2.2.6: Зворотні функції Trig за допомогою алгебри
- Page ID
- 54821
«Скасувати» функцію шляхом перемикання\(x\) і\(y\) значень і рішення для\(y\).
Якщо вам дали функцію, наприклад\(f(x)=\dfrac{2x}{x+7}\), ви можете сказати, якщо функція має зворотну? Чи є спосіб, який ви могли б знайти його зворотний через алгебраїчні маніпуляції?
Пошук оберненої функції
«Зворотний» - це те, що скасовує функцію, повертаючи початковий аргумент. Наприклад, така функція, як\(y=\dfrac{1}{3}x\) має обернену функцію\(y=3x\), оскільки будь-яке значення, розміщене в першій функції, буде повернуто таким, яким воно було спочатку, якщо воно буде введено у другу функцію. У цьому випадку легко помітити, що для «скасування» множення на\(\dfrac{1}{3}\), слід помножити на 3. Однак у багатьох випадках може бути нелегко зробити висновок шляхом дослідження, що таке зворотна функція.
Для початку давайте розберемо, що потрібно для того, щоб функція мала зворотну. Важливо пам'ятати, що кожна функція має зворотне відношення і що це зворотне відношення є функцією лише в тому випадку, якщо вихідна функція є один до одного. Функція є один до одного, коли її графік проходить як вертикальний, так і горизонтальний тест лінії. Це означає, що кожна вертикальна і горизонтальна лінія буде перетинати графік точно в одному місці.
Це графік\(f(x)=\dfrac{x}{x+1}\). Графік передбачає, що\(f\) це один до одного, оскільки він проходить як вертикальні, так і горизонтальні тести. Щоб знайти зворотне\(f\), перемкніть\(x\)\(y\) і вирішуйте для\(y\).
По-перше, перемикач\(x\) і\(y\).
\(x=\dfrac{y}{y+1}\)
Далі множимо обидві сторони на\((y+1)\).
\(\begin{aligned} (y+1)x&=\dfrac{y}{y+1}(y+1) \\ x(y+1)&=y \end{aligned}\)
Потім застосуйте розподільну властивість і покладіть всі терміни y на одну сторону, щоб ви могли витягнути y.
\(\begin{aligned} xy+x=y \\ xy−y=−x \\ y(x−1)=−x \end{aligned}\)
Розділіть на\((x−1)\), щоб отримати сам\(y\) по собі.
\(y=\dfrac{−x}{x−1}\)
Нарешті, помножте праву сторону на\(\dfrac{−1}{−1}\).
\(y=\dfrac{x}{1−x}\)
Тому зворотне f є\(f^{−1}(x)=\dfrac{x}{1−x}\).
Символ\(f^{−1}\) читається «f зворотний» і не є відповідним f.
Пошук оберненої функції
1. Знайдіть обернене\(f(x)=\dfrac{1}{x−5}\) алгебраїчно.
Щоб знайти обернене алгебраїчно, перейдіть\(f(x)\) до,\(y\) а потім перемикайте\(x\) і\(y\).
\(\begin{aligned} y&=1x−5\\ x&=1y−5 \\ x(y−5)&=1 \\ xy−5x&=1 \\ xy&=5x+1 \\ y&=\dfrac{5x+1}{x}\end{aligned}\)
2. Знайти зворотне\(f(x)=5 \sin^{−1} (\dfrac{2}{x−3})\)
\ (\ почати {вирівняний}
f (x) &=5\ sin ^ {-1}\ ліворуч (\ dfrac {2} {x-3}\ праворуч)\\
x &= 5\ sin ^ {-1}\ ліворуч (\ dfrac {2} {y-3}\ праворуч)\
\ dfrac {x} {5} &=\ sin ^ {-1}\ ліворуч (\ dfrac {2} {y-3}\ праворуч)\\
\ sin\ dfrac {x} {5} &=\ ліворуч (\ dfrac {2} {y-3}\ праворуч)\\
( y-3)\ sin\ dfrac {x} {5} &=2\\
(y-3) &=\ dfrac {2} {\ sin\ dfrac {x} {5}}\\
y &=\ dfrac {2} {\ sin\ dfrac {x} {5}} +3
\ кінець {вирівняний}\)
3. Знайти обернену тригонометричну функцію\(f(x)=4 \tan^{−1} (3x+4)\)
\ (\ почати {вирівняний}
х &= 4\ тан ^ {-1} (3 y+4)\
\ dfrac {x} {4} &=\ тан ^ {-1} (3 y+4)\\ тан
\ dfrac {x} {4} &= 3 y+4\\ tan
\ dfrac {x} {4} -4 і = 3 y\\ dfrac {\
\ tan {x} {4} -4\ dfrac {x} {4} -4} {3} &=y\\
f^ {-1} (x) &=\ dfrac {\ tan \ dfrac {x} {4} -4} {3}
\ кінець {вирівняний}\)
Раніше вам було запропоновано знайти зворотну функцію.
