Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.2.3: Прямі трикутники та підшипники

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54834

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Напрямки, засновані на точках компаса.

    Перебуваючи в поході з друзями, ви берете орієнтування. Ви в кінцевому підсумку на курс, який призводить до вас піші прогулянки на\(30^{\circ}\) захід від через південь. Це відображається як\(S30^{\circ}W\) (завжди починаються з N або S, потім кількість градусів на схід або захід від нього). Ви походите, поки не будете 5 миль від того місця, де ви почали. Чи можна визначити, наскільки ви далеко на захід від того, з чого починали?

    F-D_CEB44D1571F90BB97060AC69EF82d9ce5FB99D487E2CB070185E+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_jpg
    Малюнок\(\PageIndex{1}\)

    Підшипники

    Ви можете використовувати правильні трикутники, щоб знайти відстані за допомогою кутів, заданих як підшипники. У навігації підшипник - це напрямок від одного об'єкта до іншого. В аеронавігації підшипники задаються у вигляді кутів, повернутих за годинниковою стрілкою з півночі.

    На графіку нижче показаний кут 70 градусів:

    Ф-Д_ДАБ 39Б7ДФ 2А692Б06 Акафад 358А28ДФ 2624483Д70ЕД 65АФ190436+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{2}\)

    Важливо пам'ятати, що кути в навігаційних задачах вимірюються таким чином, а не так само, як кути інакше вимірюються в тригонометрії. Крім того, кути в навігації та геодезії також можуть бути наведені з точки зору півночі, сходу, півдня та заходу. Наприклад,\(N70^{\circ}E\) відноситься до кута 70 градусів на схід від прямої півночі, тоді як\(N70^{\circ}W\) відноситься до кута 70 градусів на захід від прямої півночі. \(N70^{\circ}E\)збігається з кутом, показаним на графіку вище. \(N70^{\circ}W\)призведе до кута у другому квадранті, як це:

    Ф-Д_280Д3Е3Д2ДАА 499Ф9ФКД БФ0Е5ДКФ9ФК459АА03А9ЕЦФ96С4090+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)

    Тепер давайте розглянемо проблему, де ми знаходимо відстань, використовуючи прямі трикутники як підшипники.

    Корабель подорожує\(N50^{\circ}E\) курсом. Судно подорожує до тих пір, поки це не буде на північ від порту, який становить 10 морських миль на схід від порту, з якого виник корабель. Як далеко проїжджав корабель?

    Ф-Д_4 БББ8А 56ДА9ЕБ3С6575АЕ 02CDC8112 ЕС7457151С670ЕФ43КФ2А93Б8+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{4}\)

    Кут між d і 10 нм є доповненням\(50^{\circ}\), який є\(40^{\circ}\). Тому ми можемо знайти d за допомогою функції косинуса:

    \(\begin{aligned} \cos 40^{\circ}&=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}=\dfrac{10}{d} \\ \cos 40^{\circ}&=\dfrac{10}{d} \\ d \cos 40^{\circ}&=10 \\ d&=10 \cos 40^{\circ}\approx 13.05 \text{ nautical miles}\end{aligned}\)

    Літак летить на трасі\(S30^{\circ}E\), на 150 км. Як далеко на південь знаходиться літак, звідки він виник?

    Побудуйте трикутник, використовуючи відому інформацію, а потім скористайтеся функцією косинуса для вирішення задачі:

    Ф-Д_051Ф711 де 5ЕБ7КС7Е5Е5С 73БА 10Б6А7Е6А3779Е0Е0Е163Б04К8ФД076+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.JPG
    Малюнок\(\PageIndex{5}\)

    \(\begin{aligned} \cos 30^{\circ} &= \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}=\dfrac{y}{150} \\ \cos 30^{\circ} &=\dfrac{y}{150} \\ 150\cos 30^{\circ}&=y \\ y&=150 \cos 30^{\circ}\approx 130 \text{ km}\end{aligned}\)

    Жан щодня їздить до школи, пройшовши 200 метрів на північ, а потім повертаючи праворуч і пройшовши 100 метрів через схід. Якби вона йшла по прямій лінії, яким був би кут між її будинком і школою, якби початок кута взято з належної півночі? Що було б двома різними способами описати напрямок, щоб взяти ходьбу там по прямій лінії, u\ sin g те, що ми дізналися в цьому розділі?

    З трикутника, наведеного вище, ми можемо використовувати функцію дотичної, щоб визначити кут, якщо вона йшла по прямій лінії.

    \(\begin{aligned} \tan\theta &=\dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}= \dfrac{100}{200} \\ \tan\theta &=\dfrac{100}{200} \\ \theta &=26.57^{\circ} \end{aligned}\)

    Одним із способів опису її прямої лінії є те, наскільки вона далеко на схід від півночі:\(N26.57^{\circ}E\)

    Крім того, оскільки ми знаємо, що підшипники, як правило, засновані на півночі, її рух можна описати як просто підшипник\(26.57^{\circ}\).

