Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

8.3.1: Постійні похідні та правило влади

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    55070

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Постійні похідні та правило влади

    Правило влади є фантастичним «ярликом» для знаходження похідних основних поліномів. Між силовим правилом і основним визначенням похідної константи можна виділити велику кількість поліноміальних похідних з невеликими зусиллями - часто в голові!

    Постійні похідні та правило влади

    На цьому уроці ми розробимо формули та теореми, які будуть обчислювати похідні більш ефективними та швидкими способами. Шукайте ці теореми в коробках протягом усього уроку.

    Похідна від константи

    Теорема: Якщо f (x) =c де c - константа, то f′ (x) =0.

    Доказ:\(\ f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{c-c}{h}=0\).

    Теорема: Якщо\(\ c\) постійна і\(\ f\) диференційовна взагалі\(\ x\), то\(\ \frac{d}{d x}[c f(x)]=c \frac{d}{d x}[f(x)]\).

    У простіших позначеннях\(\ (cf)^{\prime}=c(f)^{\prime}=cf^{\prime}\)

    Правило влади

    Теорема: (Правило потужності) Якщо n - натуральне число, то для всіх дійсних значень x

    \(\ \frac{d}{d x}\left[x^{n}\right]=n x^{n-1}\).

    Приклади

    Приклад 1

    Знайти\(\ f^{\prime}(x)\) для\(\ f(x)=16\).

    Рішення

    Якщо\(\ f(x)=16\) для всіх х, то\(\ f^{\prime}(x)=0\) для всіх х.

    Ми також можемо написати\(\ \frac{d}{d x} 16=0\).

    Приклад 2

    Знайдіть похідну від\(\ f(x)=4 x^{3}\).

    Рішення

    \(\ \frac{d}{d x}\left[4 x^{3}\right]\)... Повторне виконання функції

    \(\ 4 \frac{d}{d x}\left[x^{3}\right]\)... Застосовуйте комутативний закон

    \(\ 4\left[3 x^{2}\right]\)... Застосувати правило харчування

    \(\ 12 x^{2}\)... Спростити

    Приклад 3

    Знайдіть похідну від\(\ f(x)=\frac{-2}{x^{4}}\).

    Рішення

    \(\ \frac{d}{d x}\left[\frac{-2}{x^{4}}\right]\)... Відновлюйте

    \(\ \frac{d}{d x}\left[-2 x^{-4}\right]\)... Правила показників

    \(\ -2 \frac{d}{d x}\left[x^{-4}\right]\)... За комутативним законом

    \(\ -2\left[-4 x^{-4-1}\right]\)... Застосуйте правило харчування

    \(\ -2\left[-4 x^{-5}\right]\)... Спростити

    \(\ 8 x^{-5}\)... Спростити ще раз

    \(\ \frac{8}{x^{5}}\)... Використання правил експонентів

    Приклад 4

    Знайдіть похідну від\(\ f(x)=x\).

    Рішення

    Особливе застосування правила харчування:

    \(\ \frac{d}{d x}[x]=1 x^{1-1}=x^{0}=1\)

    Приклад 5

    Знайдіть похідну від\(\ f(x)=\sqrt{x}\).

    Рішення

    Повторно виконайте функцію:\(\ \frac{d}{d x}[\sqrt{x}]\)

    Використання правил показників (з алгебри):\(\ \frac{d}{d x}\left[x^{1 / 2}\right]\)

    Застосовуємо правило харчування:\(\ \frac{1}{2} x^{1 / 2-1}\)

    Спростити:\(\ \frac{1}{2} x^{-1 / 2}\)

    Правила показників:\(\ \frac{1}{2 x^{1 / 2}}\)

    Спростити:\(\ \frac{1}{2 \sqrt{x}}\)

    Приклад 6

    Знайдіть похідну від\(\ f(x)=\frac{1}{x^{3}}\).

    Рішення

    Повторно виконайте функцію:\(\ \frac{d}{d x}\left[\frac{1}{x^{3}}\right]\)

    Правила показників:\(\ \frac{d}{d x}\left[x^{-3}\right]\)

    Правило харчування:\(\ -3 x^{-3-1}\)

    Спростити:\(\ -3 x^{-4}\)

    Правила показників:\(\ \frac{-3}{x^{4}}\)

    Рецензія

    1. Викладіть правило влади.

    Знайдіть похідну:

    1. \(\ y=5 x^{7}\)
    2. \(\ y=-3 x\)
    3. \(\ f(x)=\frac{1}{3} x+\frac{4}{3}\)
    4. \(\ y=x^{4}-2 x^{3}-5 \sqrt{x}+10\)
    5. \(\ y=\left(5 x^{2}-3\right)^{2}\)
    6. Дано\(\ y(x)=x^{-4 \pi^{2}}\), знайти похідну коли\(\ x=1\).
    7. \(\ y(x)=5\)
    8. Враховуючи\(\ u(x)=x^{-5 \pi^{3}}\), що таке\(\ u^{\prime}(2)\)?
    9. \(\ y=\frac{1}{5}\)коли\(\ x=4\)
    10. Враховуючи\(\ d(x)=x^{-0.37}\), що таке\(\ d^{\prime}(1)\)?
    11. \(\ g(x)=x^{-3}\)
    12. \(\ u(x)=x^{0.096}\)
    13. \(\ k(x)=x-0.49\)
    14. \(\ y=x^{-5 \pi^{3}}\)

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 8.9.

    Лексика

    Термін Визначення
    похідний Похідна функції - нахил прямої дотичної до функції в заданій точці на графіку. Позначення для похідних включають\(\ f^{\prime}(x), \frac{d y}{dx}, y^{\prime}, \frac{df}{dx}\) і\(\ \frac{df(x)}{dx}\).
    доказ Доказом є низка правдивих тверджень, що призводять до прийняття істини більш складного твердження.
    теорема Теорема - це твердження, яке можна довести правдивим за допомогою постулатів, визначень та інших теорем, які вже доведені.