Рішення
Оскільки початкова функція:
\(f(x)=y=\dfrac{2x}{x+7}\)
Ви можете спочатку перемкнути всі значення\(x\) "" і\(y\) "":
\(x=\dfrac{2y}{y+7}\)
Потім можна переставити рівняння і виділити «y»:
\ (\ почати {масив} {r}
x (y+7) =2 y\\
x y+7 х = 2 y\\
x y-2 y=-7 х\\
y (x-2) =-7 х\\
y=\ dfrac {-7 x} {x-2}
\ кінець {масив}\)
Обернена функція записується як\(f^{−1}(x)=\dfrac{−7x}{x−2}\)
Знайти зворотне\(f(x)=2x^3−5\)
Рішення
\ (\ почати {вирівняний}
f (x) &=2 x^ {3} -5\\
y &=2 x^ {3} -5\\
x &= 2 y^ {3} -5\ x+5 &=2 y^ {3}\\ dfrac {
x+5} {2} &=y^ {3}
\\\ sqrt [3] {\ dfrac {x+5} {2} &=y^ {3}
\\ sqrt [3] {\ dfrac {x+5} 2}} &=y
\ кінець {вирівняний}\)
Знайти зворотне\(y=\dfrac{1}{3} \tan^{−1}(\dfrac{3}{4} x−5)\)
Рішення
\ (\ почати {вирівняний}
y &=\ dfrac {1} {3}\ тан ^ {-1}\ лівий (\ dfrac {3} {4} x-5\ праворуч)\\
x &=\ dfrac {1} {3}\ тан ^ {-1}\ лівий (\ dfrac {3} {4} y-5\ праворуч)\\
3 x &=\\ tan ^ {-1}}\ ліворуч (\ dfrac {3} {4} y-5\ праворуч)
\\ tan (3 х) &=\ dfrac {3} {4} y-5\\
\ загар (3 х) +5 &=\ dfrac {3} {4} y\\
\ dfrac {4 (\ тан (3 х) +5)} {3} &=y
\ кінець {вирівняний}\)
Знайти зворотне\(g(x)=2 \sin(x−1)+4\)
Рішення
\ (\ почати {вирівняний}
г (х) &=2\ sin (x-1) +4\\
y &= 2\ sin (x-1) +4\\
x &= 2\ sin (y-1) +4\\
x-4 &= 2\ sin (y-1)\
\ dfrac {x-1} {2} &=\ sin (y-1)\\
1+\ sin ^ {-1}\ лівий (\ dfrac {x-4} {2}\ праворуч) &=y
\ кінець {вирівняний}\)
Рецензія
Знайдіть обернену для кожної функції.
- \(f(x)=3x+5\)
- \(g(x)=0.2x−7\)
- \(h(x)=0.1x^2\)
- \(k(x)=5x+6\)
- \(f(x)=\sqrt{x−4}\)
- \(g(x)=(x)^{\dfrac{1}{3}}+1\)
- \(h(x)=(x+1)^3\)
- \(k(x)=\dfrac{x^2}{3}\)
- \(f(x)=−2+4 \sin^{−1} (x+7)\)
- \(g(x)=1+3 \tan^{−1}(2x+1)\)
- \(h(x)=4 \cos^{−1}(3x)\)
- \(k(x)=−1 \tan^{−1} (6x)\)
- \(j(x)=5+2 \sin^{−1}(x+5)\)
- \(m(x)=−2 \tan (3x+1)\)
- \(p(x)=5−6 \sin(\dfrac{x}{2})\)
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 4.3.
Лексика
| Термін | Визначення |
|---|---|
| Тест горизонтальної лінії | Тест горизонтальної лінії говорить, що якщо горизонтальна лінія, проведена в будь-якому місці через графік функції, перетинає функцію в більш ніж одному місці, то функція не є один до одного і не обертається. |
| Функція «Один до одного» | Функція одна до одиниці, якщо її зворотна також є функцією. Функція «один до одного» проходить як горизонтальні, так і вертикальні тести лінії. |
| Тест вертикальної лінії | Тест вертикальної лінії говорить, що якщо вертикальна лінія, проведена в будь-якому місці через графік відношення, перетинає відношення в більш ніж одному місці, то відношення не є функцією. |