8.3.2: Похідні від сум і різниць

Last updated
Save as PDF

Page ID: 55066

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Похідні сум і різниць

Хуан грав зі своєю модельною ракетою весь день. Частково через день він почав знімати відео рейсів за допомогою свого мобільного телефону. Переглядаючи відео, він зауважує, що ракети насправді, здається, стають все швидше після запуску замість того, щоб стартувати на повній швидкості і сповільнюватися через гравітацію.

Хуан вважає, що розумно припустити, що двигунам потрібно трохи, щоб отримати ракету на повну швидкість, але прискорення, здається, триває повз, коли він вважає, що буде тривати.

Після розгляду на деякий час, він задається питанням, якщо знижена маса ракети, як вона спалює паливо може бути причиною, припускаючи, що він знає силу, що генерується двигунами, і стартову і кінцеву вагу ракети, чи є спосіб він може здогадатися, чи може збільшене прискорення бути результатом знизилася маса?

Похідні сум і різниць

Теорема: Якщо f і g є двома диференційовними функціями при x, то

\(\ \frac{d}{d x}[f(x)+g(x)]=\frac{d}{d x}[f(x)]+\frac{d}{d x}[g(x)]\)

\(\ \frac{d}{d x}[f(x)-g(x)]=\frac{d}{d x}[f(x)]-\frac{d}{d x}[g(x)]\)

У простіших позначеннях

\(\ (f \pm g)^{\prime}=f^{\prime} \pm g^{\prime}\)

Правило продукту

Теорема: (Правило добутку) Якщо f і g диференційовані при x, то

\(\ \frac{d}{d x}[f(x) \cdot g(x)]=f(x) \frac{d}{d x} g(x)+g(x) \frac{d}{d x} f(x)\)

У більш простому позначенні

\(\ (f \cdot g)^{\prime}=f \cdot g^{\prime}+g \cdot f^{\prime}\)

У словах похідна добутку двох функцій дорівнює першій функції раз похідної другої плюс друга функція раз похідні похідної першої.

Майте на увазі, що\(\ (f \cdot g)^{\prime} \neq f^{\prime}+g^{\prime}\)

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, чи може Хуан зробити здогадки про те, чи може збільшене прискорення бути наслідком зменшення маси.

Рішення

Так, він може зробити здогадки. Припускаючи, що сила дорівнює зміні маси разів швидкості (імпульсу) над зміною в часі, то використовуючи правило потужності і спрощуючи, він може виявити, що прискорення ракети дорівнює силі мінус швидкість, помножена на зміну маси з плином часу, все розділене на масу, в математиці це виглядає так:

\(\ a=\left(\frac{F-v\left(\frac{\delta m}{\delta t}\right)}{m}\right)\)

Дивлячись на верхню праву частину рівняння, ми можемо побачити, що при зменшенні маси частка\(\ \frac{\delta m}{\delta t}\) стає негативною. Оскільки\(\ -v\) множиться на цю дріб, вона йде позитивною, а загальна функція збільшується, тобто ракета прискорюється.

Схоже, Хуан мав рацію.

Приклад 2

Знайдіть похідну:\(\ f(x)=3 x^{2}+2 x\)

Рішення

Скористайтеся правилом харчування, щоб допомогти:

\(\ \frac{d}{d x}\left[3 x^{2}+2 x\right]\)	\(\ =\frac{d}{d x}\left[3 x^{2}\right]+\frac{d}{d x}[2 x]\)
	\(\ =3 \frac{d}{d x}\left[x^{2}\right]+2 \frac{d}{d x}[x]\)
	\(\ =3[2 x]+2[1]\)
	\(\ =6 x+2\)

Приклад 3

Знайдіть похідну:\(\ f(x)=x^{3}-5 x^{2}\).

Рішення

Знову ж таки, скористайтеся правилом живлення, щоб допомогти:

\(\ \frac{d}{d x}\left[x^{3}-5 x^{2}\right]\)	\(\ =\frac{d}{d x}\left[x^{3}\right]-5 \frac{d}{d x}\left[x^{2}\right]\)
	\(\ =3 x^{2}-5[2 x]\)
	\(\ =3 x^{2}-10 x\)

Приклад 4

Знайти\(\ \frac{d y}{d x}\) для\(\ y=\left(3 x^{4}+2\right)\left(7 x^{3}-1\right)\).

Рішення

Існує два методи вирішення цієї проблеми. Один - помножити, щоб знайти добуток, а потім використовувати похідну від правила суми. Друге - безпосередньо використовувати правило продукту. Будь-яке правило дасть однакову відповідь. Починаємо з правила суми.

у	\(\ =\left(3 x^{4}+2\right)\left(7 x^{3}-1\right)\)
	\(\ =21 x^{7}-3 x^{4}+14 x^{3}-2\)

Беручи похідну від суми прибутковості

\(\ \frac{d y}{d x}\)	\(\ =147 x^{6}-12 x^{3}+42 x^{2}+0\)
	\(\ =147 x^{6}-12 x^{3}+42 x^{2}\)

Тепер скористаємося правилом продукту.

y′	\(\ =\left(3 x^{4}+2\right) \cdot\left(7 x^{3}-1\right)^{\prime}+\left(3 x^{4}+2\right)^{\prime} \cdot\left(7 x^{3}-1\right)\)
	\(\ =\left(3 x^{4}+2\right)\left(21 x^{2}\right)+\left(12 x^{3}\right)\left(7 x^{3}-1\right)\)
	\(\ =\left(63 x^{6}+42 x^{2}\right)+\left(84 x^{6}-12 x^{3}\right)\)
	\(\ =147 x^{6}-12 x^{3}+42 x^{2}\)

Що та сама відповідь.

