Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

8.2 Системи трьох рівнянь і трьох невідомих

  • Page ID
    54566
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Пізніше ви дізнаєтеся про матриці і про те, як зменшити рядки, що дозволить вам вирішувати системи рівнянь по-новому. Для того, щоб налаштувати вас так, щоб використання матриць було логічним і корисним, важливо спочатку вирішити кілька систем з трьох рівнянь, використовуючи дуже специфічний тип усунення змінних.

    Коли ви вирішуєте системи, що вам дозволено робити з кожним рівнянням?

    Розв'язування систем рівнянь з трьома невідомими

    Система з трьох рівнянь з трьома невідомими являє собою три площини в тривимірному просторі. При вирішенні системи ви з'ясовуєте, як площини перетинаються. Один із способів, яким можуть перетинатися три площини, - це точка:

    Система рівнянь, яка має хоча б одне рішення, називається послідовною системою.

    Також можливо, щоб дві або більше площин були паралельними або кожна пара площин перетиналася в прямій. У будь-якому з цих випадків три площини не перетинаються в одній точці, і система, як кажуть, не має рішення. Система рівнянь без розв'язків називається неузгодженою системою. Якщо три площини перетинаються на прямій або площині, існує нескінченна кількість рішень.

    Наступна система рівнянь має рішення (1,3,7). Ви можете переконатися в цьому, підставивши 1 для\(x\), 3 для\(y,\) і 7 для\(z\) кожного рівняння.

    \(\begin{aligned} x+2 y-z &=0 \\ 7 x-0 y+z &=14 \\ 0 x+y+z &=10 \end{aligned}\)

    Одна річ, про яку слід пам'ятати, коли дана система рівнянь, є чи ні рівняння лінійно незалежними. Три рівняння лінійно незалежні, якщо кожне рівняння не може бути отримано лінійною комбінацією двох інших. Пам'ятайте, що лінійна комбінація означає, що одне рівняння можна записати як суму кратних іншим.

    При вирішенні системи з трьох рівнянь і трьох змінних є кілька загальних рекомендацій, які можуть бути корисні:

    • Почніть з спроби усунути першу змінну в другому ряду.
    • Далі усуваємо першу і другу змінні в третьому ряду. Це створить нульові коефіцієнти в правому нижньому куті.
    • Повторіть цей процес для верхнього правого кута, і ви повинні в кінцевому підсумку з дуже красивою діагоналлю, яка вказує на те, що\(x, y\) і\(z\) рівне.

    Візьмемо систему рівнянь, згаданих вище:

    \(x+2 y-z=0\)

    \(7 x-0 y+z=14\)

    \(0 x+y+z=10\)

    Існує ряд способів вирішення цієї системи. Загальні прийоми передбачають обмін рядками,

    ділення і множення рядка на константу і додавання або віднімання кратного одному рядку до

    інший.

    Крок 1: Поміняйте місцями ряди 2 і 3. Змінити -0 на\(+0 .\)

    \(\begin{aligned} x+2 y-z &=0 \\ 0 x+y+z &=10 \\ 7 x+0 y+z &=14 \end{aligned}\)

    Крок 2: Відніміть 7 разів ряд 1 з ряду 3, а потім замініть рядок 3.

    \(\begin{aligned} x+2 y-z &=0 \\ 0 x+y+z &=10 \\ 0 x-14 y+8 z &=14 \end{aligned}\)

    Крок 3: Додайте 14 разів рядок 2 до рядка 3, а потім замініть рядок\(3 .\)

    \(\begin{aligned} x+2 y-z &=0 \\ 0 x+y+z &=10 \\ 0 x+0 y+22 z &=154 \end{aligned}\)

    Крок 4: Розділіть ряд 3 на 22.

    \(\begin{aligned} x+2 y-z &=0 \\ 0 x+y+z &=10 \\ 0 x+0 y+z &=7 \end{aligned}\)

    Крок 5: Відніміть рядок 3 з рядка 2, а потім замініть рядок 2.

    \(x+2 y-z=0\)

    \(0 x+y+0 z=3\)

    \(0 x+0 y+z=7\)

    Крок 6: Додайте рядок 3 до рядка 1, а потім замініть рядок 1.

    \(x+2 y+0 z=7\)

    \(0 x+y+0 z=3\)

    \(0 x+0 y+z=7\)

    Крок 7: Відніміть 2 рази ряд 2 з рядка 1, а потім замініть рядок 1

    \(x+0 y+0 z=1\)

    \(0 x+y+0 z=3\)

    \(0 x+0 y+z=7\)

    Рішення системи є (1,3,7) точно так, як зазначено раніше.

