Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.2.5: Застосування зворотних тригонометричних функцій

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54806

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Значення кута в реальних прикладах.

    Ви намічаєте пішохідну поїздку до нового місця в державному парку біля вашого будинку. На вашій карті ви знаєте, що ви повинні йти на курс, який закінчується тим, що ви перемістилися 2,5 милі на схід і 3 милі на південь. Ваша карта з початковою і кінцевою точками показана тут:

    Ф-Д_547Ф6160863Б140Б 15070Д7Ф35ФФ Ф 4ДБД ДБД АФ 2Ф5016Б42ЕД346EBD+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Тепер потрібно розрахувати кут, який потрібно пройти по відношенню до належного Сходу. Чи можете ви знайти спосіб обчислити цей кут за допомогою обернених функцій трига?

    Застосування обернених функцій Trig

    Наступні завдання є реальними завданнями, які можна вирішити за допомогою тригонометричних функцій. У повсякденному житті непряме вимірювання використовується для отримання відповідей на проблеми, які неможливо вирішити за допомогою засобів вимірювання. Однак на допомогу прийде математика у вигляді тригонометрії для обчислення цих невідомих вимірювань.

    У холодний зимовий день сонце протікає через вікно вашої вітальні і викликає теплу, підсмажену атмосферу. Це пов'язано з кутом нахилу сонця, який безпосередньо впливає на обігрів і охолодження будівель. Полудень - це коли сонце знаходиться на максимальній висоті на небі і в цей час кут влітку більший, ніж взимку. Через це будівлі будуються так, що звис даху може виступати тентом, щоб затінювати вікна для охолодження влітку і все ж дозволяти сонячним променям забезпечувати тепло взимку. Крім конструкції будівлі, кут нахилу сонця змінюється в залежності від широти розташування будівлі.

    Якщо широта розташування відома, то для розрахунку кута нахилу сонця на будь-яку задану дату року можна використовувати наступну формулу:

    \(\text{Angle of sun}=90^{\circ}−\text{latitude}+−23.5^{\circ}\cdot \cos\left[(N+10)\dfrac{360}{365}\right]\)де\(N\) являє собою число дня року, яке відповідає даті року. Примітка: Ця формула є точною\(\pm \dfrac{1^{\circ}}{2}\)

    Визначити вимір кута нахилу сонця для будівлі, розташованої на широті\(42^{\circ}\), березневий\(10^{th}, the \(69^{th}\) день року.

    \ (\ begin {масив} {l}
    \ текст {Кут сонця} =90^ {\ circ} -42^ {\ circ} +-23.5^ {\ circ}\ cdot\ cos\ ліворуч [(69+10)\ dfrac {360} {365}\ вправо]
    \\ текст {Кут сонця} =48^ {\ circ} +-23.5^ {\ circ} c} (0.2093)
    \\ текст {Кут сонця} =48^ {\ circ} -4.92^ {\ circ}\
    \ текст {Кут з}\ ім'я оператора {sun} =43.08^ {\ circ}
    \ end {масив}\)

    Визначити вимір кута нахилу сонця для будівлі, розташованої на широті\(20^{\circ}\), вересень\(21^{st}\).

    \ (\ begin {масив} {l}
    \ текст {Кут сонця} =90^ {\ circ} -20^ {\ circ} +-23.5^ {\ circ}\ cdot\ cos\ ліворуч [(264+10)\ dfrac {360} {365}\ вправо]
    \\ текст {Кут сонця} =70^ {\ circ} +-23.5^ {\ circ} (0.0043)
    \\ текст {Кут сонця} =70.10^ {\ circ}
    \ кінець {масив}\)

    Використання обернених тригонометричних функцій

    1. Вежа, висотою 28.4 футів, повинна бути закріплена дротом, закріпленим на якорі 5 футів від основи вежі. Який кут зробить дріт хлопця із землею?

    Намалюйте малюнок.

    Ф-Д_7Ф014Д57Б226БЦ516143103С2259391FF450 БФ 2Д9224ДЦЕ65ABC517+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    \ (\ почати {вирівняний}
    \ тан\ тета &=\ dfrac {o p p} {a d j}\
    \ тан\ тета &=\ dfrac {28.4} {5}
    \\ тан\ тета &=5.68\
    \\ тан ^ {-1} (\ тан\ тета) &=\ тан ^ {-1} (5.68)\
    \ тета &=80,02^ {circ}
    \ кінець {вирівняний}\)

    Наступна проблема, яка включає функції та їх зворотні, буде вирішена за допомогою властивості\(f(f^{−1}(x))=f^{−1}(f(x))\). Крім того, технологія буде використовуватися і для завершення розчину.

