7.5: Увігнутість і перегин
- Page ID
- 54324
Коли визначено в точці, перша похідна та друга похідна дають один з трьох результатів: + (значення > 0), - (значення < 0) або 0. Які всі можливості результату для f′ і f′′, і які дають остаточну інформацію про крайність f?
Застосування похідних тестів
Тепер ми застосуємо все, що ми дізналися з Першого та Другого похідних тестів, щоб намалювати графіки функцій. Наступна таблиця містить резюме тестів і може бути корисним посібником для ескізів графіків.
|
Ознаки 1-го і 2-го похідних |
Висновок |
Форма графіків |
|
f′ (x) > 0 + f′′ (x) > 0 + |
f збільшується f увігнута вгору |
CC ЗА NC-SA |
|
f′ (x) > 0 + f′′ (x) <0 − |
f збільшується f увігнута вниз |
CC ЗА NC-SA |
|
f′ (x) <0 − f′′ (x) > 0 + |
f зменшується f увігнута вгору |
CC ЗА NC-SA |
|
f′ (x) <0 − f′′ (x) <0 − |
f зменшується f увігнута вниз |
CC ЗА NC-SA |
Погляньте на приклад, де ми можемо використовувати як перший, так і другий похідні тести, щоб дізнатися інформацію, яка дозволить нам намалювати графік.
Давайте розберемо функцію\( f(x)=x^5−5x+2 \nonumber\).
- Знайдіть критичні значення, для яких f′ (c) =0.
\( f′(x)=5x^4−5=0 \nonumber\), що означає\( x^4−1=0 \nonumber\) при x = ± 1.
- Застосовуйте перший і другий похідні тести для визначення екстрем і точок перегину.
Відзначаємо ознаки f′ і f′′ в інтервалах, розділених x = ± 1,0.
|
Ключові інтервали |
f′ (х) | f′′ (х) |
Форма графа |
| x<−1 | + | − |
Збільшення, увігнуті вниз |
| −1<x<0 | − | − |
Зниження, увігнуті вниз |
| 0 <х<1 | − | + |
Зниження, увігнуті вгору |
| х> 1 | + | + |
Збільшуючи, увігнуті вгору |
У критичних точках:
- f′′ (−1) =−20<0. За Другим тестом похідних ми маємо відносний максимум у x=−1, або точку (-1, 6).
- f′′ (0) =0. За Другим випробуванням похідних ми повинні мати точку перегину через перехід від увігнутого вниз до увігнутого вгору між ключовими інтервалами.
- f′′ (1) =20> 0. За Другим тестом похідних ми маємо відносний мінімум у x = 1, або точку (1, -2).
Тепер ми можемо накидати графік.
CC ЗА NC-SA
Тепер подивіться на просту раціональну функцію.
Розглянемо функцію f (x) =x+2x−3.
- Знайдіть критичні значення, для яких f′ (c) =0.
\( f′(x)= \frac{1}{x−3}+(x+2) \frac{−1}{(x−3)^2}= \frac{−5}{(x−3)^2} \nonumber\)що означає, що немає значень c, які роблять f′ (c) =0.
Оскільки f′ (x) не визначено в x=3, це одна критична точка.
- Відзначаємо ознаки f′ і f′′ в інтервалах, розділених x=3.
|
Ключові інтервали |
f′ (х) | f′′ (х) |
Форма графа |
| х<3 | − | − |
Зниження, увігнуті вниз |
| х> 3 | − | + |
Зниження, увігнуті вгору |
У критичній точці існує вертикальна асимптота, а функція та похідні невизначені; мінімумів або максимумів немає.
Тепер ми можемо накидати графік.
CC ЗА NC-SA
Приклади
Приклад 1
Раніше вас попросили намітити всі знаки/нульові можливості для f′ і f′′, і визначити, які дають остаточну інформацію про крайність f.
Існує дев'ять можливостей наступним чином:
| f′ | f′′ |
Остаточна інформація про екстрему? |
| + | + |
Ні |
| + | − |
Ні |
| + | 0 |
Ні |
| − | + |
Ні |
| − | − |
Ні |
| − | 0 |
Ні |
| 0 | + |
Так |
| 0 | − |
Так |
| 0 | 0 |
Ні |
Тільки коли є критична точка з f′=0, ми можемо використовувати інформацію про f′′, щоб сказати, чи є у нас мінімум або максимум f.
