8.2.2: Миттєві темпи змін

Миттєві темпи змін

Ви можете згадати історію про Джима та його подругу Бекку з уроку про розуміння меж. Двоє з них обговорювали, як вони можуть обчислити її швидкість в той момент, коли Джим знімав її фотографію. Кінцевим результатом обговорення стала Бекка, яка вказує на те, що технічно неможливо обчислити точну швидкість чогось у конкретну мить.

До теперішнього часу ми вивчили пов'язані поняття меж і ліній, дотичних до кривої, тому ми знаємо, що можна ефективно обчислити миттєву швидкість. Який процес буде пов'язаний з фактично обчисленням швидкості Бекки в той момент, коли було зроблено фотографію? Які технічні труднощі з визначенням миттєвої швидкості?

---

Миттєві темпи змін

Функція f′ (x), яку ми визначили на попередніх уроках, настільки важлива, що має свою назву: похідна.

Похідне Функція f' визначається за формулою \(\ f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) де f' називається похідною f по відношенню до x. Домен f складається з усіх значень x, для яких існує межа.

Виходячи з обговорення, яке ми мали в попередньому розділі, похідна f′ являє собою нахил дотичної лінії в точці x. Іншим способом інтерпретації було б те, що функція y = f (x) має похідну f′, значення якої при x - миттєва швидкість зміни y з по відношенню до точки x.

Одне з двох первинних понять числення передбачає обчислення швидкості зміни однієї величини щодо іншої. Наприклад, швидкість визначається як швидкість переміщення по відношенню до часу. Якщо людина проїжджає 120 миль за 4 години, його швидкість становить 120/4 = 30 милі/год. Цю швидкість називають середньою швидкістю або середньою швидкістю зміни відстані по відношенню до часу. Звичайно, людина, яка подорожує 120 миль зі швидкістю 30 милі/год протягом 4 годин, ймовірно, не робить цього постійно. Хоча він, ймовірно, сповільнився або прискорився протягом 4-годинного періоду, загалом достатньо сказати, що він подорожував протягом 4 годин із середньою швидкістю 30 миль на годину. Однак, якщо водій вдарить по дереву, не його середня швидкість визначає його виживання, а швидкість в момент зіткнення. Аналогічно, коли куля вражає ціль, значною є не середня швидкість, а миттєва швидкість в момент удару. Отже, тут у нас є різні види швидкостей, середня швидкість і миттєва швидкість.

Середня швидкість об'єкта визначається як зміщення об'єкта ∆x, поділене на проміжок часу, протягом якого відбувається зміщення:

\(\ \text { Average speed }=v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x_{1}-x_{0}}{t_{1}-t_{0}}\)

Зверніть увагу, що точки (t ₀, x ₀) і (t ₁, x ₁) лежать на кривій позиції проти часу, як показано на малюнку нижче.

Цей вираз також є виразом для нахилу січної лінії, що з'єднує дві точки. Таким чином, робиться висновок, що середня швидкість об'єкта між часом t ₀ і t ₁ представлена геометрично нахилом січної лінії, що з'єднує дві точки (t _o, х _о) і (т ₁, х ₁). Якщо ми виберемо t ₁ близький до t _o, то середня швидкість буде тісно наближатися до миттєвої швидкості в момент t _o.

Геометрично середня швидкість зміни представлена нахилом січної лінії (рис. А, нижче), а миттєва швидкість зміни представлена нахилом дотичної лінії (рис. Б, нижче).

Середня швидкість зміни (наприклад, середня швидкість) Середня швидкість зміни y = f (x) за часовий інтервал [x 0, x 1] - нахил m сек січної лінії до точок (x o, f (x 0)) і (x 1, f (x 0)) на графіку (рисунок а): \(\ m_{s e c}=\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{0}\right)}{x_{1}-x_{0}}\)

Миттєва швидкість зміни Миттєва швидкість зміни y = f (x) в точці х 0 - нахил m сек дотичної прямої до точки x 0 на графіку (рисунок b): \(\ m_{\text {tan }}=f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x_{1} \rightarrow x_{0}} \frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{0}\right)}{t_{1}-t_{0}}\)

---

Приклади

Приклад 1

Раніше вам задавали питання про процес обчислення швидкості Бекки в гонці.

Рішення

Швидкість - це, за визначенням, зв'язок між відстанню та часом, необхідним для перетину цієї відстані (відкликати d = rt з вашого наукового класу). Якщо необхідний час дорівнює нулю, то ви в кінцевому підсумку ділитеся на нуль, що є невизначеною функцією.

