8.2.1: Дотичні до кривої

Last updated
Save as PDF

Page ID: 55054

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Дотичні до кривої

Кевін дізнається про основу обчислення та те, для чого насправді використовується обчислення. На жаль, Кевін не розуміє, чому іноді потрібне обчислення, щоб знайти рівняння прямої. В Алгебрі 1 він дізнався, що ви можете знайти рівняння прямої, якщо вам дано дві точки. Ви знаходите нахил лінії, розділивши різницю вгору/вниз в точках на різницю вліво/вправо, потім ви використовуєте одну з точок і нахил, щоб знайти y-перехоплення.

Вчитель Кевіна, містер Банер, запропонував йому додатковий кредит, якщо він зможе знайти нахил лінії для точок (4,5) та (4,5), використовуючи метод, який він вивчив у алгебрі 1. Ви бачите, що зробив містер Банер? Що Кевін знайде, коли він працює над цими проблемами?

Дотичні до кривої

Нагадаємо з алгебри, якщо точки\(\ P\left(x_{0}, y_{0}\right)\) і\(\ Q\left(x_{1}, y_{1}\right)\) є двома різними точками на кривій\(\ y=f(x)\), то нахил січної лінії, що з'єднує дві точки, задається

\(\ m_{s e c}=\frac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}=\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{0}\right)}{x_{1}-x_{0}} \tag{1}\)

F-д_69707 AEEE183 ЕБ486015Е1Б50Б1БК2Е7367860579 Д12562АБ 34А0Ф0+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

Звичайно, якщо ми дозволимо точці х ₁ наблизитися х _o, то Q буде наближатися P уздовж графіка f і, таким чином, нахил січна лінія поступово наближається до нахилу дотичної лінії, оскільки х ₁ наближається до х ₀. Тому (1) стає

\(\ m_{s e c}=\lim _{x_{1} \rightarrow x_{0}} \frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{0}\right)}{x_{1}-x_{0}} \tag{2}\)

Щоб спростити наші позначення, якщо ми дозволимо h = x ₁ − x ₀, то x ₁ = x ₀ + h і x ₁→ x ₀ стає еквівалентним h → 0. Це означає, що (2) стає

\(\ m_{s e c}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}\)

Нахил дотичної лінії

Якщо точка P (x ₀, y ₀) знаходиться на кривій f, то дотична лінія на P має нахил, який задається

\(\ m_{\text {tan }}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}\)

за умови, що ліміт існує.

Нагадаємо, що рівняння дотичної прямої через точку (x ₀, y ₀) з нахилом m є точково-нахилом форми прямої: y − y ₀ = м _загар (x − x ₀).

Приклади

Приклад 1

Раніше вам дали проблему про Кевіна, який має проблеми з розумінням обчислення.

Рішення

Пан Банер попросив Кевіна знайти рівняння прямої з урахуванням точок (4, 5) і (4, 5). Точки (4, 5) і (4, 5) однакові, так що було\(\ \frac{\text { rise }}{\text { run }}\) б\(\ \frac{0}{0}\) - Кевін тільки що був введений в необхідність диференціального числення!

Приклад 2

Знайти дотичну лінію до кривої\(\ f(x)=x^{3}\), яка проходить через точку Р (2, 8).

Рішення

Оскільки P (x ₀, y ₀) = (2, 8), використовуючи нахил тангенсного рівняння ми маємо

	Мтан	\(\ m_{t a n}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}\)
і ми отримуємо
	Мтан	\(\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h}\)
		\(\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\left(h^{3}+6 h^{2}+12 h+8\right)-8}{h}\)
		\(\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h^{3}+6 h^{2}+12 h}{h}\)
		\(\ =\lim _{h \rightarrow 0}\left(h^{2}+6 h+12\right)\)
		\(\ =12\)

Таким чином нахил дотичної лінії дорівнює\(\ 12\). Використовуючи формулу точка-нахил вище, ми знаходимо, що рівняння дотичної прямої є\(\ y-8=12(x-2)\) або\(\ y=12 x-16\).

