5.17: Площа і периметр ромбів і повітряних зміїв
- Page ID
- 54801
Площа - половина добутку діагоналей; периметр - сума сторін.
Нагадаємо, що ромб - це чотирикутник з чотирма конгруентними сторонами, а повітряний змій - чотирикутник з виразними суміжними конгруентними сторонами. Обидва ці чотирикутники мають перпендикулярні діагоналі, саме так ми збираємося знайти їх області.
Зверніть увагу, що діагоналі ділять кожен чотирикутник на 4 трикутника. Якщо ми перемістимо два трикутника внизу кожного чотирикутника так, щоб вони збігалися з трикутниками над горизонтальною діагоналлю, у нас буде два прямокутника.
Отже, висота цих прямокутників становить половину однієї з діагоналей, а основа - довжина іншої діагоналі.
Площа ромба або повітряного змія становить\(A=\dfrac{1}{2}d_1 d_2\)
Що робити, якщо вам дали повітряний змій або ромб і розмір двох його діагоналей? Як ви могли знайти загальну відстань навколо повітряного змія або ромба та кількість місця, який він займає?
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Знайдіть периметр і площу повітряного змія нижче.
Рішення
У повітряного змія є дві пари конгруентних трикутників. Використовуйте теорему Піфагора, щоб знайти довжини сторін або діагоналей.
\(Smaller\: diagonal\: portion\)
\(20^2+d^2_s=25^2\)
\(d^2_s=225\)
\(d_s=15\: units\)
\(Larger\: diagonal\: portion\)
\(20^2+d^2_l=352 \)
\(d^2_l=825\)
\(d_l=5 units\)
\(A=\dfrac{1}{2}(15+5)(40)\cong 874.5 units^2\)
\(P=2(25)+2(35)=120\: units\)
Приклад\(\PageIndex{2}\)
Знайдіть площу ромба з діагоналями 6 дюймів і 8 дюймів.
Рішення
Площа є\(\dfrac{1}{2}(8)(6)=24 in^2\).
Приклад\(\PageIndex{3}\)
Знайдіть периметр і площу ромба внизу.
Рішення
У ромбі всі чотири трикутники, створені діагоналями, конгруентні.
Щоб знайти периметр, необхідно знайти довжину кожної сторони, яка була б гіпотенузою одного з чотирьох трикутників. Використовуйте теорему Піфагора.
\(12^2+8^2=side^2\qquad A=12\cdot 16\cdot 24\)
\(144+64=side^2 \qquad A=192 units^2\)
\(side=\sqrt{208}\)
\(P=4\sqrt{13}=4(4\sqrt{13})=16\sqrt{13} units\)
Приклад\(\PageIndex{4}\)
Знайдіть периметр і площу ромба внизу.
Рішення
У ромбі всі чотири трикутники, створені діагоналями, конгруентні.
Тут кожен трикутник являє собою трикутник 30-60-90 з гіпотенузою 14. Від спеціальних співвідношень прямокутного трикутника коротка нога дорівнює 7, а довга нога -\(7\sqrt{3}\).
\(P=4\cdot 14=56 units \qquad A=12\cdot 14\cdot 14\sqrt{3}=98\sqrt{3} units^2\)
Приклад\(\PageIndex{5}\)
Вершини чотирикутника є\(A(2,8),B(7,9),C(11,2),\: and\: D(3,3)\). Покажіть\(ABCD\) це повітряний змій і знайдіть його площу.
Рішення
Після побудови точок він виглядає як повітряний змій. \(AB=AD\)і\(BC=DC\). Діагоналі перпендикулярні, якщо нахили негативні взаємно один одному.
\(m_{AC}=\dfrac{2−8}{11−2}=−\dfrac{6}{9}=−\dfrac{2}{3}\)
\(m_{BD}=9−37−3=64=32\)
Діагоналі перпендикулярні, так і\(ABCD\) повітряний змій. Щоб знайти площу, нам потрібно знайти довжину діагоналей,\(AC\) і\(BD\).
\(d_1=\sqrt{(2−11)^2+(8−2)^2}\)
\(=\sqrt{(−9)^2+6^2}\)
\(=\sqrt{81+36=\sqrt{117}=3\sqrt{13}\)
\(d_2=\sqrt{(7−3)^2+(9−3)^2}\)
\(=\sqrt{4^2+6^2}\)
\(=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\)
Підключіть ці довжини до формули площі для повітряного змія. \(A=12(3\sqrt{13})(2\sqrt{13})=39 units^2\)
Рецензія
- Як ви думаєте, всі ромби та повітряні змії з однаковою довжиною діагоналі мають однакову площу? Поясніть свою відповідь.
Знайдіть площу наступних фігур. Округляйте свої відповіді до найближчих сотих.
-
Малюнок\(\PageIndex{9}\) -
Малюнок\(\PageIndex{10}\) -
Малюнок\(\PageIndex{11}\) -
Малюнок\(\PageIndex{12}\) -
Малюнок\(\PageIndex{13}\) -
Малюнок\(\PageIndex{14}\)
Знайдіть площу і периметр наступних фігур. Округляйте свої відповіді до найближчих сотих.
-
Малюнок\(\PageIndex{15}\) -
Малюнок\(\PageIndex{16}\) -
Малюнок\(\PageIndex{17}\) -
Малюнок\(\PageIndex{18}\)
Для питань 12 і 13 площа ромба дорівнює\(32\: units^2\).
- Яким буде твір діагоналей, щоб площа була\(32 units^2\)?
- Перерахуйте дві можливості довжини діагоналей, виходячи з вашої відповіді від #12.
Для питань 14 і 15 площа повітряного змія становить\(54\: units^2\).
- Яким буде твір діагоналей, щоб площа була\(54\: units^2\)?
- Перерахуйте дві можливості довжини діагоналей, виходячи з вашої відповіді від #14.
Шеррі розробив логотип для нової компанії, що складається з 3 конгруентних повітряних зміїв.
- Які довжини діагоналей у одного повітряного змія?
- Знайдіть площу одного повітряного змія.
- Знайдіть площу всього логотипу.
Лексика
| Термін | Визначення |
|---|---|
| площа | Обсяг простору всередині фігури. Площа вимірюється в квадратних одиницях. |
| повітряний змій | Чотирикутник з чіткими суміжними конгруентними сторонами. |
| периметр | Відстань навколо фігури. Периметр будь-якої фігури повинен мати прикріплену до нього одиницю виміру. Якщо конкретних одиниць не вказано (фути, дюйми, сантиметри тощо), запишіть одиниці. |
| Конгруентний | Конгруентні фігури ідентичні за розміром, формою і мірою. |
| Ніжки прямокутного трикутника | Ніжки прямокутного трикутника - це дві коротші сторони прямокутного трикутника. Ноги примикають до прямого кута. |
Додаткові ресурси
Інтерактивний елемент
Відео: Принципи площі та периметра ромбів і повітряних зміїв - основні
Діяльність: Площа та периметр ромбів та повітряних зміїв Дискусійні питання
Навчальні посібники: Трикутники та чотирикутники Навчальний посібник
Практика: Площа і периметр ромбів і повітряних зміїв
Реальний світ: Периметр