Однак, використовуючи обчислення, ви можете визначити, якою буде кінцева поведінка функції, якби ви отримали нескінченно близько, і тим самим ефективно обчислити швидкість в даний момент. Насправді це саме те, що ви зробили в прикладах вище.

Приклад 2

Обчисліть: (а) Нахил прямої дотичної до\(\ y=x^{2}+5\) точки на кривій\(\ x=4\) і (б) рівняння цієї лінії.

У попередній концепції "Дотичні до кривої" ми показали, як обчислити похідну (нахил дотичної) функції виду\(\ y=x^{2}-c\).

1. Нахил дотичної до кривої\(\ y=x^{2}+5\) при\(\ x=4\) дорівнює:
2. Враховуючи\(\ m=8\) зверху, у нас є\(\ y=8 x+b\). Все, що нам потрібно, це вирішити для b, щоб мати повне рівняння.

Рішення

1. \(\ 2(4)=8\)

   Нагадаємо з алгебри «нахил - перехоплення форми» прямої лінії:\(\ y=mx+b\), де\(\ m\) - нахил лінії.

2. Підставляємо 4 (точку, яку ми знаходимо нахил) в for\(\ x\) в рівнянні кривої

   \(\ y=x^{2}+5\)для ідентифікації відповідного\(\ y\)

   \(\ y=(4)^{2}+5\)

   \(\ y=21\)

   Підставляємо значення для\(\ x\)\(\ y\), і\(\ m\) що ми тепер маємо в нашу\(\ y=mx+b\) форму рівняння дотичної лінії:

   \(\ 21=8(4)+b\)

   \(\ -11=b\)

   Використовуйте обчислені значення для\(\ m\) і\(\ b\) для завершення рівняння:

   \(\ y=8 x-11\)

Приклад 3

Припустимо, що\(\ y=x^{2}-3\).

1. Знайти середню швидкість зміни y щодо x за інтервал [0, 2] і
2. Знайти миттєву швидкість зміни y відносно x у точці x = −1.

Рішення

1. Застосування наведеної вище формули для секантних з\(\ f(x)=x^{2}-3\) і\(\ x_{0}=0\) і\(\ x_{1}=2\), врожайності

   \(\ m_{\sec }\)	\(\ =\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{0}\right)}{t_{1}-t_{0}}\)
   	\(\ =\frac{f(2)-f(0)}{2-0}\)
   	\(\ =\frac{1-(-3)}{2}\)
   	\(\ =2\)

   Це означає, що середня швидкість зміни y становить 2 одиниці на одиницю збільшення x за інтервал [0, 2].

2. Нагадаємо, для функцій виду,\(\ y=x^{2}+c\) що\(\ f^{\prime}(x)=2 x\left(f^{\prime}(x)\right.\) є «f простим від x», що означає «нахил (m) прямої дотичної до x «)

   	м загар	= f′ (х 0)
   		= f′ (−1)
   		= 2 (−1)
   		= −2

   Це означає, що миттєва швидкість зміни негативна. Тобто y зменшується в точці х = -1. Він зменшується зі швидкістю 2 одиниці на одиницю приросту в х.

Приклад 4

Знайдіть похідну\(\ f(x)=\sqrt{x}\) і рівняння дотичної прямої при x ₀ = 1.

Рішення

Використовуючи визначення похідної,

\(\ f^{\prime}(x)\)	\(\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
	\(\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\)
	\(\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\left(\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\right)\)
	\(\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \frac{x+h-x}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\)
	\(\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\)
	\(\ =\frac{1}{2 \sqrt{x}}\)

Таким чином, нахил дотичної лінії при х ₀ = 1 дорівнює

\(\ f^{\prime}(1)\)	\(\ =\frac{1}{2 \sqrt{1}}=\frac{1}{2}\)

Для x ₀ = 1 ми можемо знайти y ₀, просто підставивши в f (x):

\(\ f\left(x_{0}\right)\)	\(\ \equiv y_{0}\)
\(\ f(1)\)	\(\ =\sqrt{1}=1\)
\(\ y_{0}\)	\(\ =1\)

Таким чином, рівняння дотичної прямої

\(\ y-y_{0}\)	\(\ =m\left(x-x_{0}\right)\)
\(\ y-1\)	\(\ =\frac{1}{2}(x-1)\)
\(\ y\)	\(\ =\frac{1}{2} x+\frac{1}{2}\)

Приклад 5

Знайдіть похідну від\(\ f(x)=\frac{x}{x+1}\).

