Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.18: Непряме доказ в алгебрі та геометрії

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54541

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Доказ протиріччям, починаючи з припущення, що висновок помилковий.

    Непрямі докази

    Швидше за все, перший тип формального доказу, який ви дізналися, був прямим доказом з використанням прямих міркувань. Більшість доказів, виконаних у геометрії, виконуються у форматі двох стовпців, який є прямим форматом доказу. Іншим поширеним типом міркування є непрямі міркування, які ви, ймовірно, зробили поза класом математики. Нижче ми формально дізнаємося, що таке непрямий доказ і побачимо деякі приклади як в алгебрі, так і в геометрії.

    Непрямий доказ або доказ протиріччя: Коли висновок з гіпотези вважається помилковим (або протилежним тому, що він стверджує), а потім з даних або виведених тверджень досягається протиріччя.

    Іншими словами, якщо ви намагаєтеся показати, що щось правда, покажіть, що якби це було неправдою, було б протиріччя (щось інше не мало б сенсу).

    Кроки, які слід дотримуватися при доведенні побічно, є:

    • Припустимо протилежне висновку (друга половина) твердження.
    • Дійте так, ніби це припущення вірно, щоб знайти протиріччя.
    • Як тільки виникає протиріччя, оригінальне твердження вірно.
    • НЕ використовуйте конкретні приклади. Використовуйте змінні, щоб протиріччя можна було узагальнити.

    Найпростіше зрозуміти непрямі докази на прикладі.

    Що робити, якщо ви хотіли довести, що твердження було правдивим без двоколонкового доказу? Як ви могли б піти про це?

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Якщо\(x=2\), то\(3x−5\neq 10\). Довести це твердження вірно протиріччям.

    Рішення

    Пам'ятайте, що в непрямих доказах перше, що ви робите, це припустити, що висновок твердження є помилковим. У цьому випадку будемо вважати протилежне «Якщо\(x=2\), то\(3x−5\neq 10\) «:

    Якщо\(x=2\), то\(3x−5=10\).

    Візьміть це твердження як істинне і вирішіть для х.

    \(\begin{align*} 3x−5 &=10 \\ 3x &=15 \\ x &=5 \end{align*}\)

    Але\(x=5\) суперечить даному твердженню, що\(x=2\). Отже, наше припущення є\(3x−5\neq 10\) неправильним і вірним.

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Якщо\ Delta ABC рівнобедрений, то міра базових кутів не може бути\(92^{\circ}\). Доведіть це побічно.

    Рішення

    Пам'ятайте, для початку припускаємо протилежне висновку.

    Міра базових кутів є\(92^{\circ}\).

    Якщо базові кути є\(92^{\circ}\), то їх складають до\(184^{\circ}\). Це суперечить теоремі про суму трикутника, яка говорить, що три кутові міри всіх трикутників складаються до\(180^{\circ}\). Тому базових кутів бути не може\(92^{\circ}\).

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Якщо\(\angle A\) і\(\angle B\) є взаємодоповнюючими, то\(\angle A\leq 90^{\circ}\). Доведіть це протиріччям.

    Рішення

    Припустимо протилежне висновку.

    \(\angle A>90^{\circ}\).

    Спочатку врахуйте, що міра\ кута B не може бути негативною. Отже, якщо\(\angle A>90^{\circ}\) це суперечить визначенню комплементарного, яке говорить про те, що два кути є доповнюючими, якщо вони складаються\(90^{\circ}\). Тому,\(\angle A\leq 90^{\circ}\).

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Якщо n - ціле число і\(n^{2}\) непарне, то n непарне. Доведіть, що це правда побічно.

    Рішення

    По-перше, припустимо \(n\)протилежне «непарно».

    \(n\)є рівним.

    Тепер квадрат\(n\) і подивіться, що вийде.

    Якщо\(n\) парне, то\(n=2a\), де a - будь-яке ціле число.

    \(n^{2}=(2a)^{2}=4a^{2}\)

    Це означає,\(n^{2}\) що кратне 4. Жодне непарне число не може бути розділене рівномірно на парне число, тому це суперечить нашому припущенню,\(n\) що парне. Тому\(n\) повинен бути непарним, якщо\( n^{2}\) непарний.

    Приклад\(\PageIndex{5}\)

    Доведіть, що теорема нерівності SSS вірна протиріччям. (Теорема про нерівність SSS говорить: «Якщо дві сторони трикутника конгруентні двом сторонам іншого трикутника, але третя сторона першого трикутника довша за третю сторону другого трикутника, то включений кут двох конгруентних сторін першого трикутника більше за мірою, ніж включений кут двох конгруентних сторін другого трикутника.»)

    Рішення

    По-перше, припустимо протилежне висновку.

    Вхідний кут першого трикутника менше або дорівнює включеному куту другого трикутника.

    Якщо включені кути рівні, то два трикутники будуть конгруентними SAS, а треті сторони будуть конгруентними по CPCTC. Це суперечить гіпотезі початкового твердження «третя сторона першого трикутника довша третьої сторони другого». Тому включений кут першого трикутника повинен бути більше, ніж включений кут другого.

    Рецензія

    Доведіть такі твердження вірними побічно.

    1. Якщо\(n\) ціле число і\(n^{2}\) парне, то n парне.
    2. Якщо\(m\angle A\neq m\angle B\) в\(\Delta ABC\),\(\Delta ABC\) то не рівносторонній.
    3. Якщо\(x>3\), то\(x^{2}>9\).
    4. Базові кути рівнобедреного трикутника конгруентні.
    5. Якщо\(x\) парний і\(y\) непарний, то\(x+y\) непарний.
    6. В\(\Delta ABE\), якщо\(\angle A\) є прямим кутом, то\( \angle B\) не може бути тупим.
    7. Якщо\(A\)\(B\), і\(C\) є колінеарними, то\(AB+BC=AC\) (Постулат додавання сегментів).
    8. Якщо\(\Delta ABC\) рівносторонній, то міри базових кутів бути не може\(72^{\circ}\).
    9. Якщо\(x=11\) тоді\(2x−3\neq 21\).
    10. Якщо\( \Delta ABC\) це прямокутний трикутник, то він не може мати довжини сторін 3, 4 та 6.

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 5.8.

    Додаткові ресурси

    Відео: Непряме доказ в прикладах алгебри та геометрії - Основні

    Діяльність: Непряме доказ в алгебрі та геометрії дискусійні питання

    Навчальні посібники: типи міркувань навчальний посібник

    Практика: Непряме доказ в алгебрі та геометрії

    Реальний світ: суперечливі докази