Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

8.1.1: Визначення ліміту

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    55055

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Обмеження позначення

    Дізнавшись про кінцеву поведінку раціональної функції, ви описали функцію як горизонтальну асимптоту на нулі або інше число, або переходячи до нескінченності. Обмеження позначення є способом опису цієї кінцевої поведінки математично.

    Ви вже знаєте, що як\(\ x\) стає надзвичайно великим, то функція\(\ f(x)=\frac{8 x^{4}+4 x^{3}+3 x^{2}-10}{3 x^{4}+6 x^{2}+9 x}\) переходить до\(\ \frac{8}{3}\) тому що найбільші сили рівні і\(\ \frac{8}{3}\) є співвідношенням провідних коефіцієнтів. Як це твердження представлено за допомогою позначення limit?

    Вступ до лімітів

    Обмеження позначення - це спосіб заявити ідею, яка є трохи більш тонкою, ніж просто сказати\(\ x=5\) або\(\ y=3\).

    \ (\\ begin {вирівняний}
    &\ lim _ {x\ rightarrow a} f (x) =b\\
    &\ text {«Межа} f\ тексту {з} x\ text {як} x\ text {наближається} a\ text {is} b\ text {»}
    \ end {вирівняний}\)

    Буква\(\ a\) може бути будь-яким числом або нескінченністю. Функція\(\ f(x)\) є будь-якою функцією\(\ x\). Буква\(\ b\) може бути будь-яким числом. Якщо функція переходить в нескінченність, то замість запису «= ∞» слід написати, що межі не існує або «DNE». Це тому, що нескінченність - це не число. Якщо функція переходить до нескінченності, то вона не має меж.

    Візьміть наступний ліміт:

    Межа\(\ y=4 x^{2}\) як\(\ x\) підходів 2 дорівнює 16

    У обмеженому позначенні це було б:

    \(\ \lim _{x \rightarrow 2} 4 x^{2}=16\)

    Хоча функція ніколи не може насправді досягти висоти,\(\ b\) вона отримає довільно близько до\(\ b\). Один із способів подумати про поняття ліміту - використовувати фізичний приклад. Встаньте на деяку відстань від стіни, а потім зробіть великий крок, щоб дістатися на півдорозі до стіни. Зробіть ще один крок, щоб знову піти на півдорозі до стіни. Якщо ви продовжуєте робити кроки, які ведуть вас на півдорозі до стіни, то дві речі відбудуться. По-перше, ви отримаєте надзвичайно близько до стіни, але ніколи насправді не досягнете стіни незалежно від того, скільки кроків ви робите. По-друге, спостерігач, який бажає описати вашу ситуацію, помітить, що стіна діє як межа того, як далеко ви можете зайти.

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас запитали, як написати твердження «Межа\(\ \frac{8 x^{4}+4 x^{3}+3 x^{2}-10}{3 x^{4}+6 x^{2}+9 x}\) як\(\ x\) наближається до нескінченності є\(\ \frac{8}{3}\)» в граничних позначеннях.

    Рішення

    Це можна записати за допомогою позначення limit як:

    \(\ \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{8 x^{4}+4 x^{3}+3 x^{2}-10}{3 x^{4}+6 x^{2}+9 x}\right)=\frac{8}{3}\)

    Приклад 2

    Переведіть наступне математичне твердження словами.

    \(\ \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^{i}=1\)

    Рішення

    Межа суми\(\ \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots\) як число членів наближається до нескінченності дорівнює 1.

    Приклад 3

    Використовуйте позначення limit, щоб представити наступний математичний оператор.

    \(\ \frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\cdots=\frac{1}{2}\)

    Рішення

    \(\ \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{3}\right)^{i}=\frac{1}{2}\)

    Приклад 4

    Опишіть кінцеву поведінку наступної раціональної функції на нескінченності та негативній нескінченності за допомогою меж.

