4.2: Круговий рух та аналіз розмірів
- Page ID
- 54443
Перетворення між одиницями має важливе значення для математики та науки в цілому. Радіани дуже потужні, оскільки забезпечують зв'язок між лінійною та кутовою швидкістю. Один радіан - це кут, який завжди відповідає довжині дуги в один радіус. Це дозволить вам перетворити швидкість, з якою ви крутите педалі велосипеда, на фактичну швидкість, яку ви можете подорожувати.
1 революція\(=2 \pi r\)
Шестерня біля педалей на велосипеді має радіус 5 дюймів і крутиться раз в секунду. Він з'єднаний ланцюгом з другою передачею, яка має радіус 3 дюйма. Якщо друге колесо підключено до шини з радіусом 17 дюймів, наскільки швидко велосипед рухається в милі на годину?
Круговий рух і вимірний аналіз
Розмірний аналіз просто означає перетворення з однієї одиниці в іншу. Іноді це потрібно зробити в кілька кроків, і в цьому випадку найкраще написати вихідну суму зліва, а потім помножити її на всі різні необхідні конверсії. Щоб перетворити 3 милі в дюйми ви пишете:
\(\frac{3 \text { mile }}{1} \cdot \frac{5280 \text { feet}}{1 \text { mile }} \cdot \frac{12 \text { inches }}{1 \text { foot }}=\frac{3 \cdot 5280 \cdot 12 \text { inches}}{1}=190080\)дюймів
Зверніть увагу, як милі і фути/фути можуть бути використані для перетворення миль в потрібну одиницю дюймів. Одиниці, як і числа, можуть вирішуватися до одного, коли вони існують як в чисельнику, так і в знаменнику\(\left(\frac{3}{3}=1\right.\),\(\left.\frac{f e e t}{f e e t}=1\right) .\) а також зверніть увагу, що кожен коефіцієнт перетворення - це однакова відстань на чисельнику та знаменнику, просто написані різними одиницями.
Круговий рух відноситься до того, що на прядильному колесі точки близько до центру колеса насправді рухаються дуже повільно і точки біля краю колеса насправді подорожують набагато швидше. Кутова швидкість - це відношення оборотів, які відбуваються в одиницю часу, а лінійна швидкість - відношення відстані в одиницю часу. Хоча дві точки мають однакову кутову швидкість, їх лінійна швидкість дуже різна.
Приклади
Раніше вам давали наступне питання: передача біля педалей на велосипеді має радіус 5 дюймів і крутиться раз в секунду. Він з'єднаний ланцюгом з другою передачею, яка має радіус 3 дюйма. Якщо друге колесо підключено до шини з радіусом 17 дюймів, наскільки швидко велосипед рухається в милі на годину?
Велосипед має педалі, які обертають передачу з круговою швидкістю. Шестерня переводить цю швидкість в лінійну швидкість на ланцюзі. Потім ланцюг переміщує другу передачу, яка є перетворенням на кутову швидкість для задньої шини. Потім ця шина перетворює кутову швидкість назад до лінійної швидкості, яка є наскільки швидко ви рухаєтеся. Замість того, щоб робити всі ці обчислення в один крок, простіше робити кожну конвертацію невеликими шматочками.
Спочатку перетворюють вихідну передачу в лінійну швидкість ланцюга.
\(\frac{1 \text { revolution}}{1 \text { second }} \cdot \frac{2 \pi \cdot 5 \text { inches }}{1 \text { revolution }}=10 \pi \frac{i n}{\sec }\)
Потім перетворюють швидкість ланцюга в кутову швидкість задньої передачі, яка така ж, як і кутова швидкість задньої шини.
\(\frac{10 \pi \text { inches}}{1 \text { second }} \cdot \frac{1 \text { revolution}}{2 \pi \cdot 3 \text { inches}}=\frac{10}{6} \frac{\text {rev}}{\text {sec}}\)
Нарешті перетворити кутову швидкість задньої шини в лінійну швидкість шини в милі на годину.
\(\frac{10 \mathrm{rev}}{6 \mathrm{sec}} \cdot \frac{2 \pi \cdot 17 \mathrm{in}}{1 \mathrm{rev}} \cdot \frac{1 \mathrm{ft}}{12 \mathrm{in}} \cdot \frac{1 \mathrm{mile}}{5280 \mathrm{ft}} \cdot \frac{60 \mathrm{sec}}{1 \mathrm{~min}} \cdot \frac{60 \mathrm{~min}}{1 \mathrm{hour}}\)
\(=\frac{10 \cdot 2 \cdot \pi \cdot 17 \cdot 60 \cdot 60}{6 \cdot 12 \cdot 5280} \frac{\mathrm{miles}}{\text {hour}}\)
\(\approx 10.1 \frac{\text {miles}}{\text {hour}}\)
Припустимо, Summit High School має кругову трасу з двома смугами для бігу. Внутрішня смуга знаходиться в 30 метрах від центру кола, а смуга до екстер'єру - 32 метри від центру кола. Якщо дві людини біжать 4 кола разом, скільки далі йде людина зовні?
