8.1.4: Межі поліноміальної функції

Last updated
Save as PDF

Page ID: 55060

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Раціоналізація для пошуку обмежень

Деякі ліміти не можуть бути оцінені безпосередньо шляхом заміни, і жодні фактори негайно не скасовуються. У цих ситуаціях існує ще одна алгебраїчна техніка, яку слід спробувати, називається раціоналізацією. При раціоналізації ви робите чисельник і знаменник виразу раціональними за допомогою властивостей сполучених пар.

Як ви оцінюєте наступний ліміт за допомогою раціоналізації?

\(\ \lim _{x \rightarrow 16} \frac{\sqrt{x}-4}{x-16}\)

Використання раціоналізації для пошуку обмежень

Раціоналізація, як правило, означає помножити раціональну функцію на розумну форму одиниці, щоб усунути радикальні символи або уявні числа в знаменнику. Раціоналізація - це також техніка, яка використовується для оцінки меж, щоб уникнути нуля в знаменнику при заміні.

Для цього ви будете використовувати властивості кон'югатів.

Кон'югати можуть використовуватися для спрощення виразів з радикалом в знаменнику:

\(\ \frac{5}{1+\sqrt{3}}=\frac{5}{(1+\sqrt{3})} \cdot \frac{(1-\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})}=\frac{5-5 \sqrt{3}}{1-3}=\frac{5-5 \sqrt{3}}{-2}\)

Сполученими можуть бути використані для спрощення комплексних чисел з\(\ i\) в знаменнику:

\(\ \frac{4}{2+3 i}=\frac{4}{(2+3 i)} \cdot \frac{(2-3 i)}{(2-3 i)}=\frac{8-12 i}{4+9}=\frac{8-12 i}{13}\)

Тут вони можуть бути використані для перетворення виразу в граничну задачу, яка не відразу впливає на ту, яка робить негайно фактор.

\(\ \lim _{x \rightarrow 16} \frac{(\sqrt{x}-4)}{(x-16)} \cdot \frac{(\sqrt{x}+4)}{(\sqrt{x}+4)}=\lim _{x \rightarrow 16} \frac{(x-16)}{(x-16)(\sqrt{x}+4)}\)

Тепер ви можете скасувати загальні множники в чисельнику і знаменнику і використовувати підстановку, щоб закінчити оцінку межі.

Техніка раціоналізації працює тому, що коли ви алгебраїчно маніпулюєте виразом у межі еквівалентного виразу, результуюча межа буде однаковою. Іноді необхідно робити безліч різних алгебраїчних маніпуляцій, щоб уникнути нуля в знаменнику при використанні методу підстановки.

Приклади

Приклад 1

Для того щоб оцінити межу наступного раціонального виразу, потрібно помножити на розумну форму 1, щоб при підставці більше не було нульового коефіцієнта в знаменнику.

\(\ \lim _{x \rightarrow 16} \frac{\sqrt{x}-4}{x-16}\)

Рішення

\ (\\ почати {вирівняні}
\ lim _ {x\ rightarrow 16}\ frac {\ sqrt {x} -4} {x-16} &=\ lim _ {x\ rightarrow 16}\ frac {(\ sqrt {x} -4)} {(x-16)}\ cdot\ frac {(\ sqrt {x} +4})}\\
&=\ lim _ {х\ стрілка вправо 16}\ frac {(x-16)} {(x-16) (\ sqrt {x} +4)}\\
&=\ lim _ {х\ стрілка вправо 16} (\ sqrt {x} +4)\\
&= 4+4\\
&=8
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад 2

Оцініть наступний ліміт:\(\ \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-9}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}\).

Рішення

\ (\\ почати {вирівняні}
\ lim _ {x\ rightarrow 3}\ frac {(x-3) (x+3)} {(\ sqrt {x} -\ sqrt {3})}\ cdot\ frac {(\ sqrt {x}) {\ sqrt {3})} {(\ sqrt {x} +\ sqrt {3})} &=\ lim _ {x\ стрілка вправо 3}\ frac {(x-3) (x+3) (x+3) (\ sqrt {x} +\ sqrt {3})}\\
&=\ lim _ {х\ стрілка вправо 3} (x+3) (\ sqrt {x} +\ sqrt {3})\\
&=6\ cdot 2\ sqrt {3}\\
&=12\ sqrt {3}
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад 3

Оцініть наступний ліміт:\(\ \lim _{x \rightarrow 7} \frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}\).

Рішення

\ (\\ почати {вирівняні}
\ lim _ {x\ rightarrow 7}\ frac {\ sqrt {x+2} -3} {x-7} &=\ lim _ {x\ rightarrow 7}\ frac {(\ sqrt {x+2} -3)} {(x-7)}\ cdot\ frac {(\ sqrt {x+2} +3)} {\ sqrt x+2} +3)}\\
&=\ lim _ {x\ праворуч 7}\ frac {(x+2-9)} {(x-7)\ cdot (\ sqrt {x+2} +3)}\\
&=\ lim _ {x\ стрілка вправо 7}\ frac {(x-7)} {(x-7)\ cdot (\ sqrt {x+2} +3)}\\
&=\ lim _ {x\ rightarrow 7}\ frac {1}\ frac {1}\ frac {\ sqrt {7+2} +3}\
&=\ фрак {1} {\ sqrt {7+2} +3}\
&=\ frac 1} {6}
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад 4

Оцініть наступний ліміт:\(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(2+x)^{-1}-2^{-1}}{x}\).

