4.3: Наближення дотичної лінії
- Page ID
- 54358
Припустимо, вам абсолютно потрібно було знати значення квадратного кореня 19, але все, що у вас було, це олівець і папір, без калькулятора. Не могли б ви його обчислити? З вашим поточним розумінням похідної як нахилу дотичної лінії, ви повинні мати можливість. Спробуйте обчислити 19 0,5 без калькулятора; потім порівняйте свій результат з цими поняттями методом лінеаризації та калькулятором.
Лінеаризація
Лінеаризація функції означає використання дотичної лінії функції в точці як наближення до функції поблизу точки. Цей зв'язок між тангенсом і графом в точці дотику часто називають локальною лінеаризацією.
З огляду на функцію f (x) та похідну f′ (x), дотичну лінію в точці x0 можна записати у вигляді точки-нахилу як:
y−f (x 0) = f′ (x 0) (x−x 0) або y=f (x 0) +f′ (x 0) (x−x 0).
Якщо врахувати, що ця дотична лінія є хорошим наближенням до f (x) поблизу x 0, ми можемо записати
f (x) ≈y=f (x 0) +f′ (х 0) (х 0) (х−х 0). Це лінеаризація f (x) приблизно х 0.
Дотична лінія як локальна лінеаризація f (x) часто позначається L (x), так що
f (x) ≈Л (x) = f (x 0) +f′ (х 0) (х−х 0).
Візьміть функцію f (x) =x 2 −2x−3 і знайдіть лінеаризацію у точках x 0 =1.5 та x 0 =−0.5.
Лінеаризація f (x) задається за допомогою: f (x) ≈f (x 0) +f′ (x 0) (x−x 0).
У нас є:
f (1.5) =−3,75 та f (−0,5) =−1,75
f′ (x) =2x−2, так що f′ (1.5) =1 і f′ (−0.5) =−3.
Лінеаризація стає:
Як показано на малюнку і показує таблиця, коли ми віддаляємося від x0, ми втрачаємо точність.
Помилка біля x0=−0.5 | Помилка біля x0=1.5 | ||||||
х | f (х) | −3х−3,25 | |Істинний приблиз| | х | f (х) | х−5,25 | |Істинний приблиз| |
-1 | 0 | -0.25 | 0,25 | 1.0 | -4 | -4.25 | 0,25 |
-0.5 | -1.75 | -1.75 | 0.00 | 1.5 | -3.75 | -3.75 | 0.00 |
0 | -3 | -3.25 | 0,25 | 2.0 | -3.25 | -3.00 | 0,25 |
Приклади
Приклад 1
Раніше вас попросили спочатку спробувати обчислити 19 0,5 без калькулятора, а потім порівняти свій результат з цими поняттями методом лінеаризації і калькулятором.
Вітаємо, якщо ви змогли лінеаризувати x 0.5 при x = 16 (або x = 25).
Лінеаризація дорівнює y = 1/8 (x−16) +4, що означає y=4,375, коли x=19. Калькулятор дасть 4.359.
Приклад 2
Знайти лінеаризацію f (x) = (x+3) 0,5 у точці x=−1.
Лінеаризація f (x) задається за допомогою: f (x) ≈f (x 0) +f′ (x 0) (x−x 0).
У нас є:
f (1) = 2, а
f′ (x) = 1/2 (x+3) − 1/2, так що f′ (1) = 1/4.
Лінеаризація стає:
Це говорить нам про те, що поблизу точки x = 1 функція f (x) = (x+3) 0.5 наближає лінію y =( x/4) + 7/4. Як показано на малюнку і показує таблиця, коли ми віддаляємося від x = 1, ми втрачаємо точність.
CC ЗА NC-SA
х | f (х) | ≈14х+74 |
|Істинний приблиз| |
1 |
2 |
2 |
0 |
1.5 |
2.121 |
2.125 |
0,004 |
2 |
2.236 |
2.25 |
0,014 |
3 |
2.449 |
2.5 |
0,41 |
Приклад 3
Знайти лінеаризацію y=sinx при x= π/3.
Лінеаризація f (x) задається за допомогою: f (x) ≈f (x 0) +f′ (x 0) (x−x 0).
У нас є
Лінеаризація стає:
CC ЗА NC-SA
Приклад 4
Нехай f буде функція така, що f (5) =6 і чия похідна f′ (x) = (x 3 +44) 0.5. Приблизний f (5.3).
Лінеаризація f (x) задається за допомогою: f (x) ≈f (x 0) +f′ (x 0) (x−x 0).
Так як у нас є f (5) =6, нехай х 0 = 5.
Тоді f′ (х0) = (х 0 3 +44) 0,5 =169 0,5 =13
Лінеаризація стає:
Рецензія
- Знайти лінеаризацію f (x) =x 2 +1/ x, x 0 =1, f (1.7)
- Знайти лінеаризацію f (x) =tanx при a=π.
- Використовуйте метод лінеаризації, щоб показати, що коли x1 (набагато менше 1), то (1+x) n ≈1+nx.
- Скористайтеся результатом задачі #3, (1+x) n≈1+nx, щоб знайти наближення для наступного:
Для #5 - 13 знайдіть лінеаризацію заданої функції в заданій точці x 0 і використовуйте це наближення для обчислення заданої кількості. Порівняйте отриманий результат зі значенням, отриманим калькулятором; обчислити похибку.
Для #13 - 14 оціните наступні цифри і визначте помилку:
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 4.10.
Лексика
Термін | Визначення |
---|---|
лінеаризація | Локальна лінеаризація функції означає наближення функції в точці дотичною лінією в точці. |
Додаткові ресурси
PLIX: Грайте, вчіться, взаємодійте, досліджуйте - оцінюйте квадратні корені
Відео: Обчислення - Лінійне наближення
Практика: Наближення дотичної лінії
Реальний світ: На автопілоті