    2. У головному залі місцевої арени є кілька екранів перегляду, які доступні для перегляду, щоб ви не пропустили жодної дії на льоду. Нижня частина одного екрану знаходиться на 3 фути вище рівня очей, а сам екран - 7 футів у висоту. Кут зору (нахил) формується шляхом погляду як на нижню, так і на верхню частину екрану.

    Намалюйте малюнок, щоб представити цю проблему.

    Ф-Д_9Ф650983С1С3Ф65Б5Е836544167 Фе 73Д1Е88Ф59CA8C7E137C06+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    Обчисліть міру кута зору, який виникає при погляді на нижню, а потім верхню частину екрана. На якій відстані від екрану відбувається максимальне значення кута зору?

    \ (\ почати {вирівняний}
    \ тета_ {2} &=\ тан\ тета-\ тан\ тета_ {1}\\ тан
    \ тета &=\ dfrac {10} {x}\ текст {і}\ тан\ тета_ {1} =\ dfrac {3} {x}\
    \ theta_ {2} &=\ загар ^ {-1}\\ лівий (dfrac {10} {x}\ праворуч) -\ тан ^ {-1}\ лівий (\ dfrac {3} {x}\ праворуч)
    \ кінець {вирівняний}\)

    Щоб визначити ці значення, скористайтеся графічним калькулятором і функцією трасування, щоб визначити, коли відбувається фактичний максимум.

    F-D_91934BE1E57DA4269ФБ510070Ф 1629734118692955019 БК 4 ACD5DC27+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{4}\)

    З графіка видно, що максимум настає коли\(x\approx 5.59\text{ ft}\). і\(\theta\approx 32.57^{\circ}\).

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Раніше вас просили розрахувати кут, який потрібно ходити по відношенню до належного Сходу.

    Рішення

    Ви можете налаштувати трикутник, який відповідає фізичній ситуації цієї проблеми. Ось як вона повинна виглядати:

    Ф-Д_83448Д9646С3А3Е296234ДА 0А4ФД78ДК1685Б431КС1024Е4ФД809 червоний+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{5}\)

    Використовуючи функцію тангенса, ви можете вирішити для кута, який потрібно знайти:

    \(\begin{aligned} \theta&= \tan^{−1}\left(\dfrac{3}{−2.5}\right) \\ \theta&=−50.19 \end{aligned}\)

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Інтенсивність певного типу поляризованого світла задається рівнянням\(I=I_0 \sin 2\theta \cos 2\theta\).

    Вирішити для\(\theta\).

    Рішення

    \ (\ почати {вирівняний}
    Я &=I_ {0}\ sin 2\ тета\ cos 2\ тета\
    \ dfrac {I} {I_ {0}} &=\ dfrac {I_ {0}} {I_ {0}}\ sin 2\ тета\ cos 2\ тета\\ dfrac {I} {I} {0}} &sin 2
    \ theta\ cos 2\ тета\\ dfrac {I} {I} {0}} &sin 2\ theta\ cos 2
    \ тета\\\ dfrac {2 I} {I_ {0}} &=2\ sin 2\ тета\ cos 2\ тета\\
    \ dfrac {2 I} {I_ {0}} &=\ sin 4\ тета\
    \ sin ^ {-1}\ dfrac {2 I} {I_ {0}} &=4\ тета\
    \ dfrac {1} {4}\ sin ^ {-1}\ dfrac {2 I} {I_ {0}} &=\ тета
    \ кінець {вирівняний}\)

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    На наступній схемі зображені кінці водяного жолоба. Кінці насправді є рівнобедреними трапеціями, а довжина корита від кінця до кінця становить десять футів. Визначте максимальний обсяг корита та значення\(\theta\), яке максимізує цей обсяг.