Рішення

\ (\\ почати {вирівняний}
\ lim _ {x\ rightarrow 0}\ frac {(2+x) ^ {-1} -2^ {-1}} {x} &=\ lim _ {x\ rightarrow 0}\ frac {1} {x+2} -\ frac {1} {2}} {x}\ cdot\ frac {(x+2)\ cdot 2} {(x+2)\ cdot 2}\\
&=\ lim _ {x\ стрілка вправо 0}\ frac {2- (x+2)} {2 x (x+2)}\\
&=\ lim _ {x\ стрілка вправо 0 }\ гідророзриву {-x} {2 x (x+2)}\\
&=\ lim _ {x\ праворуч 0}\ гідророзриву {-1} {2 (x+2)}\\
&=-\ гідророзриву {1} {2 (0+2)}\\
&=-\ гідророзриву {1} {4}
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад 5

Оцініть наступний ліміт:\(\ \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{3}{x \sqrt{9-x}}-\frac{1}{x}\right)\)

Рішення

\ (\\ почати {вирівняний}
\ lim _ {x\ rightarrow 0}\ лівий (\ frac {3} {x\ sqrt {9-x}}} -\ frac {1} {x}\ вправо) &=\ lim _ {x\ rightarrow 0}\ ліворуч (\ frac {3} {x\ sqrt {9-x}} -\ frac {\ sqrt {9-x}}}} {x\ sqrt {9-x}}\ праворуч)\\
&=\ lim _ {x\ rightarrow 0}\ ліворуч (\ frac {3-\ sqrt {9-x}} {x\ sqrt {9-x}}\ праворуч)\\
&=\ lim _ {x\ rightarrow 0}\ лівий (\ frac {(3-\ sqrt {9-x})} {x\ sqrt {9-x}}\ cdot\ frac {(3+\ sqrt {9-x})} {(3+\ sqrt {9-x})}\ праворуч)\\
&=\ lim _ {x\ праворуч 0\ (\ frac {9- (9-х)} {x\ sqrt {9-х}}\ праворуч)\\
&=\ lim _ {x\ rightarrow 0}\ frac {x} {x\ sqrt {9-x}}\\
&=\ lim _ {x\ rightarrow 0}\ frac {1} {\ sqrt {9-x}}\\
&=\ frac {1} {\ sqrt {9-0}}\\
&=\ frac {1} {3}
\ кінець {вирівняний}\)

Рецензія

Оцініть наступні межі:

\(\ \lim _{x \rightarrow 9} \frac{\sqrt{x}-3}{x-9}\)
\(\ \lim _{x \rightarrow 4} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4}\)
\(\ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}\)
\(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{3}}{x}\)
\(\ \lim _{x \rightarrow 4} \frac{\sqrt{3 x+4}-x}{4-x}\)
\(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2-\sqrt{x+4}}{x}\)
\(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+7}-\sqrt{7}}{x}\)
\(\ \lim _{x \rightarrow 16} \frac{16-x}{4-\sqrt{x}}\)
\(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+12}-\sqrt{12}}\)
\(\ \lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{2 x+5}-\sqrt{x+7}}{x-2}\)
\(\ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{1-\sqrt{x}}{1-x}\)
\(\ \lim _{x \rightarrow \frac{1}{9}} \frac{9 x-1}{3 \sqrt{x}-1}\)
\(\ \lim _{x \rightarrow 4} \frac{4 x^{2}-64}{2 \sqrt{x}-4}\)
\(\ \lim _{x \rightarrow 9} \frac{9 x^{2}-90 x+81}{9-3 \sqrt{x}}\)
Коли дається межа для оцінки, як ви знаєте, коли використовувати техніку раціоналізації? Як буде виглядати функція?

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 14.5.

Лексика

Термін	Визначення
кон'югати	Сполученими є пари бічленів, які є рівними окрім обернених операцій між ними, наприклад (3+2x) та (3−2x).
Безперервний	Безперервність для точки існує, коли ліві та праві межі збігаються з функцією, оціненою в цій точці. Щоб функція була неперервною, функція повинна бути неперервною в кожній точці нерозривної області.
межа	Межа - це значення, до якого наближається вихід функції, коли вхід функції наближається до заданого значення.
раціоналізації	Раціоналізація, як правило, означає помножити раціональну функцію на розумну форму одиниці, щоб усунути радикальні символи або уявні числа в знаменнику. Раціоналізація - це також техніка, яка використовується для оцінки меж, щоб уникнути нуля в знаменнику при заміні.
теорема	Теорема - це твердження, яке можна довести правдивим за допомогою постулатів, визначень та інших теорем, які вже доведені.