Приклад 3

Якщо\(\ f(x)=x^{2}-3\), знайдіть\(\ f^{\prime}(x)\) і використовуйте результат, щоб знайти нахил дотичної лінії в\(\ x = 2\) і\(\ x = −1\).

Рішення

З тих\(\ f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) пір

\(\ f^{\prime}(x)\)	\(\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\left[(x+h)^{2}-3\right]-\left[x^{2}-3\right]}{h}\)
	\(\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{x^{2}+2 x h+h^{2}-3-x^{2}+3}{h}\)
	\(\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 x h+h^{2}}{h}\)
	\(\ =\lim _{h \rightarrow 0}(2 x+h)\)
	\(\ =2x\)

Щоб знайти ухил, просто\(\ x = 2\) підставляємо в результат\(\ f^{\prime}(x)\):

	f '(х)	= 2 х
	f' (2)	= 2 (2)
		= 4
і
	f' (х)	= 2х
	f' (-1)	= 2 (-1)
		= -2

Таким чином, нахил дотичної лінії при x = 2 і x = −1 дорівнює 4 і −2 відповідно.

Приклад 4

Знайти нахил дотичної лінії до кривої\(\ y=1 / x\), яка проходить через точку (1, 1).

Рішення

Використовуючи нахил тангенса формули,

	\(\ f^{\prime}(x)\)	\(\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
і підставляючи\(\ y=\frac{1}{x}\)
	\(\ f^{\prime}(x)\)	\(\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\left(\frac{1}{x+h}\right)-\frac{1}{x}}{h}\)
		\(\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{x-x-h}{x(x+h)}}{h}\)
		\(\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{x-x-h}{h x(x+h)}\)
		\(\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{-1}{x(x+h)}\)
		\(\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{-1}{x(x+h)}\)
		\(\ =\frac{-1}{x^{2}}\)
Для\(\ x = 1\), ухил
	\(\ f^{\prime}(x)\)	\(\ =\frac{-1}{1}=-1\)
		\(\ =−1\)

Таким чином, нахил дотичної лінії в\(\ x = 1\) для кривої\(\ y=1 / x\) є\(\ m=-1\). Щоб знайти рівняння дотичної прямої, ми просто використовуємо формулу точка-нахил,

	у - у ₀	= м (х - х ₀)
Де (х ₀, у ₀) = (1, 1).
	у - 1	= -1 (х - 1)
	у	= - х + 1 + 1
	у	= - х + 2

Отже, рівняння дотичної прямої y = - x + 2.

Приклад 5

З огляду на функцію\(\ y=\frac{1}{2} x^{2}\) і значення\(\ x_{0}=3\) and\(\ x_{1}=4\), знайдіть:

Середня швидкість зміни y щодо x за інтервал [x ₀, x ₁].
Ухил січної лінії, що з'єднує х ₀ і х _1.
Миттєва швидкість зміни y по відношенню до x при x ₀.
Нахил дотичної лінії в х ₁.

Рішення

Визначте дві точки, підставивши 3 і 4\(\ x\) in for у функції\(\ f(x)=\frac{1}{2} x^{2}\)
Підставте два бали (3, 4,5) та (4, 8) у формулу середньої швидкості зміни:\(\ m=\frac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}\)

Середня швидкість зміни\(\ =\frac{7}{2}\)
Ухил січної лінії між x0 і x1 - це нахил між (3, 4,5) і (4, 8), який є\(\ \frac{7}{2}\).
Миттєва швидкість зміни - це нахил в\(\ x = 3\).
Скористайтеся формулою:\(\ \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) де\(\ f(x)=\frac{1}{2} x^{2}\) і\(\ x=3\)

\(\ \frac{f(3+h)-f(3)}{h}\)... \(\ 3\)Замінник\(\ x\)

