9.21: Висота циліндрів, задана площа поверхні або об'єм
- Page ID
- 54451
Використовуйте формули, щоб знайти висоту циліндра, враховуючи об'єм або площу поверхні.
Сім'я Григорія щойно купила гідромасажну ванну для свого будинку на озері. Компанія з гідромасажною ванною розповіла своїй родині, що ванна вміщує 125 кубічних футів води. Григорію цікаво дізнатися, наскільки глибока гідромасажна ванна. Він вимірює діаметр верхньої частини і виявляє, що гідромасажна ванна 6 футів в поперечнику. Яка висота або глибина гідромасажної ванни?
У цій концепції ви дізнаєтеся, як розрахувати висоту циліндра при заданому об'ємі і радіусі або діаметрі.
Пошук висоти циліндра заданого об'єму
Іноді ви будете знати об'єм і радіус циліндра, і ви не будете знати його висоту. Подумайте про водонапірну вежу, яка має циліндричну форму. Ви можете знати, який обсяг буде утримувати бак і радіус бака, але не висоту його. Коли це станеться, можна скористатися формулою об'єму циліндра, щоб знайти відсутню висоту:
\(\begin{aligned} V&= \pi r^{2}h \\ V&= \pi (2)^{2}(10) \\ V&= \pi (4)(10) \\ V&= 40\pi \\ V&= 125.6 \text{ in}^{3}\)
Давайте розглянемо приклад.
Циліндр радіусом 2 дюйми має обсяг 125,6 кубічних дюймів. Яка висота циліндра?
Обсяг та радіус задані, тому підставляйте їх у формулу, а потім вирішіть для h, висоту.
\(\begin{aligned}V&= \pi r^{2}h \\ 125.6&=(3.14)(22)h \\ 125.6&=(3.14)(4)h \\ 125.6&=12.56h \\ 125.6&\divide 12.56 \\ 10 \text{ in}&=12.56 h\divide 12.56=h\end{aligned}\)
Висота циліндра - 10 дюймів.
Перевірте свою роботу, підставивши відповідь на висоту. У вас повинен вийти обсяг 125,6 кубічних дюймів.
\(\begin{aligned} V&= \pi r^{2}h \\ V&= \pi (2)^{2}(10) \\ V&= \pi (4)(10) \\ V&= 40\pi \\ V&= 125.6 \text{ in}^{3}\end{aligned} \)
Яка висота циліндра, який має радіус 6 см і обсяг 904,32 кубічних см?
Знову ж таки, вам дали обсяг і радіус. Помістіть цю інформацію в формулу разом зі значенням пі і вирішіть для h, висоту.
\(\begin{aligned}V&= \pi r^{2}h \\ 904.32&=(3.14)(62)h \\ 904.32&=(3.14)(36)h \\ 904.32&=113.04 h \\ 904.32\divide 113.04&=113.04h\divide 113.04 \\ 8 \text{ cm}&=h\end{aligned}\)
Висота цього циліндра становить 8 сантиметрів.
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Раніше вам дали проблему щодо Григорія та його сім'ї з гідромасажною ванною.
Щоб розібратися в цьому, скористайтеся формулою об'єму циліндра. Він вже знає, що обсяг ванни становить 125 кубічних футів, а діаметр - 6 футів.
Рішення
Спочатку розділіть діаметр на 2 і включіть значення об'єму, пі та радіуса в формулу об'єму циліндра.
\(\begin{aligned}r&= 6\divide 2 \\ r&= 3 \\ V&= \pi r^{2}h \\ 125&=(3.14)(3^{2})h\end{aligned}\)
Далі квадратимо радіус і множимо значення разом.
\(\begin{aligned}125&=(3.14)(3^{2})h \\ 125&=(3.14)(9)h \\ 125&=28.26h\end{aligned} \)
Останній, розділіть обидві сторони на 200,96 для відповіді, не забуваючи включити відповідну одиницю виміру.
\(\begin{aligned}125&=28.26h \\ 125\divide 28.26&=28.26 h\divide 28.26 \\ 4.42 \text{ ft}&=hv\end{aligned}\)
Відповідь - гідромасажна ванна Григорія глибиною 4,42 футів.
Приклад\(\PageIndex{2}\)
Хав'єр хоче побудувати циліндричний контейнер, щоб вмістити достатню кількість води для своєї домашньої риби. Він прочитав, що риба повинна жити в 2,110.08 кубічних дюймів води. Якщо він споруджує резервуар діаметром 16 дюймів, наскільки високим він повинен зробити його так, щоб він містив потрібну кількість води?
Рішення
Спочатку розділіть діаметр на 2 і включіть значення об'єму, пі та радіуса в формулу об'єму циліндра.
\(\begin{aligned}r&= 16\divide 2 \\ r&= 8 \\ V&=(3.14)(82)h \\ 2,110.08&=\pi r^{2}h\end{aligned}\)
Далі квадратимо радіус і множимо значення разом.
\(\begin{aligned}2,110.08&=(3.14)(8^{2})h \\ 2,110.08&=(3.14)(64)h \\ 2,110.08&=200.96h\end{aligned}\)
Потім розділіть обидві сторони на 200,96 для відповіді, не забуваючи включити відповідну одиницю виміру.