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас запитали, що вам дозволено робити при вирішенні системи з трьох рівнянь. При вирішенні системи з трьох рівнянь з трьома невідомими вам дозволяється складати і віднімати рядки, міняти місцями рядки і масштабувати рядки. Ці три операції повинні дозволити систематично усунути коефіцієнти змінних.

    Приклад 2

    Наступна система лінійно незалежна або залежна? Звідки ти знаєш?

    \(3 x+2 y+z=8\)

    \(x+y+z=3\)

    \(5 x+4 y+3 z=14\)

    \(6 x+6 y+6 z=18\)

    З чотирма рівняннями та трьома невідомими має бути принаймні одне залежне рівняння. Найпростіший метод бачення лінійної залежності полягає в тому, щоб помітити, що одне рівняння просто кратне іншому. У цьому випадку четверте рівняння всього в шість разів перевищує друге рівняння, і тому воно залежить.

    Більшість людей не помітять, що третє рівняння також залежить. Це звичайно, щоб почати робити проблему і помітити десь по дорозі, що всі змінні в рядку зникають. Це означає, що початкові рівняння були залежними. У цьому випадку третє рівняння - це перше рівняння плюс два рази друге рівняння. Це означає, що вони залежні.

    Приклад 3

    Звести наступну систему до системи з двох рівнянь і двох невідомих.

    \(3 x+2 y+z=7\)

    \(4 x+0 y+z=6\)

    \(6 x-y+0 z=5\)

    Стратегічно поміняти рядки так, щоб нульові коефіцієнти не жили по діагоналі - розумний стартовий хід.

    Крок 1: Поміняйте місцями ряди 2 і 3.

    \(3 x+2 y+z=7\)

    \(6 x-y+0 z=5\)

    \(4 x+0 y+z=6\)

    Крок 2: Масштабуйте рядок 3 в 3 рази. Відніміть 2 рази ряд 1 з ряду 2 і замініть ряд 2.

    \(\begin{aligned} 3 x+2 y+z &=7 \\ 0 x-5 y-2 z &=-9 \\ 12 x+0 y+3 z &=18 \end{aligned}\)

    Крок 3: Відніміть 4 рази ряд 1 з ряду 3 і замініть рядок 3.

    \(3 x+2 y+z=7\)

    \(0 x-5 y-2 z=-9\)

    \(0 x-8 y-z=-10\)

    Крок 4: Масштабуйте другий ряд на 8, а третій ряд - на 5.

    \(\begin{aligned} 3 x+2 y+z &=7 \\ 0 x-40 y-16 z &=-72 \\ 0 x-40 y-5 z &=-50 \end{aligned}\)

    Крок 5: Відніміть рядок 2 з рядка 3 і замініть рядок 3.

    \(\begin{aligned} 3 x+2 y+z &=7 \\ 0 x-40 y-16 z &=-72 \\ 0 x+0 y+11 z &=+22 \end{aligned}\)

    Крок 6: Розділіть ряд 3 на 11.

    \(\begin{aligned} 3 x+2 y+z &=7 \\ 0 x-40 y-16 z &=-72 \\ 0 x+0 y+z &=2 \end{aligned}\)

    Тепер\(z=2\), перепишіть систему, щоб вона стала системою з двох рівнянь і двох невідомих.

    \(3 x+2 y+2=7\)

    \(0 x-40 y-32=-72\)

    Рішення другого рядка показує те,\(y=1\) що можна використовувати для визначення цього\(x=1\).

    Приклад 4

    Коли Кейтлін пішла в магазин з десятьма доларами, вона побачила, що у неї є вибір щодо того, що купити. Вона могла отримати одне яблуко, одну цибулину і один кошик чорниці за 9 доларів. Вона змогла отримати два яблука і дві цибулини за 10 доларів. Вона також могла отримати дві цибулини і один кошик чорниці за 10 доларів. Напишіть і розв'яжіть систему рівнянь зі змінними\(a, o\) і\(b\) представляючи кожну з трьох речей, які вона може купити.

    Ось система рівнянь:

    \(\begin{aligned} a+o+b &=9 \\ 2 a+2 o &=10 \\ 2 o+b &=10 \end{aligned}\)

    Перепишіть систему за допомогою\(x, y\) і\(z\) так, щоб\(o\) і 0 не переплуталися. Включіть коефіцієнти 0 так, щоб кожен стовпець представляв одну змінну.

    Крок 1: Перепишіть

    \(1 x+1 y+1 z=9\)

    \(2 x+2 y+0 z=10\)

    \(0 x+2 y+1 z=10\)

    Крок 2: Відніміть 2 рази ряд 1 з ряду 2 і замініть ряд 2.

    \(1 x+1 y+1 z=9\)

    \(0 x+0 y-2 z=-8\)

    \(0 x+2 y+1 z=10\)

    Крок 3: Розділіть ряд 2 на -2.

