8.1.3: Нескінченні межі

Last updated
Save as PDF

Page ID: 55056

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Нескінченні межі

Geeks-R-Us продає титанові механічні олівці дизайнерам комп'ютерних алгоритмів. Прагнучи залучити більше бізнесу, вони вирішують провести досить незвичайну акцію:

«ПРОДАЖ!! Чим більше ви купуєте, тим більше економите! Олівців зараз$\ \$ \frac{12 x}{x-3}$ на десяток!»

Якщо трильйонер, Spug Dense, приходить і каже, що хоче купити стільки олівців, скільки може вийти Geeks-R-Us, до чого наблизиться вартість олівців, коли замовлення стає все більше і більше?

Нескінченні межі

Іноді функція може бути не визначена за певним числом, але оскільки значення вводяться ближче і ближче до невизначеного числа, обмеження на виході може не існувати. Наприклад, для функції f (x) = 1/x (показано на малюнках нижче), оскільки значення x приймаються ближче і ближче до 0 справа, функція збільшується на невизначений час. Також, оскільки значення x приймаються ближче і ближче до 0 зліва, функція зменшується на невизначений час.

Ф-Д_А1С872907ДБ931401Е43С359Д41397Д7Ф69Е00Б102 А5Б86ФД75Д5Ф5+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

F-д_С3826ДДЕ 494658Е63429А0Б807381d0ФДД1ЕА097D6A266123417fec+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

Ми описуємо ці обмеження поведінки шляхом написання

\ (\\ почати {масив} {l}
\ lim _ {x\ rightarrow 0^ {+}}\ frac {1} {x} =+\ infty\
\ lim _ {x\ rightarrow 0^ {-}}\ frac {1} {x} =-\ infty
\ кінець {масив}\)

Іноді ми хочемо знати поведінку$\ f(x)$ як х збільшується або зменшується без обмежень. У цьому випадку нас цікавить кінцева поведінка функції, концепція, яку ви, ймовірно, досліджували раніше. Наприклад, яке значення$\ f(x)=1 / x$ як$\ x$ збільшується або зменшується без прив'язки? Тобто,

\ (\\ begin {масив} {l}
\ lim _ {x\ rightarrow+\ infty}\ frac {1} {x} =? \\
\ lim _ {х\ стрілка вправо-\ infty}\ frac {1} {x} =?
\ end {масив}\)

Як видно з графіків (показано нижче), як$\ x$ зменшується без обмежень, значення від'ємні і$\ f(x) = 1/x$ наближаються до 0. З іншого боку, як$\ x$ збільшується без обмежень, значення позитивних і все ще$\ f(x) = 1/x$ наближаються і наближаються до 0.

F-д_7309088А49А9161ФК 50 АФК 8д722 ЕСБ Ф0С9766Б35ЕЦД 49С5Ф8Б9ДК00+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

F-д_0084Д4Е7Б6ФБ07А636Д0387ФД7ФД7СД 595878852 ЕДА 612А5БФ27D372D25+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий_PNG

Тобто,

\ (\\ почати {масив} {л}
\ lim _ {x\ rightarrow+\ infty}\ frac {1} {x} =0\
\ lim _ {x\ rightarrow-\ infty}\ frac {1} {x} =0
\ кінець {масив}\)

Приклади

Приклад 1

Раніше вам задавали питання про покупку великої кількості олівців.

Рішення

Оскільки Spug купує все більше олівців, вартість кожного десятка спочатку швидко знизиться, а через деякий час вирівняється, наближаючись до 12 доларів за дюжину.

Ви можете побачити ефект на графіку тут:

F-д_0е5С44Б73А4 АФ 1D566 АФА 190С43д4Б4 ККБ80181Б06436A838607E1A+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

Приклад 2

Оцініть ліміт, склавши графік:$\ \lim _{x \rightarrow 3^{+}} \frac{x+6}{x-3}$

Рішення

Подивившись на графік:

Ф-Д_2ЕД9 КС3Б6С1496Д1С454ЕЕ027600Д2 БКФФ Ф 6289DA4F8EB10B963F617+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

Ми бачимо, що коли х стає все ближче і ближче до 3 з позитивної сторони, вихід збільшується прямо у верхній частині зображення, на своєму шляху до ∞

Приклад 3

Оцініть ліміт:$\ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{11 x^{3}-14 x^{2}+8 x+16}{9 x-3}$.