\(\begin{aligned}2,110.08&=200.96h \\ 2,110.08\divide 200.96&=200.96 h\divide 200.96 \\ 10.5 \text{ in}&=h\end{aligned}\)
Відповідь полягає в тому, що Хав'єр повинен зробити свій танк 10,5 дюймів заввишки, щоб його танк вмістив 2,110.08 кубічних дюймів води.
Приклад\(\PageIndex{3}\)
Знайдіть висоту циліндра з радіусом = 6 дюймів і об'ємом = 904,32 кубічних дюймів.
Рішення
Спочатку підключіть значення об'єму, пі та радіуса до формули об'єму циліндра.
\(\begin{aligned}V&= \pi r^{2}h \\ 904.32&=(3.14)(6^{2})h\end{aligned} \)
Далі квадратимо радіус і множимо значення разом.
\(\begin{aligned}904.32&=(3.14)(62)h \\ 904.32&=(3.14)(36)h \\ 904.32&=113.04h\end{aligned}\)
Останній, розділіть кожну сторону на 113.04 для відповіді, не забуваючи включити відповідну одиницю виміру.
\(\begin{aligned}904.32&=113.04h \\ 904.32\divide 113.04&=113.04h\divide 113.04 \\ 8 \text{ in}&=h\end{aligned}\)
Відповідь - висота циліндра - 8 дюймів.
Приклад\(\PageIndex{4}\)
Знайти висоту циліндра радіусом = 3 метри і об'ємом = 354,34 кубічних метра.
Рішення
Спочатку підключіть значення об'єму, пі та радіуса до формули об'єму циліндра.
\(\begin{aligned}V&= \pi r^{2} h \\ 354.34&=(3.14)(3^{2})h \end{aligned}\)
Далі квадратимо радіус і множимо значення разом.
\(\begin{aligned}354.34&=(3.14)(3^{2})h \\ 904.32&=(3.14)(9)h \\ 354.34&=28.26h \end{aligned}\)
Останній, розділіть кожну сторону на 28,26 для відповіді, не забуваючи включити відповідну одиницю виміру.
\(\begin{aligned}354.34v=28.26h \\ 354.34\divide 28.26&=28.26h\divide 28.26 \\ 9 \text{ m}&=h\end{aligned}\)
Відповідь - висота циліндра - 9 метрів.
Приклад\(\PageIndex{5}\)
Знайдіть висоту циліндра з радіусом = 5 футів і об'ємом = 785 кубічних футів.
Рішення
Спочатку підключіть значення об'єму, пі та радіуса до формули об'єму циліндра.
\(\begin{aligned}V&= \pi r^{2} h \\ 785&=(3.14)(52)h\end{aligned}\)
Далі квадратимо радіус і множимо значення разом.
\(\begin{aligned}785&=(3.14)(52)h \\ 785&=(3.14)(25)h \\ 785&=78.5h \end{aligned}\)
Останній, розділіть кожну сторону на 78,5 для відповіді, не забуваючи включити відповідну одиницю виміру.
\(\begin{aligned}785&=78.5h \\ 785\divide 78.5&=78.5\divide 78.5 \\ 10 \text{ ft}&=h\end{aligned} \)
Відповідь - висота циліндра - 10 футів.
Рецензія
З огляду на обсяг і радіус, знайдіть висоту кожного циліндра.
- \(r= 6 \text{ in}\),\(V&= 904.32 \text{ in}^{3}\)
- \(r= 5 \text{ in}\),\(V&= 706.5 \text{ in}^{3}\)
- \(r= 7 \text{ ft}\),\(V&= 2307.9 \text{ ft}^{3}\)
- \(r= 8 \text{ ft}\),\(V&= 4019.2 \text{ ft}^{3}\)
- \(r= 7 \text{ ft}\),\(V&= 1538.6 \text{ ft}^{3}\)
- \(r= 12\text{ m}\),\(V&= 6330.24\text{ m}^{3}\)
- \(r= 9\text{ m}\),\(V&= 4069.49\text{ m}^{3}\)
- \(r= 10\text{ m}\),\(V&= 5652\text{ m}^{3}\)
- \(r= 12 \text{ in}\),\(V&= 11304 \text{ in}^{3}\)
- \(r= 11 \text{ ft}\),\(V&= 3039.52 \text{ ft}^{3}\)
- \(r= 10 \text{ in}\),\(V&= 1570 \text{ in}^{3}\)
- \(r= 9.5 \text{ in}\),\(V&= 1700.31 \text{ in}^{3}\)
- \(r= 8\text{ m}\),\(V&= 1808.64\text{ m}^{3}\)
- \(r= 14 \text{ ft}\),\(V&= 5538.96 \text{ ft}^{3}\)
- \(r= 13.5 \text{ in}\),\(V&= 4005.85 \text{ in}^{3}\)
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 10.13.
Ресурси
Інтерактивний елемент
Лексика
| Термін | Визначення |
|---|---|
| Кубічні одиниці | Кубічні одиниці - це тривимірні одиниці виміру, як і в обсязі твердої фігури. |
| Обсяг | Об'єм - це кількість простору всередині меж тривимірного об'єкта. |
Додаткові ресурси
Інтерактивний елемент
Відео: Об'єм циліндра і площа поверхні
Практика: Висота циліндрів, задана площа поверхні або об'єм
Реальний світ: Ми всі кричимо на морозиво