    \(\ f(x)=\frac{-5 x^{3}+4 x^{2}-10}{10 x^{3}+3 x^{2}+98}\)

    Рішення

    Оскільки функція має рівні повноваження\(\ x\) в чисельнику і в знаменнику, кінцева поведінка\(\ x\) йде\(\ -\frac{1}{2}\) як до позитивної, так і негативної нескінченності.

    \(\ \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{-5 x^{3}+4 x^{2}-10}{10 x^{3}+3 x^{2}+98}\right)=\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\frac{-5 x^{3}+4 x^{2}-10}{10 x^{3}+3 x^{2}+98}\right)=-\frac{1}{2}\)

    Приклад 5

    Переведіть наступне граничне вираз на слова. Що ви помічаєте щодо граничного виразу?

    \(\ \lim _{h \rightarrow 0}\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)=x\)

    Рішення

    Межа співвідношення різниці між\(\ f\) величиною\(\ x\) плюс\(\ h\) і\(\ f\) of\(\ x\) і\(\ h\) як\(\ h\) наближається 0 дорівнює\(\ x\).

    Ви повинні помітити, що це не\(\ h \rightarrow 0\) означає,\(\ h=0\) тому що якщо це сталося, то ви не могли б мати\(\ 0\) в знаменнику. Ви також повинні відзначити, що в чисельнику,\(\ f(x+h)\) і\(\ f(x)\) збираються бути супер близько один до одного, як\(\ h\) наближається до нуля. Обчислення дозволить вам боротися з проблемами, які, здається, виглядають\(\ \frac{0}{0}\) і\(\ \frac{\infty}{\infty}\).

    Рецензія

    Охарактеризуйте кінцеву поведінку наступних раціональних функцій на нескінченності та негативній нескінченності за допомогою меж.

    1. \(\ f(x)=\frac{2 x^{4}+4 x^{2}-1}{5 x^{4}+3 x+9}\)
    2. \(\ g(x)=\frac{8 x^{3}+4 x^{2}-1}{2 x^{3}+4 x+7}\)
    3. \(\ f(x)=\frac{x^{2}+2 x^{3}-3}{5 x^{3}+x+4}\)
    4. \(\ f(x)=\frac{4 x+4 x^{2}-5}{2 x^{2}+3 x+3}\)
    5. \(\ f(x)=\frac{3 x^{2}+4 x^{3}+4}{6 x^{3}+3 x^{2}+6}\)

    Переведіть наведені нижче твердження в позначення limit.

    1. Межа\(\ y=2 x^{2}+1\) як\(\ x\) підходів 3 дорівнює 19.
    2. Межа\(\ y=e^{x}\) як\(\ x\) наближається до негативної нескінченності дорівнює 0.
    3. Межа\(\ y=\frac{1}{x}\) як\(\ x\) наближається до нескінченності дорівнює 0.

    Використовуйте позначення limit для представлення наступних математичних тверджень.

    1. \(\ \frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\cdots=\frac{1}{3}\)
    2. Серія\(\ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots\) розходиться.
    3. \(\ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots=2\)
    4. \(\ \frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\cdots=1\)

    Переведіть в слова наступні математичні твердження.

    1. \(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{5 x^{2}-4}{x+1}=-4\)
    2. \(\ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-1}{x-1}=3\)
    3. Якщо\(\ \lim _{x \rightarrow a} f(x)=b\), чи можливо, що\(\ f(a)=b\) поясніть.

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 14.1.

    Лексика

    Термін Визначення
    Поведінка кінця Поведінка кінця - це опис тенденції функції, оскільки вхідні значення стають дуже великими або дуже малими, представленими як «кінці» графічної функції.
    Горизонтальна асимптота Горизонтальна асимптота - це горизонтальна лінія, яка вказує, де функція згладжується, оскільки незалежна змінна стає дуже великою або дуже маленькою. Функція може торкатися або проходити через горизонтальну асимптоту.
    граничне позначення Обмеження позначення - це спосіб вираження того факту, що функція довільно наближається до значення.