2.2.1: Теорема Піфагора та тригонометрія

Last updated
Save as PDF

Page ID: 54813

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Використання тригонометричних функцій або теореми піфагора на основі заданої інформації.

Дерево висотою 40 футів відкидає тінь 80 футів. Який кут піднесення від кінця тіні до верхівки дерева по відношенню до землі?

Проблеми з додатком

При вирішенні словесних задач важливо розуміти термінологію, яка використовується для опису кутів. У тригонометричних задачах зазвичай використовуються терміни кут піднесення і кут западини. Обидва ці кути завжди вимірюються від горизонтальної лінії, як показано на діаграмах нижче.

F-д_9С49ФД4135Е71 ФА29Д02125С9Д8Б0Ф1Б17Е1Б89430257365С9E399+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Давайте вирішимо наступні проблеми.

Літак наближається до аеропорту помічає злітно-посадкову смугу під кутом депресії\(25^{\circ}\). Якщо літак знаходиться на висоті 15,000 футів над землею, як далеко (відстань землі) знаходиться літак від злітно-посадкової смуги? Дайте відповідь на найближчі 100 футів.

Складіть діаграму, щоб проілюструвати описану ситуацію, а потім використовуйте тригонометричне співвідношення для вирішення. Майте на увазі, що кут западини вниз від горизонтальної лінії зору - в даному випадку горизонтальна лінія від пілота площини паралельна землі.

F-д_039А 5760С7 Ба 3А4Д7Д121ДФ 028979А30873Е31С6123Б7 Бебаф 13748+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Зверніть увагу, що кут поглиблення та альтернативний внутрішній кут будуть конгруентними, тому кут у трикутнику також\(25^{\circ}\).

З малюнка ми бачимо, що ми повинні використовувати співвідношення тангенсів, щоб знайти відстань землі.

\(\begin{aligned} \tan 25^{\circ}&=\dfrac{15000}{d} \\ d&=\dfrac{15000}{\tan 25^{\circ}} \approx 32,200 \text{ ft}\end{aligned}\)

Рейчел помічає птаха на дереві під кутом піднесення\(30^{\circ}\). Якщо Рейчел знаходиться в 20 футах від основи дерева, наскільки високо на дереві знаходиться птах? Дайте свою відповідь на найближчу десяту частину фута.

Складіть схему, щоб проілюструвати ситуацію. Майте на увазі, що буде прямокутний трикутник і що прямий кут утворюється землею і стовбуром дерева.

F-д_А7 ДД53027Е02471 ДФ723Д4ФД0ЕАА4ДК 1СА277 ББ8БК1350Ф8300Д55А+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Тут ми можемо використовувати співвідношення тангенсів для вирішення висоти птаха

\(\begin{aligned} tan 30^{\circ}&=\dfrac{h}{20} \\ h&=20 \tan 30^{\circ}\approx 11.5 \text{ ft}\end{aligned}\)

Сходи 12 футів спираються на будинок і досягає 10 футів вгору боку будинку. До найближчого ступеня, який кут роблять сходи з землею?

У цій задачі нам потрібно буде знайти кут. Зробивши ескіз трикутника, ми можемо побачити, яке зворотне тригонометричне співвідношення використовувати.

Ф-д_ЕАФ 00Ф4А16Б031Ф4БА392А62 ББДБ6Ф22С37Б4АЕ 74966БАФ 6Ф785Б97Б+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG — Малюнок\(\PageIndex{4}\)

\(\begin{aligned} sin x^{\circ} &=\dfrac{10}{12}\\ sin^{−1}(\dfrac{10}{12}) &\approx 56^{\circ} \end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Раніше вас просили знайти кут піднесення від кінця тіні до верхівки дерева по відношенню до землі.

Рішення

Якщо ви намалюєте цю ситуацію, то побачите, що ми маємо справу з прямокутним трикутником. Сторона, протилежна куту піднесення, дорівнює 40. Сторона, що прилягає до кута, дорівнює 80. Тому ми можемо використовувати тангенс, щоб знайти кут піднесення.

