10.2 Полярні рівняння коніків

Полярні координати дозволяють розширити свої знання про коніки в новому контексті. Калькулятори є відмінним інструментом для побудови графіків полярних коніків. Які настройки потрібно знати, щоб правильно користуватися калькулятором?

Полярні рівняння коніків

Полярні рівняння відносяться до радіуса\(r\) як до функції кута\(\theta\). Є кілька типових полярних рівнянь, які ви повинні бути в змозі розпізнати і графік безпосередньо з їх полярної форми.

Наступна полярна функція - це коло радіуса,\(\frac{a}{2}\) що проходить через початок з центром під кутом\(\beta\).

\(r=a \cdot \cos (\theta-\beta)\)

Існують інші способи представлення кола, подібного до цього, використовуючи співфункціональні ідентичності та котермінальні кути.

Еліпси, параболи і гіперболи мають загальне загальне полярне рівняння. Так само, як і у випадку з колом, існують інші способи представлення цих відносин за допомогою кофункціональних та котермінальних кутів; однак цю загальну форму найпростіше використовувати, оскільки кожен параметр може бути негайно інтерпретований у графіку. Параметр - це константа в загальному рівнянні, яка приймає певне значення в конкретному рівнянні.

\(r=\frac{k \cdot e}{1-e \cdot \cos (\theta-\beta)}\)

Одна з точок фокусування конічного коніка, написаного таким чином, завжди знаходиться на полюсі (початку). Кут\(\beta\) вказує кут у напрямку до центру, якщо конічний є еліпсом, напрямок відкриття, якщо конічний - парабола, і кут від центру, якщо конічний є гіперболою. Ексцентричність\(e\) повинна підказати, що це таке конічний. Константа\(k\) - це відстань від фокуса на полюсі до найближчої директриси. Ця директриса лежить в протилежному напрямку, зазначеному\(\beta\).

Є багато можливостей для питань, пов'язаних з частковою інформацією з полярними коніками. Кілька відносин, які часто корисні для вирішення цих питань:

• \(e=\frac{c}{a}=\frac{\overline{P F}}{\overline{P D}} \rightarrow \overline{P F}=e \cdot \overline{P D}\)
• Еліпси:\(k=\frac{a^{2}}{c}-c\)
• Гіперболи:\(k=c-\frac{a^{2}}{c}\)

Відмінний спосіб відкрити нові типи графіків у полярних координатах - це самостійно експериментувати з калькулятором. Спробуйте придумати рівняння і графіки, схожі на наступні дві полярні функції.

Коло синього кольору має центр в\(90^{\circ}\) і має діаметр 2. Його рівняння є\(r=2 \cos \left(\theta-90^{\circ}\right)\).

Червоний еліпс, здається, має центр (2,0) з\(a=4\) і\(c=2\). Це означає, що ексцентриситет є Для\(e=\frac{1}{2} .\) того, щоб записати рівняння в полярній формі, вам все одно потрібно знайти\(k\).

\(k=\frac{a^{2}}{c}-c=\frac{4^{2}}{2}-2=8-2=6\)

Таким чином, рівняння для еліпса таке:

\(r=\frac{6 \cdot \frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2} \cdot \cos (\theta)}\)

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали про те, як використовувати калькулятор для графування полярних рівнянь. Більшість калькуляторів мають режим полярних координат. На\(\mathrm{TI}-84,\) режим можна переключити на полярний в меню режимів. Це змінює функції графіки. Ви можете вибрати, щоб бути в радіанах або градусах, і графіки будуть виглядати однаково. Коли ви графуєте коло форми\(r=8 \cdot \cos \theta\). Ви повинні побачити наступне на калькуляторі.

При переході в налаштування вікна ви повинні помітити, що крім\(X_{\min }, X_{\max }\) є нові настройки під назвою\(\theta_{\min }, \theta_{\max }\) і\(\theta_{\text {step }}\).

Якщо\(\theta_{\min }\) і\(\theta_{\max }\) не охоплюють весь період, ви можете в кінцевому підсумку втратити частину вашого полярного графіка.

\(\theta_{\text {step }}\)Контролює, наскільки точним повинен бути графік. Якщо поставити\(\theta_{\text {step }}\) на низьке число, як 0.1, графік буде будувати надзвичайно повільно, оскільки калькулятор робить 3600 розрахунків косинусів. З іншого боку, якщо\(\theta_{\text {step }}=30\) тоді калькулятор буде робити менше розрахунків, виробляючи грубе коло, але, ймовірно, недостатньо точно для ваших цілей.

Приклад 2

Визначте центр, вогнища, вершини та рівняння прямих директрис для наступних конічних:

\(r=\frac{20}{4-5 \cdot \cos \left(\theta-\frac{3 \pi}{4}\right)}\)

Спочатку полярне рівняння має бути в графічній формі. Це означає, що знаменник повинен виглядати так\(1-e \cdot \cos (\theta-\beta)\).

\(r=\frac{20}{4-5 \cdot \cos \left(\theta-\frac{3 \pi}{4}\right)} \cdot \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}=\frac{5}{1-\frac{5}{4} \cdot \cos \left(\theta-\frac{3 \pi}{4}\right)}=\frac{4 \cdot \frac{5}{4}}{1-\frac{5}{4} \cdot \cos \left(\theta-\frac{3 \pi}{4}\right)}\)

\(e=\frac{5}{4}, \quad k=4, \quad \beta=\frac{3 \pi}{4}=135^{\circ}\)

Використовуючи цю інформацію та відносини, про які вам нагадали в керівництві, ви можете налаштувати систему і вирішити для\(a\) і\(c\).