    Ф-Д_12АЕ3Е 5410С26 Facec949AC857289086ЕФБ798542Ф5E538B46BF+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{6}\)

    Рішення

    Обсяг в 10 футів разів перевищує площу кінця. Кінець складається з двох конгруентних прямих трикутників і одного прямокутника. Площа кожного прямокутного трикутника є,\(\dfrac{1}{2}(\sin \theta)(\cos \theta)\) а прямокутник є\((1)(\cos \theta)\). Це означає, що гучність може бути визначена функцією\(V(\theta)=10(\cos \theta+ \sin \theta \cos\theta)\), і ця функція може бути позначена наступним чином, щоб знайти максимальний обсяг і кут,\(\theta\) де він виникає.

    F-D_612530431БА 2С06Е4Д25С494А21ФА6А3Б0Е4Б61ЕДБ2ЕАААААААААААААБ744Д8А92+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    Малюнок\(\PageIndex{7}\)

    Тому максимальний обсяг становить приблизно 13 кубічних футів і виникає\(\theta\), коли приблизно\(30^{\circ}\).

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Човен стикується в кінці пірсу 10 футів. Човен залишає пірс і опускається якір 230 футів від 3 футів прямо від берега (який перпендикулярно пірсу). Яким був підшипник човна від лінії, проведеної з кінця пірсу через підніжжя пірсу?

    Ф-Д_КС545Е290961709E4D9816547c4889АЦ71440С343Б35142С22Б75А63+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{8}\)

    Рішення

    \(\begin{aligned} \cos x &=\dfrac{7}{230}\rightarrow x=\cos^{−1} \dfrac{7}{230}\\ x&= 88.26^{\circ} \end{aligned}\)

    Рецензія

    1. Відстань від човна до маяка становить 100 футів, а маяк - 120 футів у висоту. Який кут западини від вершини Маяка до човна.
    2. Ви стоїте 100 футів від арки, яка має висоту 68 футів. Під яким кутом потрібно дивитися вгору, щоб побачити вершину арки? Припустимо, що ви 5 футів заввишки.
    3. Кут піднесення вершини церкви до точки 100 футів від бази є\(60^{\circ}\). Знайдіть висоту церкви.

    Ви стоїте, дивлячись на велику картину на стіні. Нижня частина картини на 1 фут вище рівня очей. Картина заввишки 10 футів. Припустімо, що ви стоїте\(x\) ногами від картини і що кут\ тета утворюється лініями зору знизу і вгорі картини.

    1. Намалюйте картинку, щоб представити цю ситуацію.
    2. Вирішити для\(\theta\) з точки зору\(x\).
    3. Якщо ви стоїте в 10 футах від картини, що таке\ тета?
    4. Якщо\(\theta=30^{\circ}\), як далеко ви стоїте від стіни (до найближчої ноги)?

    Ви спостерігаєте за повітряною кулею, яка була 300 футів від вас, коли вона почала підніматися з землі. Припустимо, що висота повітряної кулі\(\theta\) є\(x\) і є кутом піднесення від землі, де ви стоїте до повітряної кулі.

    1. Вирішити для\(x\) з точки зору\(\theta\).
    2. Вирішити для\(\theta\) з точки зору\(x\).
    3. Який кут піднесення, коли повітряна куля знаходиться на висоті 500 футів над землею?
    4. Наскільки високо над землею знаходиться повітряна куля, коли кут піднесення становить 80^ {\ circ}?

    Нагадаємо, що якщо відома широта розташування, то для розрахунку кута нахилу сонця на будь-яку задану дату року можна використовувати наступну формулу:

    \(\text{Angle of sun}=90^{\circ}−\text{latitude}+−23.5^{\circ} \cdot cos[(N+10)\dfrac{360}{365}]\)де\(N\) являє собою число дня року, яке відповідає даті року.

    1. Визначте вимір кута нахилу сонця для будівлі, розташованої на широті квітня\(30^{\circ}\)\(12^{th}\),\(102^{th}\) дня року.
    2. Визначте вимір кута нахилу сонця для будівлі, розташованої на широті серпня\(50^{\circ}\)\(14^{th}\),\(226^{th}\) дня року.
    1. Вежа, висотою 50 футів, закріплена хлопцем дротом, закріпленим на якорі 8 футів від основи вежі. Який кут зробить дріт хлопця із землею?
    2. Флагшток висотою 30 футів відкидає тінь 12 футів. Який кут потрапляє сонце на флагшток?

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 4.10.

    Лексика

    Термін Визначення
    обернена тригонометрична функція Обернена тригонометрична функція - це функція, яка змінює тригонометричну функцію, залишаючи в результаті аргумент вихідної тригонометричної функції.