8.3.3: Коефіцієнтне правило та вищі похідні

Last updated
Save as PDF

Page ID: 55067

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Частотне правило та вищі похідні

Ви можете згадати, як почули про Бекку та її змагань з легкої атлетики на попередньому уроці. Її хлопець сфотографував її так само, як вона почала відходити від інших на трасі. Ми дізналися, як вона може навчитися ідентифікувати свою миттєву швидкість лише за частку секунди, коли знімок був зроблений за допомогою обчислення, щоб знайти похідну.

Що робити, якщо замість того, щоб просто знайти свою швидкість на цій частці секунди, вона хотіла знайти своє прискорення?

Частотне правило та вищі похідні

Правило частки

Теорема: (Правило частки) Якщо f і g є диференційовними функціями при x і g (x) ≠ 0, потім

\(\ \frac{d}{d x}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{g(x) \frac{d}{d x}[f(x)]-f(x) \frac{d}{d x}[g(x)]}{[g(x)]^{2}}\)

У простіших позначеннях

\(\ \left(\frac{f}{g}\right)^{\prime}=\frac{g \cdot f^{\prime}-f \cdot g^{\prime}}{g^{2}}\)

Майте на увазі, що важливий порядок операцій (через знак мінус в чисельнику) і

\(\ \left(\frac{f}{g}\right)^{\prime} \neq \frac{f^{\prime}}{g^{\prime}}\).

Вищі похідні

Якщо похідна f′ функції f диференційована, то похідна f′, що позначається f″, називається другою похідною f. Ми можемо продовжити процес диференціації похідних і отримати третю, четверту, п'яту і вищу похідні f Вони позначаються f′, f″, f , ф ⁽⁴⁾, ф ⁽⁵⁾, . . . ,

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, як Бекка може знайти своє прискорення на додаток до швидкості.

Рішення

Після того, як Бекка обчислила свою миттєву швидкість в заданій точці на трасі, знайшовши похідну, вона могла б потім взяти похідну від цієї функції , щоб знайти її миттєве прискорення в тій же точці гонки.

Знайшовши свою миттєву швидкість і прискорення в різних точках гонки, вона може багато чого дізнатися про те, які моменти зробили різницю в її загальному успіху, а також над якими моментами їй потрібно працювати.

Приклад 2

Знайти\(\ =\frac{d y}{d x}\) для\(\ y=\frac{x^{2}-5}{x^{3}+2}\).

Рішення

\(\ \frac{d y}{d x}\)	\(\ =\frac{d}{d x}\left[\frac{x^{2}-5}{x^{3}+2}\right]\)
	\(\ =\frac{\left(x^{3}+2\right) \cdot\left(x^{2}-5\right)^{\prime}-\left(x^{2}-5\right) \cdot\left(x^{3}+2\right)^{\prime}}{\left(x^{3}+2\right)^{2}}\)
	\(\ =\frac{\left(x^{3}+2\right)(2 x)-\left(x^{2}-5\right)\left(3 x^{2}\right)}{\left(x^{3}+2\right)^{2}}\)
	\(\ =\frac{2 x^{4}+4 x-3 x^{4}+15 x^{2}}{\left(x^{3}+2\right)^{2}}\)
	\(\ =\frac{-x^{4}+15 x^{2}+4 x}{\left(x^{3}+2\right)^{2}}\)
	\(\ =\frac{x\left(-x^{3}+15 x+4\right)}{\left(x^{3}+2\right)^{2}}\)

Приклад 3

У якій точці (и) графік має горизонтальну дотичну лінію?\(\ y=\frac{x}{x^{2}+9}\)

Рішення

Так як нахил горизонтальної лінії дорівнює нулю, а оскільки похідна функції означає нахил дотичної лінії, то взяття похідної і прирівнювання її до нуля дозволить знайти точки, в яких нахил дотичної лінії дорівнює нулю, т. Е. горизонтальні дотичні. Зверніть увагу, що нам потрібно буде використовувати правило частки тут:

у	\(\ =\frac{x}{x^{2}+9}\)
y′	\(\ =\frac{\left(x^{2}+9\right) \cdot f^{\prime}(x)-x \cdot g^{\prime}\left(x^{2}+9\right)}{\left(x^{2}+9\right)^{2}}=0\)	\(\ =\frac{\left(x^{2}+9\right)(1)-x(2 x)}{\left(x^{2}+9\right)^{2}}=0\)

Помножте обидві сторони на\(\ \left(x^{2}+9\right)^{2}\),

\(\ x^{2}+9-2 x^{2}\)	\(\ =0\)
\(\ x^{2}\)	\(\ =9\)
\(\ x\)	\(\ =\pm 3\)

Отже, при x = −3 та x=3 дотична лінія є горизонтальною.

Приклад 4

Знайдіть п'яту похідну від\(\ f(x)=2 x^{4}-3 x^{3}+5 x^{2}-x-1\)

Рішення

Щоб знайти п'яту похідну, ми повинні спочатку знайти першу, другу, третю і четверту похідні.

f′ (х)	\(\ =8 x^{3}-9 x^{2}+5 x-x\)
f″ (х)	\(\ =24 x^{2}-18 x+5\)
f( х)	\(\ =48 x-18\)
ф ⁽⁴⁾ (х)	\(\ =48\)
ф ⁽⁵⁾ (х)	\(\ =\)

Приклад 5

Припустимо, y' (2) = 0 і (y/q) (2) = 0. Знайти q (2), припускаючи y (2) = 0.