    \(\begin{aligned} 1 x+1 y+1 z &=9 \\ 0 x+0 y+1 z &=4 \\ 0 x+2 y+z &=10 \end{aligned}\)

    На цьому етапі ви можете побачити з другого рівняння, що\(z=4\). З третього рівняння\(2 y+4=10\), так\(y=3\). Нарешті ви можете побачити з першого рівняння, що\(x+3+4=9\) так\(x=2\). Яблука коштують 2 долари кожен, цибуля коштує 3 долари, а чорниця - 4 долари.

    Приклад 5

    Показати, що наступна система є залежною.

    \(x+y+z=9\)

    \(x+2 y+3 z=22\)

    \(2 x+3 y+4 z=31\)

    Ви могли помітити, що третє рівняння - це просто сума двох інших. Що відбувається, коли ви не помічаєте і намагаєтеся вирішити систему так, ніби вона незалежна?

    Крок 1: Перепишіть систему.

    \(x+y+z=9\)

    \(x+2 y+3 z=22\)

    \(2 x+3 y+4 z=31\)

    Крок 2: Відніміть 2 рази рядок 1 з рядка 3 і замініть рядок\(3 .\)

    \(\begin{aligned} x+y+z &=9 \\ x+2 y+3 z &=22 \\ 0 x+1 y+2 z &=13 \end{aligned}\)

    Крок 3: Відніміть рядок 1 з рядка 2 і замініть рядок 2.

    \(\begin{aligned} x+y+z &=9 \\ 0 x+1 y+2 z &=13 \\ 0 x+1 y+2 z &=13 \end{aligned}\)

    У цей момент, коли ви віднімаєте рядок 2 з рядка 3, всі коефіцієнти в рядку 3 зникають. Це означає, що у вас вийде наступна система всього з двох рівнянь і трьох невідомих. Оскільки невідомі перевершують рівняння, система не має рішення однієї точки.

    \(\begin{aligned} x+y+z &=9 \\ 0 x+1 y+2 z &=13 \end{aligned}\)

    Рецензія

    1. Рівняння з трьома змінними представляє площину в просторі. Опишіть всі способи, якими три площини могли взаємодіяти в просторі.

    2. Що означає, щоб рівняння були лінійно залежними?

    3. Як ви можете сказати, що система лінійно залежить?

    4. Якщо у вас є лінійно незалежні рівняння з чотирма невідомими, скільки з цих рівнянь вам потрібно, щоб отримати одне рішення?

    5. Вирішити таку систему рівнянь:

    \(3 x-4 y+z=-17\)

    \(6 x+y-3 z=4\)

    \(-x-y+5 z=16\)

    6. Показати, що наступна система залежить:

    \(\begin{aligned} 2 x-2 y+z &=5 \\ 6 x+y-3 z &=2 \\ 4 x+3 y-4 z &=-3 \end{aligned}\)

    7. Вирішити таку систему рівнянь:

    \(\begin{array}{r} 4 x+y+z=15 \\ -2 x+3 y+4 z=38 \\ -x-y+3 z=16 \end{array}\)

    8. Вирішити таку систему рівнянь:

    \(\begin{array}{c} 3 x-2 y+3 z=6 \\ x+3 y-3 z=-14 \\ -x+y+5 z=22 \end{array}\)

    9. Вирішити таку систему рівнянь:

    \(3 x-y+z=-10\)

    \(\begin{array}{l} 6 x-2 y+2 z=-20 \\ -x-y+4 z=12 \end{array}\)

    10. Вирішити таку систему рівнянь:

    \(\begin{aligned} x-3 y+6 z &=-30 \\ 4 x+2 y-3 z &=18 \\ -8 x-3 y+2 z &=-22 \end{aligned}\)

    11. Вирішити наступну систему рівнянь.

    \(\begin{aligned} x+2 y+2 z+w &=5 \\ 2 x+y+2 z-0 w &=5 \\ 3 x+3 y+3 z+2 w &=12 \\ x+0 y+z+w &=1 \end{aligned}\)

    Парабола проходить\((3,-9.5),(6,-32),\) і (-4,8)

    12. Напишіть систему рівнянь, яку ви могли б використати для розв'язання, щоб знайти рівняння параболи. Підказка: Використовуйте загальне рівняння\(A x^{2}+B x+C=y\).

    13. Розв'яжіть систему рівнянь з #12.

    Парабола проходить\((-2,3),(2,19),\) і\((1,6) .\)

    14. Напишіть систему рівнянь, яку ви могли б використати для розв'язання, щоб знайти рівняння параболи. Підказка: Використовуйте загальне рівняння\(A x^{2}+B x+C=y\).

    15. Розв'яжіть систему рівнянь з #14.