\(\ \frac{\frac{1}{2}(3+h)^{2}-\frac{1}{2}(3)^{2}}{h}\)... Замінити\(\ f(x) \rightarrow \frac{1}{2} x^{2}\)

\(\ \frac{\frac{1}{2}(9)+\frac{1}{2}(6 h)+\frac{1}{2} h^{2}-\frac{1}{2} 9}{h}\)... Фольга і розподілити 1/2

\(\ \frac{6 h+h^{2}}{2 h}\)... Спростити

\(\ 3+\frac{h}{2}\)... Спростити ще раз

\(\ 3\)... Як\(\ h \rightarrow 0\)

م. миттєвий нахил\(\ x = 3\) при\(\ 3\)
Нахил дотичної в 4 такий же, як і миттєва швидкість зміни при\(\ x=4\)
Це та ж серія кроків, що і при\(\ x = 3\) наведеному вище

م. нахил на\(\ x = 4\) є\(\ 4\)

Приклад 6

Дано функцію\(\ f(x)=\frac{1}{x}\) і значення\(\ x_{0}=2\) і\(\ x_{1}=3\), знайдіть:

Середня швидкість зміни y щодо x за інтервал [x ₀, x ₁].
Ухил січної лінії, що з'єднує х ₀ і х ₁.
Миттєва швидкість зміни y по відношенню до x при x ₀.
Нахил дотичної лінії в х ₁.

Рішення

Визначте дві точки, підставивши 2 і 3 in для x у функції,\(\ f(x)=\frac{1}{x}\) щоб отримати\(\ \left(2, \frac{1}{2}\right) \mid\left(3, \frac{1}{3}\right)\)
Підставте два пункти\(\ \left(2, \frac{1}{2}\right) \mid\left(3, \frac{1}{3}\right)\) в формулу середньої швидкості зміни:\(\ m=\frac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}\)

Середня швидкість зміни\(\ =\frac{-1}{6}\)
Ухил січної лінії між\(\ x_{0}\) і\(\ x_{1}\) є нахилом між\(\ \left(2, \frac{1}{2}\right)\) і\(\ \left(3, \frac{1}{3}\right)\), який є\(\ \frac{-1}{6}\).
Миттєва швидкість зміни при\(\ x_{0}\) - це нахил в\(\ x= 2\).
Скористайтеся формулою:\(\ \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) де\(\ f(x)=\frac{1}{x}\) і\(\ x=2\)

\(\ \frac{f(2+h)-f(2)}{h}\)... \(\ 2\)Замінник\(\ x\)

\(\ \frac{\frac{1}{2+h}-\frac{1}{2}}{h}\)... Замінити\(\ f(x) \rightarrow \frac{1}{x}\)

\(\ \left(\frac{1}{2+h}-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{h}\)... У нас був дріб, поділений на дріб, інвертувати, щоб помножити

\(\ \frac{(2)(1)}{2(2+h)}-\frac{(2+h)(1)}{2(2+h)} \cdot \frac{1}{h}\)... Встановити спільні знаменники

\(\ \frac{(2)-(2+h)}{(2+h)(2)(h)}\)... Спростити

\(\ \frac{-h}{4 h+2 h^{2}}\)... Спростити ще раз

\(\ \frac{-1}{4+2 h}\)... ще раз (скасування\(\ h\))

\(\ \frac{-1}{4}\)... Як\(\ h \rightarrow 0\)

م. миттєвий нахил\(\ x=2\) при\(\ \frac{-1}{4}\)
Нахил дотичної при 3 такий же, як і миттєва швидкість зміни при\(\ x=3\)
Це та ж серія кроків, що і при\(\ x = 2\) наведеному вище

م. нахил на\(\ x = 3\) є\(\ \frac{-1}{9}\)

Рецензія

Як називається лінія, що з'єднує дві точки\(\ \left(x_{0}, y_{0}\right)\) і\(\ \left(x_{1}, y_{1}\right)\) на кривій?
Як\(\ \left(x_{0}, y_{0}\right)\) стає незмірно близьким до\(\ \left(x_{1}, y_{1}\right)\) терміну, що описує межу між ними, стає: «____________ рядок»
Вираз\(\ f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)\) використовується для опису якої відстані в процесі знаходження нахилу дотичної прямої?
При обчисленні нахилу дотичної, яке значення вважається 0, коли дві вибрані точки стають все ближче і ближче?
Яке відношення має поняття межі, обговорюване на попередніх уроках, з знаходженням нахилу прямої дотичної до кривої?