Рішення

Використовуючи похідну формулу:

\(\ f^{\prime}(x)\)	\(\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\left[\frac{x+h}{x+h+1}-\frac{x}{x+1}\right]}{h}\)
	\(\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left[\frac{x+h}{x+h+1}-\frac{x}{x+1}\right]\)
	\(\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left[\frac{(x+h)(x+1)-x(x+h+1)}{(x+h+1)(x+1)}\right]\)
	\(\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left[\frac{x^{2}+x+h x+h-x^{2}-x h-x}{(x+h+1)(x+1)}\right]\)
	\(\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left[\frac{h}{(x+h+1)(x+1)}\right]\)
	\(\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{(x+h+1)(x+1)}\)
	\(\ =\frac{1}{(x+1)^{2}}\)

Приклад 6

Ракета рухається вгору і досягає висоти\(\ h(t)=4.9 t^{2}\) в t секунд.

1. Наскільки високо він досягає за 35 секунд?
2. Яка середня швидкість ракети протягом перших 35 секунд?
3. Яка миттєва швидкість ракети в кінці 35 секунд?

Рішення

1. Висота ракети в 35 сек становить\(\ 4.9(35)^{2}=6002.5 m\)
2. \(\ V_{a v g}=\frac{6002.5 m}{35 s}=171.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\)
3. Щоб знайти миттєву швидкість, нам потрібно знайти похідну\(\ h(t)=4.9 t^{2}\)

   \(\ h^{\prime}(t)=9.8 t\)Використання миттєвої швидкості зміни формули зверху

   \(\ 9.8 \cdot 35 s=343 \mathrm{~m} / \mathrm{sec}\)

Приклад 7

Частинка рухається в позитивному напрямку по прямій лінії так, що через t наносекунд її пройдена відстань задається\(\ \chi(t)=9.9 t^{3}\) нанометрами.

1. Яка середня швидкість частинки протягом перших 2 наносекунд?
2. Яка миттєва швидкість частинки при t = 2 наносекунди?

Рішення

1. Частинка рухається\(\ 9.9 t^{3} n m\) в\(\ t\) секундах

   \(\ \therefore 9.9\left(2^{3}\right)=\frac{79.2 n m}{2 s} \rightarrow \frac{39.6 n m}{1 s}\)

2. Використовуючи формулу знаходження похідної, отримаємо\(\ \chi^{\prime}(t)=29.7 t^{2}\)

   \(\ \therefore \chi^{\prime}(2)=118.8 n m / s\)

   \(\ \therefore\)Миттєва швидкість\(\ t=2\) при\(\ 118.8 \mathrm{nm} / \mathrm{sec}\)

---

Рецензія

Знайдіть середню швидкість зміни:

1. \(\ C=f(x)\)і\(\ f(x)=x^{2}-4 x+2\). Знайти середню швидкість зміни (С) по відношенню до (х), коли (х) змінюється від х = 15, до х = 59.
2. \(\ H=f(x)\)і\(\ f(x)=x^{2}-5 x+201\) знайти середню швидкість зміни (Н), по відношенню до (х) при зміні (х) з х = 10 на х = 11.
3. \(\ N=f(x)\)і\(\ f(x)=3 x^{2}-4 x-1\) знайти середню швидкість зміни (N) щодо (х) при зміні (х) з х = 20 на х = 64.
4. \(\ H=f(x)\)і f (x) =x^ {2} +10 x+201 Знайти середню швидкість зміни (H) по відношенню до (x) при зміні (x) з x + 25 на x = 74.
5. n = F (x) і\(\ f(x)=-5 x^{2}-3 x-4\) Знайти середню швидкість зміни (N) по відношенню до (x) при зміні (x) з x = 30 на x = 54.

Знайдіть миттєву швидкість зміни:

6. Якщо\(\ C=f(x)\) і\(\ f(x)=-4 x^{2}+2 x+5\) Знайти миттєву швидкість зміни (С) по відношенню до (х), коли х = 25.
7. Якщо\(\ N=f(x)\) і\(\ f(x)=3 x^{2}-x-5\) Знайти миттєву швидкість зміни (N) по відношенню до х, коли х = 10.
8. \(\ H=f(x)\)і\(\ f(x)=4 x^{2}+195\) Знайти миттєву швидкість зміни (Н) по відношенню до х, коли х = 10.
9. \(\ N=f(x)\)і\(\ f(x)=-x^{2}+x-3\) Знайти миттєву швидкість зміни (N) по відношенню до х, коли х = 150.
10. \(\ C=f(x)\)і\(\ f(x)=-3 x^{2}+4 x-4\) Знайти миттєву швидкість зміни (N) по відношенню до х, коли х = 20.