\(\begin{aligned} \tan x^{\circ}&=\dfrac{40}{80}=\dfrac{1}{2}\\ tan^{−1}(\dfrac{1}{2})&=\approx 26.57^{\circ} \end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Пандус робить\(20^{\circ}\) кут з землею. Якщо двері, до якої веде пандус, знаходиться на висоті 2 фути над землею, як довго пандус? Дайте свою відповідь на найближчу десяту частину фута.

Рішення

\(\begin{aligned} \sin 20^{\circ}&=\dfrac{2}{x} \\ x&=\dfrac{2}{sin20^{\circ}}\approx 5.8 \text{ ft} \end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Чарлі випускає 90 футів струни повітряних зміїв. Якщо кут піднесення струни дорівнює 70^ {\ circ}, приблизно наскільки високий повітряний змій? Дайте свою відповідь найближчій нозі.

Рішення

\(\begin{aligned} \sin 70^{\circ}&=\dfrac{x}{90} \\ x&=90 \sin 70^{\circ}\approx 85 \text{ ft}\end{aligned}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Корабельний гідролокатор помічає уламки під кутом западини 32^ {\ circ}. Якщо глибина океану близько 250 футів, то наскільки далеко знаходяться уламки (вимірюються по поверхні води) від корабля, до найближчої ноги.

Рішення

\(\begin{aligned} \tan 32^{\circ}&=\dfrac{250}{x} \\ x&=\dfrac{250}{\tan 32^{\circ}} \approx 400 \text{ ft} \end{aligned}\)

Рецензія

Використовуйте теорему Піфагора та/або тригонометрію для вирішення наступних проблем слів.

Квадрат має сторони довжиною 8 дюймів. До найближчої десятої частки дюйма, яка довжина його діагоналі?
Лейн помічає вітрильник зі свого балкона п'ятого поверху, приблизно 25 м над пляжем, під кутом западини\(3^{\circ}\). До найближчого метра, як далеко знаходиться човен?
Zip line приймає пасажирів на 200 м їзди від високо на деревах до платформи рівня землі. Якщо кут піднесення лінії блискавки\(10^{\circ}\), наскільки високо над землею знаходиться стартова платформа вершини дерева? Дайте свою відповідь найближчому лічильнику.
Кут западини від вершини багатоквартирного будинку до основи фонтану в сусідньому парку становить\(57^{\circ}\). Якщо будівля заввишки 150 футів, як далеко, до найближчої ноги, знаходиться фонтан?
Ігровий майданчик слайд платформа 6 футів над землею. Якщо слайд довжиною 8 футів, а кінець слайда - 1 фут над землею, який кут робить слайд із землею? Дайте свою відповідь найближчим ступенем.
Бенджамін помічає дерево прямо через річку, звідки він стоїть. Потім він йде 27 футів вгору за течією і визначає, що кут між його попереднім положенням і деревом на іншій стороні річки є\(73^{\circ}\). Наскільки широка, до найближчої ноги, річка?
Прямокутник має сторони довжиною 6 дюймів і 10 дюймів. До найближчого ступеня, який кут робить діагональ з довшою стороною?
Томмі летить його повітряний змій одного дня і помічає, що він випустив весь 130 футів струни. Кут, який його струна робить з землею, є\(48^{\circ}\). Наскільки високо, до найближчої ноги, знаходиться його повітряний змій в цей час?
Дерево, уражене блискавкою в шторм, ламається і падає, утворюючи трикутник із землею. Верхівка дерева робить\(18^{\circ}\) кут із землею 21 фут від основи дерева. Якою була висота дерева до найближчої ноги?
При спуску літак знаходиться на висоті 19,000 футів над землею. Вежа управління повітряним рухом має висоту 190 футів. Визначено, що кут піднесення від вершини вежі до площини дорівнює\(15^{\circ}\). До найближчої милі знайдіть наземну відстань від літака до вежі.
Чому співвідношення синусів і косинусів завжди буде менше 1?

Відповіді на проблеми з оглядом

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 13.4.

Додаткові ресурси

Інтерактивний елемент

Відео: Розв'язування правильних трикутників - огляд

Практика: Теорема Піфагора та тригонометрія