4.1: Кути в радіанах і градусах
- Page ID
- 54435
Більшість людей знайомі з вимірюванням кутів в градусах. Легко зобразити кути, як\(30^{\circ}, 45^{\circ}\) або\(90^{\circ}\) і те, що\(360^{\circ}\) становить ціле коло. Понад 2000 років тому вавилоняни використовували базову систему числення 60 і розділили коло на 360 рівних частин. Це стало стандартом, і саме так більшість людей думають про кути сьогодні.
Однак існує безліч одиниць, за допомогою яких можна виміряти кути. Наприклад, градіан був винайдений разом з метричною системою і він ділить коло на 400 рівних частин. Розміри цих різних одиниць дуже умовні.
Радіан - це одиниця виміру кутів, яка заснована на властивостях кіл. Це робить його більш значущим, ніж градієни або градуси. Скільки радіанів складають коло?
Радіани і градуси
Радіан визначається як центральний кут, де довжина підтягнутої дуги дорівнює тій же довжині, що і радіус.
Ще один спосіб думати про радіанах - через окружність кола. Окружність кола з радіусом\(r\) дорівнює\(2 \pi r\). Трохи більше шести радіусів (рівно\(2 \pi\) радіусів) розтягнулося б навколо будь-якого кола.
Щоб визначити радіан через градуси, прирівняйте окружність, виміряну в градусах, до кола, виміряного в радіанах.
360 градусів\(=2 \pi\) радіанів, тому\(\frac{180}{\pi}\) градуси\(=1\) радіан
Як варіант, 360 градусів\(=2 \pi\) радіани, тому 1 градусний\(=\frac{\pi}{180}\) радіани
Коефіцієнт перетворення градусів в радіани:\(\frac{\pi}{180^{\circ}}\)
Коефіцієнт перетворення радіанів в градуси:\(\frac{180^{\circ}}{\pi}\)
Якщо кут не має одиниць, передбачається, що він знаходиться в радіанах.
Якби ви конвертували\(150^{\circ}\) в радіани, ви б\(150^{\circ}\) помножили на правильний коефіцієнт перетворення. Ви отримаєте:
\(150^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}}=\frac{15 \pi}{18}=\frac{5 \pi}{6}\)радіани
Ви можете перевірити свою роботу, переконавшись, що одиниці ступеня відображаються як на чисельнику, так і на знаменнику.
Якби ви конвертували\(\frac{\pi}{6}\) радіани в градуси, ви б\(\frac{\pi}{6}\) помножили на правильний коефіцієнт перетворення. Ви б отримали\(\frac{\pi}{6} \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi}=\frac{180^{\circ}}{6}=30^{\circ}\)
Повідомлення\(\pi\) з'являється як в чисельнику, так і знаменнику і\(\frac{\pi}{\pi}=1\).
Приклади
Раніше вас запитали, скільки радіанів складають коло. Точно\(2 \pi\) радіани описують дугу окружності. Це пояснюється тим, що\(2 \pi\) радіуси обертаються по колу будь-якого кола.
\((6 \pi)^{\circ}\)Перетворити в радіани.
Не обманюйте себе тільки тому, що це має\(\pi\). Це число приблизно\(19^{\circ}\)
\((6 \pi)^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}}=\frac{6 \pi^{2}}{180}=\frac{\pi^{2}}{3}\)
Дуже незвично коли-небудь мати\(\pi^{2}\) термін, але це може статися.
\(\frac{5 \pi}{6}\)Перетворити в градуси.
\(\frac{5 \pi}{6} \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi}=\frac{5 \cdot 30^{\circ}}{1}=150^{\circ}\)
\(210^{\circ}\)Перетворити в радіани.
\(210^{\circ} \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}}=\frac{7 \cdot 30 \cdot \pi}{6 \cdot 30}=\frac{7 \pi}{6}\)
Намалюйте\(\frac{\pi}{2}\) кут, попередньо намалювавши\(2 \pi\) кут, зменшивши його вдвічі і зменшивши результат вдвічі. Нагадаємо, що\(\frac{\pi}{2}=90^{\circ}\).
Рецензія
Знайдіть радіановну міру кожного кута.
1. \(120^{\circ}\)
2. \(300^{\circ}\)
3. \(90^{\circ}\)
4. \(330^{\circ}\)
5. \(270^{\circ}\)
6. \(45^{\circ}\)
7. \((5 \pi)^{\circ}\)
Знайдіть градусну міру кожного кута.
8. \(\frac{7 \pi}{6}\)
9. \(\frac{5 \pi}{4}\)
10. \(\frac{3 \pi}{2}\)
11. \(\frac{5 \pi}{3}\)
12. \(\pi\)
13. \(\frac{\pi}{6}\)
14. 3
15. Поясніть, чому, якщо вам дано кут в градусах і ви помножите його на\(\frac{\pi}{180}\) ви отримаєте той же кут в радіанах.