Рішення

Оцінити межі поліноміальної функції допомагає трохи інтуїції. Давайте подумаємо, що це наскрізь.

По-перше, зауважте, що оскільки ми дивимося на те, що відбувається, оскільки$\ x \rightarrow \infty$ більшість цікавих речей відбудеться, оскільки$\ x$ стає дійсно великим.

У верхній частині дробу, оскільки х стає справді масивним,$\ 11 x^{3}$ частина стане більшою набагато швидше, ніж будь-який з інших термінів. Насправді, він збільшується набагато швидше, ніж інші терміни повністю перестають мати значення взагалі, як тільки х стає дійсно жахливим. Це означає, що важливою частиною верхньої частини фракції є саме той$\ 11 x^{3}$.

На дні розвивається подібна ситуація. Оскільки х стає дійсно, дуже великим, -3 має значення все менше і менше. Так що дно також може бути просто$\ 9x$.

Це дає нам$\ \frac{11 x^{3}}{9 x}$, що зводить до$\ \frac{11 x^{2}}{9}$

Тепер ми можемо легше побачити, що відбувається на «кінцях». Коли х стає все більшим і більшим, чисельник продовжує збільшуватися швидше, ніж знаменник, тому загальний вихід також збільшується.

$\ \therefore \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{11 x^{3}-14 x^{2}+8 x+16}{9 x-3} \text { is }+\infty$

Приклад 4

Оцініть$\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+2}{x+3}$

Рішення

Цей простіше, ніж здається! Як x—>0, залишаючи тільки дріб: 2/3

Приклад 5

Складіть графік, щоб оцінити ліміт$\ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{x}}$ і$\ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Рішення

Дивлячись на зображення, ми бачимо, що як х стає величезним, так і це означає, що 1 ділиться на все більше число, і результат стає все менше і менше.$\ \sqrt{x}$

$\ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{x}}=0$

F-D_ЕКА АФК 4СБ447 ЕДС924Ф6Б1316561БА 52409С2Е0А1Д3429Д419 БДФ+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

На тому ж зображенні ми бачимо, що як$\ x$ стає все ближче і ближче до нуля, так і це означає, що 1 ділиться на все меншу кількість, а результат стає все більшим і більшим.$\ \sqrt{x}$

$\ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}} \text { is }+\infty$

F-д_Е07ЕФ 198E9 ЕЕ2Б280196Ф3Ф92А48БФ8853А5С4Д99Е633Б85503ЕС5+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

приклад 6

Графік і оцінюємо ліміт:$\ \lim _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{1}{x-2}$.

Рішення

Дивлячись на зображення, ми можемо побачити, що коли х стає все ближче і ближче до 2 з позитивного напрямку, 1 ділиться на менші та менші числа, тому результат стає більшим і більшим.

F-D_8CF47C13F17F1 АЦБ 89275С566 BEFE 39FFB766BCAACC6E46D196ECE+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

$\ \lim _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{1}{x-2} \text { is }+\infty$

Рецензія

Оцініть ліміти:

$\ \lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{1}{x-3}$
$\ \lim _{x \rightarrow-4^{+}} \frac{1}{x+4}$
$\ \lim _{x \rightarrow-\left(\frac{8}{3}\right)^{+}} \frac{1}{3 x+8}$
$\ \lim _{x \rightarrow-5^{+}} \frac{\left(x^{2}+11 x+30\right)}{x+5}$
$\ \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\left(x^{2}+11 x+30\right)}{x+5}$
$\ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-11 x^{3}+20 x^{2}+15 x-17}{-9 x^{3}+5 x^{2}-x-17}$
$\ \lim _{x \rightarrow \infty} 13$
$\ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-2 x+18}{17 x-3}$
$\ \lim _{x \rightarrow \infty} 15$
$\ \lim _{x \rightarrow \infty}-5 x^{2}+5 x+14$
$\ \lim _{x \rightarrow \infty} 7 x+12$
$\ \lim _{x \rightarrow \infty}-3 x+13$
$\ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{13 x-8}{19 x^{3}-11 x^{2}+x+4}$
$\ \lim _{x \rightarrow \infty}-17 x+14$
$\ \lim _{x \rightarrow \infty}-7 x^{2}-2 x-13$

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 8.3.

Лексика

Термін	Визначення
межа	Межа - це значення, до якого наближається вихід функції, коли вхід функції наближається до заданого значення.