9}\)

    Рішення

    Оскільки відстань по дну басейну до монети таке ж, як відстань уздовж верхньої частини басейну до монети, ми можемо використовувати функцію дотичної для вирішення відстані до монети:

    \(\begin{aligned} tan15^{\circ}&=\dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} \\ tan 15^{\circ} =\dfrac{10}{x} \\ x&=\dfrac{10}{tan15^{\circ}} \\ x&\approx 37.32^{\circ}\end{aligned}\)

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Ви йдете в похід і приходите до скелі на краю яру. Вдалині ви можете побачити свій кемпінг біля основи скелі, на іншій стороні яру. Ви знаєте, що відстань через яр становить 500 метрів, а кут між горизонтальною лінією зору і вашим кемпінгом є\(25^{\circ}\). Наскільки висока скеля? (Припустимо, що ви п'ять футів заввишки.)

    Ф-Д_Б67576Д0544С2511Ф833337Б7206Д59Б595852А9 КБДАФ 59С64Е23290+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{10}\)

    Рішення

    Використовуючи надану інформацію, ми можемо побудувати рішення:

    \(\begin{aligned} tan 25^{\circ} =\dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}\\ tan25^{\circ}&=\dfrac{height}{500} \\ height&=\dfrac{500}{tan25^{\circ}}\\ height&=(500)(.466) \\ height&=233\text{ meters}\end{aligned}\)

    Це загальна висота від дна яру до вашої горизонтальної прямої видимості. Тому, щоб отримати висоту яру, слід відняти п'ять футів на свій зріст, що дає відповідь 228 метрів.

    Рецензія

    1. Будівля 70 футів кидає 50 футів тінь. Який кут потрапляє сонце в будівлю?
    2. Ви стоїте на відстані 10 футів від дерева, і ви вимірюєте кут піднесення, щоб бути\(65^{\circ}\). Наскільки високе дерево? Припустимо, що ви висотою 5 футів до ваших очей.
    3. Кейтлін плаває в океані і помічає кораловий риф під нею. Кут депресії\(35^{\circ}\) і глибина океану, в цей момент становить 350 футів. Як далеко вона знаходиться від рифу?
    4. Кут поглиблення від вершини будівлі до основи автомобіля дорівнює\(60^{\circ}\). Якщо будівля заввишки 78 футів, як далеко знаходиться автомобіль?
    5. Пізанська вежа в даний час «нахиляється»\(4^{\circ}\) під кутом і має вертикальну висоту 55,86 метрів. Наскільки висотою була вежа, коли її спочатку будували?
    6. Кут западини від вершини багатоквартирного будинку до основи фонтану в сусідньому парку становить\(72^{\circ}\). Якщо будівля заввишки 78 футів, як далеко знаходиться фонтан?
    7. Ви стоїте 15 футів від дерева, і ви вимірюєте кут піднесення, щоб бути\(35^{\circ}\). Наскільки високе дерево? Припустимо, що ви висотою 5 футів до ваших очей.
    8. Білл помічає дерево прямо через річку, звідки він стоїть. Потім він ходить 18 футів вгору за течією і визначає, що кут між його попереднім положенням і деревом на іншій стороні річки є\(55^{\circ}\). Наскільки широка річка?
    9. Будівля 50 футів кидає 50 футів тінь. Який кут потрапляє сонце в будівлю?
    10. Ерік летить його повітряний змій одного дня і помічає, що він випустив весь 100 футів струни. Кут, який його струна робить з землею, є\(60^{\circ}\). Наскільки високий у нього повітряний змій в цей час?
    11. Дерево, уражене блискавкою в шторм, ламається і падає, утворюючи трикутник із землею. Верхівка дерева робить\(36^{\circ}\) кут із землею 25 футів від основи дерева. Якою була висота дерева до найближчої ноги?
    12. При спуску літак знаходиться на висоті 15,000 футів над землею. Вежа управління повітряним рухом має висоту 200 футів. Визначено, що кут піднесення від вершини вежі до площини дорівнює\(15^{\circ}\). До найближчої милі знайдіть наземну відстань від літака до вежі.
    13. Тара намагається визначити кут, під яким слід націлити її спринклерну насадку, щоб поливати верхню частину 10-футового куща у своєму дворі. Припускаючи, що вода займає прямий шлях, а спринклер знаходиться на землі в 4 футах від дерева, під яким кутом нахилу вона повинна її встановити?
    14. За 3 милі (по горизонталі) дорога піднімається на 1000 футів (вертикаль). Що таке кут піднесення?
    15. За 4 милі (по горизонталі) дорога піднімається на 1000 футів (по вертикалі). Що таке кут піднесення?

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.13.

    Лексика

    Термін Визначення
    Кут депресії Кут западини - це кут, утворений горизонтальною лінією і лінією зору вниз до об'єкта, коли зображення об'єкта розташоване під горизонтальною лінією.
    Кут піднесення Кут піднесення - це кут, утворений горизонтальною лінією і лінією зору до об'єкта, коли зображення об'єкта розташоване над горизонтальною лінією.