Приклад 2
Для функції\( f(x)= \frac{x^2−4x+4}{x^2+1} \nonumber\) знайдіть усі критичні значення, відповідні значення y для кожного критичного значення та класифікуйте кожну точку як відносний максимум або відносний мінімум
Похідною є:\( f′(x)= \frac{2(2x^2−3x−2)}{(x^2+1)^2} \nonumber\)
Що дає критичні значення: x=−12 та x=2
Це означає, що:\( f(−\frac{1}{2})=5 \nonumber\) і\( f(2)=0 \nonumber\)
Друга похідна - це:\( f′′(x)=− \frac{2(4x^3+9x^2+4x+5)}{(x^2+1)^3} \nonumber\)
Оцінка в критичних точках визначає\( f′′(−\frac{1}{2})<0 \nonumber\), що означає увігнутий вниз (максимум), а f′′ (2) > 0 означає увігнутий вгору (мінімум).
Графік функцій нанесений нижче:
CC ЗА NC-SA
Приклад 3
Для функції\( f(x)=2x^4−3x^2+2 \nonumber\) знайдіть всі критичні значення, класифікуйте кожну точку як відносний максимум або відносний мінімум та визначте будь-які точки перегину
Похідною є:\( f′(x)=8x^3−6x \nonumber\)
Що дає критичні значення: x = 0 і\( x=± \frac{ \sqrt{3}}{2} \nonumber\)
Друга похідна - це:\( f′′(x)=24x^2−6 \nonumber\)
Оцінка в критичних точках визначає, що f′′ (0) <0, що означає увігнутий вниз (максимум), і\( f′′(± \frac{\sqrt{3}}{2})>0 \nonumber\) означає увігнутий вгору (два мінімуми).
Друга похідна дорівнює 0 коли\( 24x^2−6=6(2x−1)(2x+1)=0 \nonumber\).
x = 0 і x = ± 12 є точками перегину.
Рецензія
Для #1 -8 знайдіть критичні точки, визначте, чи є кожна з них локальним мінімумом або максимумом, і визначте будь-які точки перегину.
- \( f(x)=x^3−3x^2+1 \nonumber\)
- \( f(x)=x^4−2x^3−x+2 \nonumber\)
- \( f(x)=sin2x \nonumber\)на проміжку\( [0,\frac{π}{2}] \nonumber\).
- \( f(x)=\frac{1}{x^2−x+2} \nonumber\)
- \( f(x)=2x^3−3x^2+6x \nonumber\)
- \( f(x)=x^3−12x+5 \nonumber\)в інтервалі [-5, 3]
- \( f(x)=x^5+20x+5 \nonumber\)
- \( f(x)=x2−5x+6, (-1, 3] \nonumber\)
- Знайти абсолютний максимум і абсолютний мінімум\( f(x)=x^3−3x^2+2 \nonumber\) на інтервалі [0, 4].
Для #10 -15 знайдіть критичні точки та локальні мінімуми та максимуми.
- \( f(x)=x^2e^{−x} \nonumber\)
- \( f(x)=\frac{x^2}{x−1} \nonumber\)
- \( f(x)=5e^{−x}+x^3 \nonumber\)
- \( f(x)=e^{−2x}+e^x \nonumber\)
- \( f(x)=3^xe^{−x} \nonumber\)
- \( f(x)=xtanx \nonumber\)на проміжку\( [−π,π] \nonumber\).
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 4.6.
Лексика
| Термін | Визначення |
|---|---|
| увігнутість | Увігнутість описує поведінку нахилу дотичної лінії такої функції, що увігнутість є позитивною, якщо нахил збільшується, негативною, якщо нахил зменшується, і нульовою, якщо нахил постійний. |
| спадаюча функція | Функція зменшення - це функція з графіком, який спускається зліва направо. |
| перший похідний тест | Перший тест похідної говорить, що якщо f є безперервною функцією і що x = c є критичним значенням f, то якщо f′ змінюється від позитивного до негативного при x = c, то f має локальний максимум при x = c, якщо f′ змінюється від негативного до позитивного при x = c, то f має локальний мінімум при x = c, і якщо f′ не змінює знак при x = c то f не має ні локального максимуму, ні мінімуму при x = c. |
| збільшення функції | Зростаюча функція - це функція з графіком, який піднімається зліва направо. |
| точка перегину | Точка перегину - це точка в області, де увігнутість змінюється від позитивної до негативної або негативної на позитивну. |
| другий похідний тест | Другий тест похідної говорить, що якщо f є безперервною функцією поблизу c і c є критичним значенням f, то якщо f′′ (c 0, <0 then f has a relative maximum at x=c, if f′′ (c) > то f має відносний мінімум при x = c, а якщо f′′ (c) =0, то тест непереконливий і x = c може бути точкою перегину. |