10.1 Полярні та прямокутні координати
- Page ID
- 54611
У прямокутній системі координат точки ідентифікуються за їх відстанями від\(y\) осей\(x\) і. У полярній системі координат точки ідентифікуються за кутом на одиничному колі і відстані від початку. Ви можете використовувати базову тригонометрію прямокутного трикутника для перекладу вперед і назад між двома уявленнями однієї і тієї ж точки. Як на лінії та інші функції впливає ця нова система координат?
Полярні та прямокутні координати
Прямокутні координати - це звичайні\((x, y)\) координати, до яких ви звикли.
Полярні координати представляють ту саму точку, але описують точку віддаленістю від початку\((r)\) і кутом на одиничному колі\((\theta)\). Для перекладу між полярними і прямокутними координатами слід скористатися основними триговими співвідношеннями:
\(\sin \theta=\frac{y}{r} \rightarrow r \cdot \sin \theta=y\)
\(\cos \theta=\frac{x}{r} \rightarrow r \cdot \cos \theta=x\)
\(\tan \theta=\frac{y}{x} \rightarrow \theta=\tan ^{-1} \frac{y}{x}\)
Ви також можете висловити зв'язок між теоремою Піфагора\(x, y\) та\(r\) за допомогою неї.
\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)
Зверніть увагу, що координати в полярній формі не є унікальними. Це тому, що існує нескінченна кількість співтермінальних кутів, які вказують на будь-яку задану\((x, y)\) координату.
Наприклад, точка (3,4) може бути записана в полярних координатах принаймні трьома різними способами. Щоб знайти\(\theta\), використовуйте третє рівняння зверху і для пошуку\(r\) використовуйте теорему піфагора.
\(\tan \theta=\frac{4}{3}\)
\(\theta=\tan ^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.1^{\circ}\)
\(r^{2}=3^{2}+4^{2}\)
\(r=5\)
Три еквівалентні полярні координати точки (3,4):
\(\left(5,53.1^{\circ}\right), \quad\left(5,413.1^{\circ}\right), \quad\left(-5,233.1^{\circ}\right)\)
Зверніть увагу, як третя координата вказує у зворотному напрямку і має, здавалося б, негативний радіус. Це означає йти в протилежному напрямку від кута.
Після того, як ви можете перекладати вперед і назад між точками, використовуйте ті ж заміни, щоб змінити рівняння теж. Полярне рівняння записується з радіусом як функція кута. Це означає, що рівняння в полярній формі слід записати у вигляді\(r=\) ___.
Щоб записати рівняння в полярній формі, використовуйте рівняння перетворення для підстановки. Наприклад, для перетворення в\(y=-x+1\) полярну форму зробіть заміни на\(y\) і\(x\). Потім вирішуйте для\(r\).
\(\begin{aligned} r \cdot \sin \theta &=-r \cdot \cos \theta+1 \\ r \cdot \sin \theta+r \cdot \cos \theta &=1 \\ r(\sin \theta+\cos \theta) &=1 \\ r &=\frac{1}{\sin \theta+\cos \theta} \end{aligned}\)
Приклади
Раніше вас запитали, як лінії можуть бути представлені в полярній системі координат. Загальний спосіб вираження лінії\(y=m x+b\) в полярній формі є\(r=\frac{b}{\sin \theta-m \cdot \cos \theta}\).
Висловіть наступне рівняння, використовуючи прямокутні координати:\(r=\frac{8}{1+2 \cos \theta}\).
Використовуйте те, що\(r=\pm \sqrt{x^{2}+y^{2}}\) і\(r \cos \theta=x\).
\(\begin{aligned} r+2 r \cdot \cos \theta &=8 \\ \pm \sqrt{x^{2}+y^{2}}+2 x &=8 \\ \pm \sqrt{x^{2}+y^{2}} &=8-2 x \\ x^{2}+y^{2} &=64-32 x+4 x^{2}\\-3 x^{2}+32 x+y^{2}-64 &=0 \end{aligned}\)
Це рівняння гіперболи.
Намалюйте наступне полярне рівняння:\(r=3\).
Оскільки тета відсутня в рівнянні, вона може вільно змінюватися. Це просте рівняння дає ідеальне
коло радіусом 3 по центру в початковій точці.
Ви можете показати, що це рівняння еквівалентно\(x^{2}+y^{2}=9\)
Намалюйте наступне полярне рівняння:\(r=\theta\) с\(\theta: 0 \leq \theta \leq 2 \pi\).
Рівняння\(r=\theta\) є прикладом полярного рівняння, яке неможливо легко виразити в прямокутній формі. Для того щоб накидати графік, виділіть кілька ключових моментів:
\((0,0),\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right),(\pi, \pi),\left(\frac{3 \pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right),(2 \pi, 2 \pi)\). Ви повинні бачити, що форма дуже впізнавана як спіраль.
Переведіть наступний полярний вираз у прямокутні координати, а потім графік.
\(r=2 \cdot \sec \left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)\)
Спочатку спростіть полярне рівняння перед перетворенням на прямокутні координати
\(\begin{aligned} r &=2 \cdot \sec \left(\theta-\frac{\pi}{2}\right) \\ r \cdot \cos \left(\theta-\frac{\pi}{2}\right) &=2 \\ r \cdot \cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) &=2 \\ r \cdot \sin \theta &=2 \\ y &=2 \end{aligned}\)
Побудуйте наступні полярні координати.
1. \(\left(3, \frac{5 \pi}{6}\right)\)
2. \(\left(2, \frac{\pi}{2}\right)\)
3. \(\left(4,-\frac{7 \pi}{6}\right)\)
4. \(\left(-2, \frac{5 \pi}{3}\right)\)
Дайте два альтернативних набору координат для кожної точки.
5. \(\left(2,60^{\circ}\right)\)
6. \(\left(5,330^{\circ}\right)\)
7. \(\left(2,210^{\circ}\right)\)
Графік кожного рівняння.
8. \(r=4\)
9. \(\theta=\frac{\pi}{4}\)
10. \(r=2 \theta\)с\(\theta: 0 \leq \theta \leq 2 \pi\).
Перетворіть кожну точку в прямокутну форму.
11. \(\left(4, \frac{2 \pi}{3}\right)\)
12. \(\left(3, \frac{\pi}{4}\right)\)
13. \(\left(5, \frac{\pi}{3}\right)\)
Перетворіть кожну точку в полярну форму, використовуючи радіани де\(0 \leq \theta<2 \pi\).
14. (1,3)
15. (1, -4)
16. (2,6)
Перетворіть кожне рівняння в полярну форму.
17. \(x=3\)
18.\ (2 х+4 у = 2\