Рішення

Почніть з правила частки:

\(\ \left(\frac{y}{q}\right)^{\prime}(2)=\left(\frac{y^{\prime}(2) q(2)-y(2) q^{\prime}(2)}{q(2)^{2}}\right)\)... Замінник

\(\ (0)=\left(\frac{(0) q(2)-(0) q^{\prime}(2)}{q(2)^{2}}\right)\)... Заміна знову заданими значеннями

\(\ 0=\left(\frac{(0) q(2)}{q(2)^{2}}\right)\)... Спростіть за допомогою:\(\ (0) q^{\prime}(2)=0\)

\(\ 0=\frac{0}{q(2)}\)

\(\ q(2)=0\)

приклад 6

Знайдіть похідну від\(\ k(x)=\frac{-2 x-4}{e^{x}}\).

Рішення

Використовуйте частне правило: Примітка:\(\ (-2 x-4)^{\prime}=-2\) і\(\ \left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x}\)

\(\ \left(\frac{-2 x-4}{e^{x}}\right)^{\prime}=\frac{(-2)\left(e^{x}\right)-(-2 x-4)\left(e^{x}\right)}{e^{2 x}}\)... Замінник

\(\ \frac{2 x+2}{e^{x}}\)... Спростити

Приклад 7

Дано\(\ f(x)=\left(-x^{4}-4 x^{3}-5 x^{2}+3\right)\). Знайти\(\ f^{\prime \prime}(x)\) коли\(\ x=3\).

Рішення

Нагадаємо, що\(\ f^{\prime \prime}(x)\) означає «Похідна від похідної від\(\ x^{\prime \prime}\)

\(\ f^{\prime}(x)=-4 x^{3}-12 x^{2}-10 x\)... Використовуйте правило живлення на\(\ f(x)\)

\(\ f^{\prime \prime}(x)=-12 x^{2}-24 x-10\)... Використовуйте правило живлення на\(\ f^{\prime}(x)\)

\(\ f^{\prime \prime}(3)=-12(3)^{2}-24(3)-10 \rightarrow-108-72-10=-190\)... Замінник 3

\(\ \therefore f^{\prime \prime}(3)=-190\)

Рецензія

Використовуйте частне правило для вирішення:

Припустимо\(\ u^{\prime}(0)=98\), і\(\ \left(\frac{u}{q}\right)^{\prime}(0)=7\). Знайти\(\ q(0)\) припускаючи\(\ u(0)=0\).
З огляду на:\(\ b(x)=\frac{x^{2}-5 x+4}{-5 x+2}\), що таке:\(\ b^{\prime}(2)\)?
З огляду на:\(\ m(x)=\frac{e^{x}}{3 x+4}\), що таке\(\ \frac{d m}{d x}\)?
Що таке\(\ \frac{d}{d x} \cdot \frac{\sin (x)}{x-4}\)?
Знайдіть похідну від\(\ q(x)=\frac{x}{\sin (x)}\).

Вирішіть ці похідні вищого порядку:

З огляду на:\(\ v(x)=-4 x^{3}+3 x^{2}+2 x+3\), що таке\(\ v^{\prime \prime}(x)\)?
З огляду на:\(\ m(x)=x^{2}+5 x\), що таке\(\ m^{\prime \prime}(x)\)?
З огляду на:\(\ d(x)=3 x^{4} e^{x}\), що таке\(\ d^{\prime \prime}(x)\)?
З огляду на:\(\ t(x)=-2 x^{5} \sin (x)\), що таке\(\ \frac{d^{2} t}{d x^{2}}\)?
Що таке\(\ \frac{d^{2}}{d x^{2}} 3 x^{5} e^{x}\)?

Вирішити:

Знайдіть похідну від\(\ y=\frac{3}{\sqrt{x}+3}\).
Знайдіть похідну від\(\ y=\frac{4 x+1}{x^{2}-9}\).
Закон Ньютона про Всесвітнє тяжіння стверджує, що гравітаційна сила між двома масами (скажімо, землею і місяцем), m і M дорівнює двом їх добуткам, поділеним на квадрат відстані r між ними. ^{Математично,\(\ F=G \frac{m M}{r^{2}}\) де G - універсальна гравітаційна постійна (1,602 × 10 ^-11 Нм 2/кг ²).} Якщо відстань r між двома масами змінюється, знайдіть формулу миттєвої швидкості зміни F щодо відстані поділу r .
Знайти\(\ \frac{d}{d \psi}\left[\frac{\psi \psi_{0}+\psi^{3}}{3-\psi_{0}}\right]\), де\(\ \psi_{0}\) знаходиться константа.
Знайти\(\ \left.\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right|_{x=1}\), де\(\ y=\frac{2}{x^{3}}\).

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 8.11.

Лексика

Термін	Визначення
диференційований	Диференційована функція - це функція, яка має похідну, яку можна обчислити.
Миттєве прискорення	Миттєве прискорення об'єкта - це зміна швидкості об'єкта, розрахована в конкретний момент часу.
Миттєва швидкість	Миттєва швидкість об'єкта - це швидкість об'єкта в конкретний момент часу.
частка правило	У численні часткове правило стверджує, що якщо\(\ f\) і\(\ g\) є диференційованими функціями при\(\ x\) і\(\ g(x) \neq 0\), то\(\ \frac{d}{d x}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{g(x) \frac{d}{d x}[f(x)]-f(x) \frac{d}{d x}[g(x)]}{[g(x)]^{2}}\).