\(\begin{aligned} 4 &=c-\frac{a^{2}}{c} \\ \frac{5}{4} &=\frac{c}{a} \rightarrow \frac{4}{5}=\frac{a}{c} \rightarrow \frac{4 c}{5}=a \\ 4 &=c-\left(\frac{4 c}{5}\right)^{2} \cdot \frac{1}{c} \\ 4 &=c-\frac{16 c^{2}}{25 c} \\ 4 &=\frac{9 c}{25} \\ \frac{100}{9} &=c \\ \frac{80}{9} &=a \end{aligned}\)

Центр - це точка,\(\left(\frac{100}{9}, \frac{7 \pi}{4}\right)\) яку набагато зручніше писати в полярних координатах. Найближча директриса - це лінія\(r=4 \cdot \sec \left(\theta-\frac{7 \pi}{4}\right)\). Інша директриса - це лінія\(r=\left(2 \cdot \frac{100}{9}-4\right) \cdot \sec \left(\theta-\frac{7 \pi}{4}\right)\). Один фокус знаходиться на полюсі, інший фокус - це точка\(\left(\frac{200}{9}, \frac{7 \pi}{4}\right)\). Вершини знаходяться в центрі плюс або мінус\(a\) під тим же кутом:

\(\left(\frac{100}{9} \pm \frac{80}{9}, \frac{7 \pi}{4}\right)\)

Зібравши всю цю інформацію воєдино, графік конічного конуса такий:

Приклад 3

Перетворіть наступний конічний з полярної форми в прямокутну форму.

\(r=\frac{3}{2-\cos \theta}\)

Існує багато способів перетворення з полярної форми в прямокутну форму. Ви повинні стати

комфортно з алгеброю.

\(\begin{aligned} r &=\frac{3}{2-\cos \theta} \\ r(2-\cos \theta) &=3 \\ 2 r-r \cdot \cos \theta &=3 \\ 2 r &=3+r \cdot \cos \theta=3+y \\ 4 r^{2} &=9+6 y+y^{2} \\ 4\left(x^{2}+y^{2}\right) &=9+6 y+y^{2} \\ 4 x^{2}+4 y^{2} &=9+6 y+y^{2} \\ 4 x^{2}+3 y^{3}+6 y &=9 \\ 4 x^{2}+3\left(y^{2}+2 y+1\right) &=9+3 \\ 4 x^{2}+3(y+1)^{2} &=12 \\ \frac{x^{2}}{3}+\frac{(y+1)^{2}}{4} &=1 \end{aligned}\)

Приклад 4

Графік наступний конічний.

\(r=\frac{3}{2-\cos \left(\theta-30^{\circ}\right)}\)

Перетворити на стандартну конічну форму.

\(\begin{aligned} r &=\frac{3}{2-\cos \left(\theta-30^{\circ}\right)} \\ r &=\frac{3}{2-\cos \left(\theta-30^{\circ}\right)} \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{3}{2}}{1-\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\theta-30^{\circ}\right)}=\frac{3 \cdot \frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2} \cdot \cos \left(\theta-30^{\circ}\right)} \\ k &=3, \quad e=\frac{1}{2}, \quad \beta=30^{\circ} \end{aligned}\)

Приклад 5

Переведіть наступну конічну форму в полярну форму.

\((x-3)^{2}+(y+4)^{2}=25\)

Розгорніть вихідне рівняння, а потім перекладіть на полярні координати:

\((x-3)^{2}+(y+4)^{2}=25\)

\(x^{2}-6 x+9+y^{2}+8 y+16=25\)

\(r^{2}-6 x+8 y=0\)

\(r^{2}-6 r \cdot \cos \theta+8 r \cdot \sin \theta=0\)

\(r-6 \cos \theta+8 \sin \theta=0\)

\(r=6 \cos \theta-8 \sin \theta\)

Рецензія

Перетворіть наступні коніки з полярної форми в прямокутну форму. Потім визначте конус.

1. \(r=\frac{5}{3-\cos \theta}\)

2. \(r=\frac{4}{2-\cos \theta}\)

3. \(r=\frac{2}{2-\cos \theta}\)

4. \(r=\frac{3}{2-4 \cos \theta}\)

5. \(r=5 \cos (\theta)\)

Графік наведені нижче коніки.

6. \(r=\frac{5}{4-2 \cos \left(\theta-90^{\circ}\right)}\)

7. \(r=\frac{5}{3-7 \cos \left(\theta-60^{\circ}\right)}\)

8. \(r=\frac{3}{3-3 \cos \left(\theta-30^{\circ}\right)}\)

9. \(r=\frac{1}{2-\cos \left(\theta-60^{\circ}\right)}\)

10. \(r=\frac{3}{6-3 \cos \left(\theta-45^{\circ}\right)}\)

Переведіть наступні коніки в полярну форму.

11. \(\frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)

12. \((x-5)^{2}+(y+12)^{2}=169\)

13. \(x^{2}+(y+1)^{2}=1\)

14. \((x-1)^{2}+y^{2}=1\)

15. \(-3 x^{2}-4 x+y^{2}-1=0\)