Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.3: Наближення дотичної лінії

  • Page ID
    54358
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Припустимо, вам абсолютно потрібно було знати значення квадратного кореня 19, але все, що у вас було, це олівець і папір, без калькулятора. Не могли б ви його обчислити? З вашим поточним розумінням похідної як нахилу дотичної лінії, ви повинні мати можливість. Спробуйте обчислити 19 0,5 без калькулятора; потім порівняйте свій результат з цими поняттями методом лінеаризації та калькулятором.


    Лінеаризація

    Лінеаризація функції означає використання дотичної лінії функції в точці як наближення до функції поблизу точки. Цей зв'язок між тангенсом і графом в точці дотику часто називають локальною лінеаризацією.

    З огляду на функцію f (x) та похідну f′ (x), дотичну лінію в точці x0 можна записати у вигляді точки-нахилу як:

    y−f (x 0) = f′ (x 0) (x−x 0) або y=f (x 0) +f′ (x 0) (x−x 0).

    Якщо врахувати, що ця дотична лінія є хорошим наближенням до f (x) поблизу x 0, ми можемо записати

    f (x) ≈y=f (x 0) +f′ (х 0) (х 0) (х−х 0). Це лінеаризація f (x) приблизно х 0.

    Дотична лінія як локальна лінеаризація f (x) часто позначається L (x), так що

    f (x) ≈Л (x) = f (x 0) +f′ (х 0) (х−х 0).

    Візьміть функцію f (x) =x 2 −2x−3 і знайдіть лінеаризацію у точках x 0 =1.5 та x 0 =−0.5.

    Лінеаризація f (x) задається за допомогою: f (x) ≈f (x 0) +f′ (x 0) (x−x 0).

    У нас є:

    f (1.5) =−3,75 та f (−0,5) =−1,75

    f′ (x) =2x−2, так що f′ (1.5) =1 і f′ (−0.5) =−3.

    Лінеаризація стає:

    Знімок екрана 2020-09-30 о 12.56.00 PM.png

    Знімок екрана 2020-09-30 о 1.05.50 PM.png

    Як показано на малюнку і показує таблиця, коли ми віддаляємося від x0, ми втрачаємо точність.

    Помилка біля x0=−0.5 Помилка біля x0=1.5
    х f (х) −3х−3,25 |Істинний приблиз| х f (х) х−5,25 |Істинний приблиз|
    -1 0 -0.25 0,25 1.0 -4 -4.25 0,25
    -0.5 -1.75 -1.75 0.00 1.5 -3.75 -3.75 0.00
    0 -3 -3.25 0,25 2.0 -3.25 -3.00 0,25

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас попросили спочатку спробувати обчислити 19 0,5 без калькулятора, а потім порівняти свій результат з цими поняттями методом лінеаризації і калькулятором.

    Вітаємо, якщо ви змогли лінеаризувати x 0.5 при x = 16 (або x = 25).

    Лінеаризація дорівнює y = 1/8 (x−16) +4, що означає y=4,375, коли x=19. Калькулятор дасть 4.359.

    Приклад 2

    Знайти лінеаризацію f (x) = (x+3) 0,5 у точці x=−1.

    Лінеаризація f (x) задається за допомогою: f (x) ≈f (x 0) +f′ (x 0) (x−x 0).

    У нас є:

    f (1) = 2, а

    f′ (x) = 1/2 (x+3) − 1/2, так що f′ (1) = 1/4.

    Лінеаризація стає:

    Знімок екрана 2020-10-05 о 8.33.43 AM.png

    Це говорить нам про те, що поблизу точки x = 1 функція f (x) = (x+3) 0.5 наближає лінію y =( x/4) + 7/4. Як показано на малюнку і показує таблиця, коли ми віддаляємося від x = 1, ми втрачаємо точність.

    Знімок екрана 2020-10-05 о 8.35.14 AM.png

    CC ЗА NC-SA

    х f (х) ≈14х+74

    |Істинний приблиз|

    1

    2

    2

    0

    1.5

    2.121

    2.125

    0,004

    2

    2.236

    2.25

    0,014

    3

    2.449

    2.5

    0,41

    Приклад 3

    Знайти лінеаризацію y=sinx при x= π/3.

    Лінеаризація f (x) задається за допомогою: f (x) ≈f (x 0) +f′ (x 0) (x−x 0).

    У нас є

    Знімок екрана 2020-10-05 о 8.36.15 AM.png

    Лінеаризація стає:

    Знімок екрана 2020-10-05 в 8.36.44 AM.png

    Знімок екрана 2020-10-05 о 8.37.11 AM.png

    CC ЗА NC-SA

    Приклад 4

    Нехай f буде функція така, що f (5) =6 і чия похідна f′ (x) = (x 3 +44) 0.5. Приблизний f (5.3).

    Лінеаризація f (x) задається за допомогою: f (x) ≈f (x 0) +f′ (x 0) (x−x 0).

    Так як у нас є f (5) =6, нехай х 0 = 5.

    Тоді f′ (х0) = (х 0 3 +44) 0,5 =169 0,5 =13

    Лінеаризація стає:

    Знімок екрана 2020-10-05 в 8.54.11 AM.png


    Рецензія

    1. Знайти лінеаризацію f (x) =x 2 +1/ x, x 0 =1, f (1.7)
    2. Знайти лінеаризацію f (x) =tanx при a=π.
    3. Використовуйте метод лінеаризації, щоб показати, що коли x1 (набагато менше 1), то (1+x) n ≈1+nx.
    4. Скористайтеся результатом задачі #3, (1+x) n≈1+nx, щоб знайти наближення для наступного:

    Знімок екрана 2020-10-05 в 8.55.35 AM.png

    Для #5 - 13 знайдіть лінеаризацію заданої функції в заданій точці x 0 і використовуйте це наближення для обчислення заданої кількості. Порівняйте отриманий результат зі значенням, отриманим калькулятором; обчислити похибку.

    Знімок екрана 2020-10-05 в 8.56.04 AM.png

    Для #13 - 14 оціните наступні цифри і визначте помилку:

    Знімок екрана 2020-10-05 в 8.56.53 AM.png


    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 4.10.


    Лексика

    Термін Визначення
    лінеаризація Локальна лінеаризація функції означає наближення функції в точці дотичною лінією в точці.

    Додаткові ресурси

    PLIX: Грайте, вчіться, взаємодійте, досліджуйте - оцінюйте квадратні корені

    Відео: Обчислення - Лінійне наближення

    Практика: Наближення дотичної лінії

    Реальний світ: На автопілоті