Скористайтеся визначенням похідної, щоб знайти f (x), а потім знайти рівняння дотичної прямої при x = x ₀.

11. \(\ f(x)=6 x^{2} ; x_{0}=3\)
12. \(\ f(x)=\sqrt{x+2} ; x_{0}=8\)
13. \(\ f(x)=3 x^{3}-2 ; x_{0}=-1\)
14. \(\ f(x)=\frac{1}{x+2} ; x_{0}=-1\)
15. \(\ f(x)=a x^{2}-b\), (де a і b - константи); x ₀ = b
16. \(\ f(x)=x^{1 / 3} ; x_{0}=1\)
17. Припустимо, що f має властивість, що f (x + y) = f (x) + f (y) + 3 xy і\(\ \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(h)}{h}=4\). Знайти\(\ f(0)\) і\(\ f^{\prime}(x)\).
18. Знайти\(\ d y / d x\)

Вирішити проблеми швидкості змін.

19. Пакувальна компанія на півдні виготовляє «Соус для спагетті мами». Вартість виробництва х банок становить J = f (x) доларів. Що означає f' (100) = 9999 в цьому контексті?
20. Вишневий пиріг береться з духовки, коли його температура становить 202° F, і ставиться на стіл в приміщенні, де температура становить 75° F, Температура пирога протягом x хвилин задається T = f (x). Що означає f' (100) = 102 в цьому контексті?
21. Кількість вірусу, через (х) годин, в контрольованому лабораторному експерименті становить V = f (x). Які одиниці виміру f' (x)?
22. Кількість людей в США, які постраждали від застуди в листопаді місяці, визначається N = f (x), де x - день місяця. Яке значення f' (x) в цьому контексті?
23. Кількість домогосподарств у Флориді, постраждалих від сезону ураганів у липні, визначається J = f (x), де x - день місяця. \(\ f(x)=2 x^{2}+x+1\)Знайти середню швидкість зміни J по відношенню до х при зміні днів з х = 5 на х = 34.
24. Пиріг береться з духовки, коли його температура становить 196° F і поміщається на охолоджуючу стійку в приміщенні, де температура становить 75° F. температура пирога протягом (x) хвилин задається H = f (x). \(\ f(x)=4 x^{2}+15 x+196\)Знайти миттєву швидкість зміни Н по відношенню до х при х = 15.
25. Деко з м'ясним рулетом береться з духовки, коли його температура становить 205° F, і ставиться на стіл в приміщенні, де температура становить 75° F. температура м'ясного рулету протягом x хвилин задається H = f (x). \(\ f(x)=2 x^{2}+5 x+205\). Знайти середню швидкість зміни Н по відношенню до х при зміні хвилин з х = 5 на х = 54.

---

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 8.8.

---

Лексика

Термін	Визначення
Середня швидкість зміни	Середня швидкість зміни функції - це зміна координат y функції, поділена на зміну координат x.
Середня швидкість	Середня швидкість об'єкта - це відстань, яку проїжджає об'єкт, поділена на час у дорозі.
похідний	Похідна функції - нахил прямої дотичної до функції в заданій точці на графіку. Позначення для похідних включають\(\ f^{\prime}(x), \frac{d y}{d x}, y^{\prime}, \frac{d f}{d x}\) і\(\ \frac{df(x)}{dx}\).
миттєва швидкість зміни	Миттєва швидкість зміни кривої в заданій точці - це нахил прямої дотичної до кривої в цій точці.
Миттєва швидкість	Миттєва швидкість об'єкта - це швидкість об'єкта в конкретний момент часу.
межа	Межа - це значення, до якого наближається вихід функції, коли вхід функції наближається до заданого значення.
січна лінія	Січна лінія - це лінія, яка з'єднує дві точки на кривій.
Ухил	Ухил - це міра крутизни лінії. Лінія може мати позитивний, негативний, нульовий (горизонтальний) або невизначений (вертикальний) нахил. Нахил лінії можна знайти, обчисливши «підйом над пробігом» або «зміна y над зміною x». Символ нахилу - m
дотична лінія	Дотична лінія - це лінія, яка «просто торкається» кривої в одній точці і ніякої іншої.