8.1.5: Таблиці для пошуку обмежень

Таблиці для пошуку лімітів

Калькулятори, такі як TI-84, мають табличний вигляд, який дозволяє робити надзвичайно освічені здогадки щодо того, що межа функції буде в певній точці, навіть якщо функція насправді не визначена в цей момент.

Як ви могли б використовувати таблицю для обчислення наступного ліміту?

\(\ \lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}+3 x+2}{x+1}\)

---

Використання таблиць для пошуку лімітів

Якби вам надали наступну інформацію, організовану в таблиці, як би ви заповнили центральний стовпець?

3.9	3.99	3.999		4.001	4.01	4.1
12.25	12.01	12.00001		11 99999	11.99	11.75

Логічно було б побачити симетрію і помітити, як верхній ряд наближається до числа 4 зліва і справа. Також логічно було б помітити, як нижній ряд наближається до числа 12 зліва і справа. Це призведе вас до висновку, що межа функції, представленої цією таблицею, дорівнює 12, оскільки верхній рядок наближається до 4. Не має значення, якщо значення в 4 було невизначено або визначено як інше число, як 17, шаблон говорить вам, що межа в 4 дорівнює 12.

Використання таблиць для обчислення лімітів чисельно вимагає такого типу логіки. Чисельно - це термін, який використовується для опису одного з декількох різних уявлень у математиці. Він відноситься до таблиць, де видно фактичні цифри.

Щоб оцінити ліміт\(\ \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x-2}{x^{2}-x-2}\), заповніть таблицю:

х	1.9	1,99	1.999	2.001	2.01	2.1
f (х)

Хоча не обов'язково використовувати функцію таблиці в калькуляторі, вона дуже ефективна.

Щоб скористатися таблицею на калькуляторі для оцінки ліміту:

1. Введіть функцію на екрані y =
2. Перейдіть до налаштування таблиці та виділіть «запитати» для незалежної змінної
3. Перейдіть в таблицю і введіть значення, близькі до числа, до якого наближається x

Інший варіант - підставити задані\(\ x\) значення у вираз\(\ \frac{x-2}{x^{2}-x-2}\) і записати свої результати. Так чи інакше, заповнена таблиця виглядає наступним чином.

х	1.9	1,99	1.999	2.001	2.01	2.1
f (х)	0,34483	0,33445	0,3344	0,3332	0,3323	0,32258

Докази свідчать про те, що межа є\(\ \frac{1}{3}\).

---

Приклади

Приклад 1

Раніше вас просили знайти межу\(\ \lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}+3 x+2}{x+1}\).

Рішення

При введенні значень, близьких до -1 в таблиці, ви отримуєте\(\ y\) значення, які все більше наближаються до числа 1. Це означає, що межа як\(\ x\) наближається -1 дорівнює 1. Зверніть увагу, що коли ви оцінюєте функцію на -1, калькулятор видає помилку. Це повинно привести вас до висновку, що поки функція не визначена в\(\ x=−1\), межа дійсно існує.

Приклад 2

Заповніть таблицю і використовуйте результат для оцінки ліміту.

\(\ \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x-2}{x^{2}-4}\)

х	1.9	1,99	1.999	2.001	2.01	2.1
f (х)

Рішення

Ви можете обдурити калькулятор, щоб дати дуже точну відповідь, ввівши 1.999999999999, тому що тоді калькулятор округлює замість того, щоб видавати помилку.

х	1.9	1,99	1.999	2.001	2.01	2.1
f (х)	0,25641	0,25063	0,25006	0,24994	0,24938	0,2439

Докази свідчать про те, що межа є\(\ \frac{1}{4}\).

Приклад 3

Заповніть таблицю і використовуйте результат для оцінки ліміту.

\(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{3}}{x}\)

х	-0.1	-0.01	-0,001	0,001	0,01	0.1
f (х)

Рішення

х	-0.1	-0.01	-0,001	0,001	0,01	0.1
f (х)	0.29112	0,28892	0,2887	0,28865	0,28843	0,28631

Докази свідчать про те, що межа - це число між 0,2887 і 0,28865. Коли ви навчитеся знаходити межу аналітично, ви будете знати, що точна межа є\(\ \frac{1}{2} \cdot 3 \frac{1}{2} \approx 0.2886751346\).

Приклад 4

Графік наступної функції і використовувати таблицю для перевірки ліміту, як\(\ x\) наближається 1.

\(\ f(x)=\frac{x^{3}-1}{x-1}, x \neq 1\)

Рішення

\(\ \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=3\). Це відбувається тому, що коли ви множник чисельник і скасуєте загальні фактори, функція стає квадратичною з діркою в точці\(\ (1, 3)\).

Перевірити ліміт можна в таблиці.

х	f (х)
7.5	2.3125
9.	2.71
9.9	2.9701
.999	2.97
1	Помилка
1.001	3.003
1.01	3.0301
1.1	3.31
1,25	3.8125

Приклад 5

Оцініть межу чисельно.

\(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left[\frac{4}{x+2}\right]-2}{x}\)

Рішення

х	-0.1	-0.01	-0,001	0,001	0,01	0.1
f (х)	0,20526	0.02005	0,002	-0,002	-0.02	-0.1952

\(\ \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0\)

---

Рецензія

Оцініть наступні межі чисельно.

1. \(\ \lim _{x \rightarrow 5} \frac{x^{2}-25}{x-5}\)
2. \(\ \lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}-3 x-4}{x+1}\)
3. \(\ \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}-5 x^{2}+2 x-4}{x^{2}-3 x+2}\)
4. \(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x}\)
5. \(\ \lim _{x \rightarrow 3}\left(\frac{1}{x-3}-\frac{9}{x^{2}-9}\right)\)
6. \(\ \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+5 x-14}{x-2}\)
7. \(\ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-8 x+7}{x-1}\)
8. \(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+5}-\sqrt{5}}{x}\)
9. \(\ \lim _{x \rightarrow 9} \frac{\sqrt{x}-3}{x-9}\)
10. \(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}+5 x}{x}\)
11. \(\ \lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x+3}\)
12. \(\ \lim _{x \rightarrow 4} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4}\)
13. \(\ \lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}\)
14. \(\ \lim _{x \rightarrow 5} \frac{x^{2}-25}{x^{3}-125}\)
15. \(\ \lim _{x \rightarrow-1} \frac{x-2}{x+1}\)

---

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 14.3.

---

Лексика

Термін	Визначення
межа	Межа - це значення, до якого наближається вихід функції, коли вхід функції наближається до заданого значення.
чисельно	Чисельно - це термін, який використовується для опису одного з декількох різних уявлень у математиці. Він відноситься до таблиць, де видно фактичні цифри.

---

Атрибуції зображень

1. [Рисунок 1]
   Кредит: CK-12
   Ліцензія Фонду: CC BY-SA