Знайдіть рівняння дотичної прямої:

Що таке рівняння дотичної прямої при\(\ x=−3\) припущенні, що\(\ r(-3)=-5\) і\(\ r^{\prime}(-3)=1\)?
Що таке рівняння дотичної прямої при\(\ x=1\) припущенні, що\(\ r(1)=3\) і\(\ r^{\prime}(1)=-5\)?
Що таке рівняння дотичної прямої при\(\ x=2\) припущенні, що\(\ g(2)=1\) і\(\ g^{\prime}(2)=-3\)?
Що таке рівняння дотичної прямої при\(\ x=4\) припущенні, що\(\ u(4)=4\) і\(\ u^{\prime}(4)=3\)?
Що таке рівняння дотичної прямої при\(\ x=-4\) припущенні, що\(\ t(-4)=2\) і\(\ t^{\prime}(-4)=5\)?

Знайдіть рівняння дотичної прямої:

Знайти рівняння дотичної прямої до графіка\(\ h(x)=-5 x^{3}-3 x^{2}+x+3\) at\(\ x=1\)
Знайти рівняння дотичної прямої до графіка\(\ t(x)=-2 x\) at\(\ x=-2\)
Знайти рівняння дотичної прямої до графіка\(\ m(x)=3 x^{3}+3 x^{2}+4 x+4\) at\(\ x=1\)
Знайти рівняння дотичної прямої до графіка\(\ q(x)=-x^{3}-4 x^{2}+4 x+3\) at\(\ x=−2\)
Знайти рівняння дотичної прямої до графіка\(\ t(x)=-4 x^{2}+2 x-4\) at\(\ x=−1\)
Знайти рівняння дотичної прямої до графіка\(\ h(x)=-4 x^{3}+2 x^{2}-3 x+3\) at\(\ x=−1\)
Знайти рівняння дотичної прямої до графіка\(\ m(x)=x\) at\(\ x=0\)
Знайти рівняння дотичної прямої до графіка\(\ s(x)=-3 x^{2}-2 x+3\) at\(\ x=0\)
Знайти рівняння дотичної прямої до графіка\(\ c(x)=-3\) at\(\ x=0\)
Знайти рівняння дотичної прямої до графіка\(\ b(x)=-5 x^{4}+3 x^{3}-x^{2}+5 x-3\) at\(\ x=−1\).

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 8.7.

Лексика

Термін	Визначення
січний	Лінія, яка перетинає коло в двох точках.
дотична	Лінія, яка перетинає коло рівно в одній точці.
Середня швидкість зміни	Середня швидкість зміни функції - це зміна координат y функції, поділена на зміну координат x.
Диференціальне числення	Диференціальне числення - це гілка числення, заснована на знаходженні різниці в розташуванні між двома точками, які зближуються до тих пір, поки відстань між ними не буде нескінченно малим.
миттєва швидкість зміни	Миттєва швидкість зміни кривої в заданій точці - це нахил прямої дотичної до кривої в цій точці.
січна лінія	Січна лінія - це лінія, яка з'єднує дві точки на кривій.
Ухил	Ухил - це міра крутизни лінії. Лінія може мати позитивний, негативний, нульовий (горизонтальний) або невизначений (вертикальний) нахил. Нахил лінії можна знайти, обчисливши «підйом над пробігом» або «зміна y над зміною x». Символ нахилу - m
дотична лінія	Дотична лінія - це лінія, яка «просто торкається» кривої в одній точці і ніякої іншої.