Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.2: Безперервність у точці, тест неперервності, типи розриву

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54368

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    У попередній концепції безперервність функції була представлена інтуїтивно через зображення використання олівця для малювання графіка на аркуші паперу (через певний інтервал області) і ніколи не піднімаючи олівець з паперу. Поки олівець не знімається з паперу, графік можна вважати безперервним протягом цього інтервалу малювання. Це, звичайно, не суворий опис безперервності, але з огляду на цю аналогію, які очікування можуть бути у вас щодо арифметичних операцій над двома функціями, які є безперервними протягом загального інтервалу; або існування мінімумів і максимумів безперервної функції; або існування проміжні значення між двома значеннями функції?

    Властивості неперервних функцій

    Попереднє поняття ідентифікувало характеристики функції, яка є безперервною в точці, і протягом інтервалу. Давайте досліджуємо З огляду на дві функції f (x) та g (x), які є безперервними протягом замкнутого інтервалу [a, b], чи очікуєте ви, що арифметичні операції над цими двома функціями також дадуть функції безперервні над [a, b]?

    Враховуючи функції f (x) =x+3 та g (x) =−x+0,5 у замкнутому інтервалі [−1,1], визначте, чи є f (x) та g (x) неперервними у інтервалі.

    Функції f (x) і g (x) показані на графіку. Перевірка кожного графіка функції та її рівняння показує, що кожна з них визначена за замкнутим інтервалом, а межа функції в кожній точці інтервалу дорівнює значенню функції в точці. Обидві функції безперервні в інтервалі.

    Знімок екрана 2020-09-22 о 8.45.53 PM.png

    Фонд CK-12 - CC BY-NC-SA

    Використовуючи ті ж функції та інтервал, що і вище, визначте, чи є h (x) =f (x) +g (x) безперервним у інтервалі.

    Сума двох функцій задається h (x) =3.5, і показана на малюнку. Функція сума, константа, визначається за замкнутим інтервалом, а межа функції в кожній точці інтервалу дорівнює постійному значенню функції в кожній точці. Функція sum є неперервною в інтервалі.

    Знімок екрана 2020-09-22 о 8.46.24 PM.png

    Фонд CK-12 - CC BY-NC-SA

    Як і раніше, використовуючи інтервал і функції, як зазначено вище, визначити, чи h (x) = f (x) g (x) є безперервним у інтервалі.

    Добуток двох функцій задається на h (x) = (x+3) (−x+0,5) =−x 2 +2,5x−1,5, і показано на малюнку. Функція добутку, парабола, визначається через замкнутий інтервал, а межа функції в кожній точці інтервалу дорівнює значенню функції добутку в кожній точці. Функція продукту безперервна в інтервалі.

    Знімок екрана 2020-09-22 о 8.47.34 PM.png

    Фонд CK-12 - CC BY-NC-SA

    А як щодо частки двох неперервних функцій?

    Враховуючи функції f (x) =x+3 та g (x) =−x+0,5 у замкнутому інтервалі [−1,1], визначте, чи є f (x)/g (x) неперервним у інтервалі.

    Частка двох функцій задається

    Знімок екрана 2020-09-22 о 8.48.54 PM.png

    і показана на малюнку.

    Знімок екрана 2020-09-22 о 8.49.22 PM.png

    Фонд CK-12 - CC BY-NC-SA

    У замкнутому інтервалі [−1,1] x=0.5 є єдиним місцем, де функція h (x) не визначена, і

    Знімок екрана 2020-09-22 о 9.05.21 PM.png

    r в замкнутому інтервалі.

    Висновки у вищезазначених простих функціях можуть бути узагальнені в наступних властивостях.

    Якщо f (x) і g (x) є неперервними при будь-якому дійсному значенні c протягом замкнутого інтервалу [a, b], то наступні також є безперервними при будь-якому дійсному значенні c протягом замкнутого інтервалу [a, b]:

    Знімок екрана 2020-09-22 о 9.33.57 PM.png

    Теорема про проміжні значення та теорема про екстремальне значення (Min-Max) - це дві інші властивості функції, яка є безперервною протягом замкнутого інтервалу.

    Теорема про проміжні значення та теорема про екстремальні значення

    Теорема проміжних значень стверджує, що якщо функція є безперервною на замкнутому інтервалі [a, b], то функція приймає кожне значення між f (a) та f (b).

    Теорема проміжних значень може бути використана для аналізу та наближення нулів функцій.

    Скористайтеся функцією проміжного значення, щоб показати, що існує принаймні один нуль функції f (x) =3x 4 −3x 3 −2x+1 у вказаному інтервалі [1,2].

    Графік цієї функції, показаний нижче, має форму чимось схожою на параболу, і є безперервним в інтервалі.

    Знімок екрана 2020-09-22 о 9.34.40 PM.png

    CC ЗА NC-SA

    Для того, щоб застосувати теорему про проміжні значення, нам потрібно знайти пару х- значень, які мають значення функцій з різними знаками. Кілька значень наведені в таблиці нижче.