Обчисліть відстань, яку кожна людина пробігла окремо, використовуючи 1 коло, щоб бути 1 окружністю і знайти різницю.
\(\frac{4 \text { laps }}{1} \cdot \frac{2 \pi \cdot 30 \text { meters }}{1 \text { lap }} \approx 754\)
\(\frac{4 \text { laps }}{1} \cdot \frac{2 \pi \cdot 32 \text { meters }}{1 \text { lap }} \approx 804\)метрів
Людина, що бігає на зовнішній стороні траси пробіг ще близько 50 метрів.
Андрес мчить на велосипеді з шинами, які мають радіус 17 дюймів. Коли він їде зі швидкістю 30 футів в секунду, наскільки швидко крутяться колеса в оборотах в хвилину?
Шукайте способи перетворення ніг в обороти і секунди в хвилини.
\(\frac{30 \text { feet}}{1 \text { second }} \cdot \frac{60 \text { seconds }}{1 \text { minute }} \cdot \frac{12 \text { inches }}{1 \text { foot }} \cdot \frac{1 \text { revolution }}{2 \pi \cdot 17 \text { inches }}=\frac{30 \cdot 60 \cdot 12 \text { revolutions}}{2 \pi \cdot 17 \text { minute }} \approx 202.2 \frac{\mathrm{rev}}{\min }\)
Коли автомобіль подорожує зі швидкістю 60 миль на годину, як швидко обертаються шини, якщо вони мають діаметри 30 дюймів?
\(\frac{60 \text { miles }}{1 \text { hour }} \cdot \frac{5280 \text { feet }}{1 \text { mile }} \cdot \frac{12 \text { inches }}{1 \text { foot }} \cdot \frac{1 \text { revolution }}{2 \pi \cdot 15 \text { inches }} \cdot \frac{1 \text { hour }}{60 \text { minute }}\)
\(=\frac{60 \cdot 5280 \cdot 12 \text { revolutions }}{2 \pi \cdot 15 \cdot 60 \text { minute}} \approx 672.3 \frac{\text { rev }}{\min }\)
Майк їде на велосипеді з шинами, які мають радіус 15 дюймів. Скільки оборотів повинен зробити Майк, щоб проїхати милю?
\(\frac{1 \mathrm{rev}}{2 \pi \cdot 15 \mathrm{in}} \cdot \frac{12 \mathrm{in}}{1 \mathrm{ft}} \cdot \frac{5280 \mathrm{ft}}{1 \mathrm{mi}} \approx 672.3 \frac{\mathrm{rev}}{\text {mile}}\)
Рецензія
Для\(1-10,\) використання заданих значень у кожному рядку, щоб знайти невідоме значення\((x)\) у вказаних одиницях у рядку.
Номер проблеми | Радіус | Кутова швидкість | Лінійна швидкість |
1. | 5 дюймів | 60 об/хв | \(x \frac{i n}{\min }\) |
2. | \(x\)стопи | 20 об/хв | \(2 \frac{i n}{s e c}\) |
3. | 15 см | \(x\)оборотів в хвилину | \(12 \frac{c m}{s e c}\) |
4. | \(x\)стопи | 40 об/хв | \(8 \frac{f t}{\sec }\) |
5. | 12 дюймів | 32 об/хв | \(x \frac{i n}{\sec }\) |
6. | 8 см | \(x\)оборотів в хвилину | \(12 \frac{c m}{\min }\) |
7. | 18 футів | 4 об/хв | \(x \frac{m i}{h r}\) |
8. | \(x\)стопи | 800 об/хв | \(60 \frac{\mathrm{mi}}{\mathrm{hr}}\) |
9. | 15 у | \(x\)оборотів в хвилину | \(60 \frac{m i}{h r}\) |
10 | 2 в | \(x\)оборотів в хвилину | \(13 \frac{i n}{\sec }\) |
11. Двигун крутить колесо радіусом 5 дюймів при 800 об/хв. Наскільки швидко обертається це колесо в милі на годину?
12. Велосипед має шини радіусом 10 дюймів. Скільки обертів повинна зробити шина, щоб проїхати милю?
13. Двигун крутить колесо радіусом 6 дюймів при 600 об/хв. Як швидко обертається це колесо в дюймах в секунду?
14. У Боба є автомобіль з шинами, які мають радіус 15 дюймів. Коли він їде зі швидкістю 30 миль на годину, наскільки швидко крутяться колеса в оборотах в хвилину?
15. Кругова доріжка має дві смуги руху. Внутрішня смуга знаходиться в 25 футах від центру кола, а смуга до зовнішнього - 30 футів від центру кола. Якщо ви пробігаєте 6 кіл, скільки далі ви будете бігати по зовнішній смузі, на відміну від внутрішньої смуги?