Приклад 5

Дано:\(\ t(x)=x-1\). Що таке\(\ \frac{d t}{d x}\) коли\(\ x=0\)?

Рішення

За правилом різниці:\(\ (x-1)^{\prime}=(x)^{\prime}-(1)^{\prime}=0\)

\(\ x^{\prime}=1\)... За правилом влади

\(\ 1^{\prime}=0\)... Похідна константи = 0

Таким чином, коли ми оцінюємо це при х = 0, ми отримуємо 1, так як 1 - 0 = 1

Приклад 6

Що таке похідна\(\ g(x)=(-x-1)(x+1)\)?

Рішення

Ми скористаємося правилом різниці

Спочатку розгорніть\(\ (-x-1)(x+1) \rightarrow-x^{2}-2 x-1\).

За правилом різниці:\(\ \left(-x^{2}-2 x-1\right)^{\prime}=\left(-x^{2}\right)^{\prime}-(2 x)^{\prime}-(1)^{\prime}=-2 x-2\)

Приклад 7

Дано\(\ a(x)=-\pi x^{-0.54}+6 x^{4}\). Що таке\(\ \frac{d y}{d x}\)?

Рішення

Скористаємося правилами різниці і потужності:

\(\ \frac{d}{d x}\left(-\pi x^{-0.54}+6 x^{4}\right)=\)

\(\ \frac{d}{d x}\left(-\pi x^{-0.54}\right)+\frac{d}{d x}\left(6 x^{4}\right)\)... За правилом різниці

\(\ \rightarrow 0.54 \pi x^{-1.54}+24 x^{3}\)... За правилом влади

Приклад 8

Що таке\(\ \frac{d}{d x}[(-5 x) \cos (x)]\)?

Рішення

Ми скористаємося правилом продукту:

\(\ (p q)^{\prime}=p^{\prime} q+p q^{\prime}\).

\(\ p(x)=-5 x \rightarrow p^{\prime}(x)=-5\)... За правилом влади

\(\ q(x)=\cos (x) \rightarrow q^{\prime}(x)=-\sin (x)\)... За силовим правилом і спрощуючи

Таким чином, ми отримуємо\(\ [(-5 x) \cos (x)]^{\prime}=(-5) \cos (x)+(-5 x)[-\sin (x)]\)

\(\ =-5 \cos (x)+(5 x) \sin (x)\)

Рецензія

Знайдіть похідну за допомогою правила сума/різниці.

\(\ y=\frac{1}{2}\left(x^{3}-2 x^{2}+1\right)\)
\(\ y=\sqrt{2} x^{3}-\frac{1}{\sqrt{2}} x^{2}+2 x+\sqrt{2}\)
\(\ y=a^{2}-b^{2}+x^{2}-a-b+x\)(де a, b - константи)
\(\ y=x^{-3}+\frac{1}{x^{7}}\)
\(\ y=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\)
\(\ f(x)=(-3 x+4)^{2}\)
\(\ f(x)=-0.93 x^{10}+\left(\pi^{3} x\right)^{\frac{-5}{12}}\)
Що таке\(\ \frac{d}{d x}(2 x+1)^{2}\)?
З огляду на:\(\ a(x)=(-5 x+3)^{2}\), що таке\(\ \frac{d y}{d x}\)?
Якщо\(\ v(x)=-3 x^{3}+5 x^{2}-2 x-3\), що таке\(\ v^{\prime}(0)\)?

Знайдіть похідну за допомогою правила продукту.

\(\ y=\left(x^{3}-3 x^{2}+x\right) \cdot\left(2 x^{3}+7 x^{4}\right)\)
\(\ y=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)\left(3 x^{4}-7\right)\)
Що таке похідна\(\ \left[\left(-3 x^{2}+x+4\right)(-3 x-3)\right]\)?
\(\ v(x)=(3 x-3) \cdot \cos (x)\)
Дано:\(\ k(-2)=0, k^{\prime}(-2)=18\), знайти\(\ r(-2)\) коли\(\ (k r)^{\prime}(-2)=54\).
Дано\(\ g(x)=\left(4 x^{2}-4 x-5\right)(3 x-3)\), знайдіть\(\ g^{\prime}(2)\).
Знайти\(\ \frac{d}{d x}[(-4 x+3) \cdot \sin (x)\).
Знайти\(\ \frac{d}{d x}\left[\left(x^{2}-3\right)\left(-2 x^{2}+4 x-1\right)\right]\)
Дано\(\ t(1)=0, t^{\prime}(1)=17\), знайдіть\(\ a(1)\) коли\(\ (t a)^{\prime}(1)=272\).
Дано\(\ d(x)=\left(2 x^{2}+3 x-1\right)(2 x+1)\), знайдіть\(\ d^{\prime}(-1)\).

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 8.10.

Лексика

Термін	Визначення
похідний	Похідною функції є нахил прямої дотичної до функції в заданій точці на графіку. Позначення для похідних включають\(\ f^{\prime}(x), \frac{d y}{d x}, y^{\prime}, \frac{d f}{d x}\) і\(\ \frac{df(x)}{dx}\).
диференційований	Диференційована функція - це функція, яка має похідну, яку можна обчислити.
правило продукту	У численні правило добутку стверджує, що похідна добутку двох функцій дорівнює першій функції раз похідній другої функції, доданої до другої функції раз похідної першої функції.
теорема	Теорема - це твердження, яке можна довести правдивим за допомогою постулатів, визначень та інших теорем, які вже доведені.