    х

    1.1

    1.2

    1.3

    f (х)

    -0.80

    -0.36

    0,37

    Ми бачимо, що знак значень функції змінюється від негативних до позитивних десь між 1.2 і 1.3. Отже, згідно теореми про проміжні значення, є деяке значення c в інтервалі (1.2, 1.3) таке, що f (c) =0.

    Екстремальне значення (теорема Мін-Макса) є наслідком теореми про проміжні значення.

    Теорема про екстремальне значення (Min-Max) стверджує, що якщо функція f (x) є безперервною в замкнутому інтервалі I, то f (x) має як максимальне значення, так і мінімальне значення в I.

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас запитали про ваші очікування щодо безперервності функцій, утворених арифметичними операціями над двома неперервними функціями. Висновок цього розділу полягає в тому, що, крім частки функцій, арифметичні операції над двома функціями, які є неперервними в точці або в інтервалі, дають нову функцію, яка є безперервною в точці або в інтервалі. З часткою двох функцій, турбота завжди полягає в тому, щоб визначити, де знаменник дорівнює 0; в цьому місці частка функція не є безперервною.

    Приклад 2

    Розглянемо f (x) = x 3 +1 і інтервал I= [−2,2]. Визначте мінімальні і максимальні значення.

    Так як функція безперервна на замкнутому інтервалі I, ця функція має мінімум і максимум на інтервалі. Графік функції показує, що при x = −2 функція має мінімальне значення f (−2) =−7; а при x=2 - максимальне значення f (2) =9.

    Знімок екрана 2020-09-22 о 9.35.33 PM.png

    CC ЗА NC-SA

    Рецензія

    Для #1 -5 поясніть, як ви знаєте, що функція має корінь у заданому інтервалі. (Підказка: Використовуйте функцію проміжного значення, щоб показати, що у вказаному інтервалі є принаймні один нуль функції. ):

    1. f (x) =x 3 +2x 2 −x+1, у інтервалі [-3, -2].
    2. f (x) = x .5 −x√3−1, у інтервалі [9,10].
    3. f (x) =x2+x−2, у інтервалі [-3,0].
    4. f (x) = 4x2−1x2+3x+2, у інтервалі [-1,0].
    5. f (x) =2x+3−4, у інтервалі [-3,0].
    6. True або False: f (x) =sin (x) +cos (x) має корінь на інтервалі [0, π].
    7. True або False: За теоремою проміжного значення f (x) =sin (x) +cos2 (x) не має кореня на інтервалі [0, π] оскільки f (0) =f (π) =1.
    8. True або False: f (x) =x2+1cos (x) має корінь на інтервалі [0, π].
    9. На якому інтервалі f (x) =x−sin (x) +1 гарантовано IVT мати корінь?

    Знімок екрана 2020-09-24 о 7.11.54 PM.png

    10. Знайти інтервал, на якому f (x) =e x +x має корінь.

    11. Знайти інтервали, на яких f (x) =x 3 +5x 2 −4x−20 має корінь.

    Для #12 -15 використовуйте теорему Extreme Value, щоб визначити, чи є даний оператор істинним чи хибним.

    1. Теорема про екстремальні значення гарантує, що функція |sin (x3) | 0.5 має мінімальне значення на інтервалі [-3, 3].
    2. Теорема про екстремальні значення гарантує, що функція (x−1) 3 має максимальне значення на інтервалі [1, 3].
    3. Теорема про екстремальні значення гарантує, що функція x 2 +3x+2 має мінімальне значення на інтервалі [-3, 0].
    4. Теорема про екстремальні значення гарантує, що функція 4x/x 2 +3x+2 має мінімальне значення на інтервалі [-3, 0].

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 2.10.

    Лексика

    Термін Визначення
    Безперервний Безперервність для точки існує, коли ліві та праві межі збігаються з функцією, оціненою в цій точці. Щоб функція була неперервною, функція повинна бути неперервною в кожній точці нерозривної області.
    Безперервна функція Безперервна функція - це функція без розривів або зазорів. Він містить нескінченну, незліченну кількість значень.
    переривчастий в точці Функція є переривчастою в точці a, якщо функція не визначена в x = a.
    теорема про екстремальне значення Теорема про крайні значення стверджує, що в кожному інтервалі [a, b], де функція є неперервною, існує принаймні один максимум і один мінімум. Іншими словами, вона повинна мати не менше двох крайніх значень.
    теорема проміжного значення Теорема проміжного значення стверджує, що якщо f (x) є неперервним на деякому інтервалі [a, b], а n знаходиться між f (a) та f (b), то існує деякий c[ a, b] такий, що f (c) = n.
    точки розриву Точками розриву функції є вхідні значення функції, де функція є переривчастою.

    Додаткові ресурси

    PLIX: Грайте, вчіться, взаємодійте, досліджуйте - властивості безперервних функцій

    Відео: Неперервність і теорема проміжних значень

    Практика: Безперервність у точці, Тест безперервності, Типи розриву

    Реальний світ: нові орбіти