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Раніше вам давали деяку інформацію про пішохідну поїздку і запитали: «Чи можна визначити, наскільки ви далеко на південь від того, з чого ви починали?»

    Рішення

    Історія вказувала, що ви поїхали за 5 миль від початкової точки, на підшипнику\(S30^{\circ}W\). Застосовуючи ці дані з розумінням того, як побудувати трикутник за допомогою підшипників, можна намалювати наступне:

    F-D503ED3A838C7F3A1F99D0DE0БФБ75С7А31CF92710DC4A768193+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_jpg
    Малюнок\(\PageIndex{6}\)

    Це показує, що протилежна сторона трикутника - це те, що невідомо. Тому для вирішення проблеми можна скористатися функцією\ sin e:

    \(\begin{aligned} \sin 30^{\circ}&= \dfrac{\text{opposite}}{5} \\ \text{opposite }&= 5\sin 30^{\circ} \\ \text{opposite}&=(5)(.5)=2.5 \end{aligned}\)

    Ви знаходитесь в 2,5 милі на захід від того місця, де ви почали.

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Покладіть курс або підшипник\(240^{\circ}\) на прямокутній системі координат.

    Рішення

    Це те саме, що\(S30^{\circ}W\) (нагадаємо, що через південь становить 270 градусів, тому 240 градусів становить 30 градусів на захід від цього) і може бути побудовано як:

    Ф-Д_034А2185629Е 76Д32302С857163 ЕС1БА 020С25БА 8Ф76002C28 ДБСЕ67+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{7}\)
    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Скотт катання на човні на курсі\(N15^{\circ}E\). Який курс йому потрібно було б пройти, щоб повернутися туди, звідки він прийшов?

    Рішення

    Зворотний напрямок поверне його до вихідної точки. Це було б\(S15^{\circ}W\).

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Адам здійснює походи по трасі\(N 47^{\circ}E\) на 7 км. Як далеко на схід знаходиться Адам з того місця, де він почав?

    Ф-Д_69Д8БФ 1Ф50Ф645Ф17С6338 А42Д11Е07ЕС85583Б232Е433Е0С91+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{8}\)

    Рішення

    Знайдіть довжину трикутника вище (яка є тим, наскільки далеко Адам пройшов схід) за допомогою u\ sin g функції\ sin e:

    \(\begin{aligned} \sin 47^{\circ}&=\dfrac{x}{7} \\ x&=7\sin 47^{\circ} \\ x&=(7)(.7313) \\ x&=5.1191 \end{aligned}\)

    Він знаходиться в 5.1191 км на схід від того місця, де він почав.

    Рецензія

    1. Покладіть курс\(N40^{\circ}E\) на прямокутну систему координат.
    2. Покладіть курс\(60^{\circ}\) на прямокутну систему координат.
    3. Покладіть курс\(S70^{\circ}W\) на прямокутну систему координат.
    4. Покладіть курс\(S5^{\circ}W\) на прямокутну систему координат.
    5. Покладіть курс\(N42^{\circ}W\) на прямокутну систему координат.
    6. Ви на курсі\(N55^{\circ}E\). Який курс вам потрібно було б пройти, щоб повернутися туди, звідки ви прийшли?
    7. Ви на курсі\(S34^{\circ}W\). Який курс вам потрібно було б пройти, щоб повернутися туди, звідки ви прийшли?
    8. Ви на курсі\(N72^{\circ}W\). Який курс вам потрібно було б пройти, щоб повернутися туди, звідки ви прийшли?
    9. Ви на курсі\(S10^{\circ}E\). Який курс вам потрібно було б пройти, щоб повернутися туди, звідки ви прийшли?
    10. Ви на курсі\(N25^{\circ}W\). Який курс вам потрібно було б пройти, щоб повернутися туди, звідки ви прийшли?
    11. Ви знаходитесь на трасі\(47^{\circ}\) на 5 км. Як далеко на схід ви з того місця, з чого починали?
    12. Ви знаходитесь на трасі\(S32^{\circ}E\) на 8 км. Як далеко на схід ви з того місця, з чого починали?
    13. Ви знаходитесь на трасі\(N15^{\circ}W\) на 10 км. Як далеко ви на захід від того, з чого починали?
    14. Ви знаходитесь на трасі\(S3^{\circ}W\) на 12 км. Як далеко ви на захід від того, з чого починали?
    15. Ви знаходитесь на трасі\(S67^{\circ}E\) на 6 км. Як далеко на схід ви з того місця, з чого починали?

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.14.

    Лексика

    Термін Визначення
    Підшипник Підшипник - це те, як вимірюється напрямок в морі. Північ є\(0^{\circ}\), схід є\(90^{\circ}\), південь\(180^{\circ}\), а захід є\(270^{\circ}\).

    Додаткові ресурси

    Інтерактивний елемент

    Відео: Моделі прямокутного трикутника - приклад 1

    Практика: Прямі трикутники та підшипники