7.8.1: Суми скінченних арифметичних рядів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 55137

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Пошук суми скінченного арифметичного ряду

Сидіння театру влаштовано так, що кожен ряд має на два більше місць, ніж той, що перед ним. Перший ряд має п'ять місць і є 30 рядів сидінь в театрі. Скільки всього місць в театрі?

Сума скінченного арифметичного ряду

Метод за допомогою калькулятора для оцінки суми ряду може бути використаний і для знаходження суми арифметичного ряду. Однак у цій концепції ми вивчимо алгебраїчний метод, унікальний для арифметичних рядів. Як ми вже обговорювали раніше в одиниці ряд - це просто сума послідовності, тому арифметичний ряд - це сума арифметичної послідовності. Давайте розглянемо задачу, щоб проілюструвати це і розробити формулу, щоб знайти суму скінченного арифметичного ряду.

Знайдемо суму арифметичного ряду: 1+3+5+7+9+11+... +35+37+39.

Тепер, в той час як ми могли б просто скласти всі умови, щоб отримати суму, якби ми повинні були підсумувати велику кількість термінів, які були б дуже багато часу. Відомий німецький математик Йоганн Карл Фрідріх Гаусс використовував описаний тут метод для визначення суми перших 100 цілих чисел в початковій школі. По-перше, ми можемо виписати всі числа двічі, за зростанням і спаданням, і спостерігати, що сума кожної пари чисел однакова:

\ (\\ почати {масив} {ccccccc}
1 & 3 & 5 & 7 & 9 & 11 &\ ldots & 35 & 37 &
39\ 39 & 37 & 37 & 37 & 35 & 33 & 31 & 29 & 3 & 3 & 1\\
&&&&& {\ vdots}\
40 & 40 & підсилювач; 40 & 40 & 40 & 40 &\ ldots & 40 & 40 & 40
\ кінець {масив}\)

Зверніть увагу, що сума відповідних членів у зворотному порядку завжди дорівнює 40, що є сумою першого і останнього членів послідовності.

Гаусс зрозумів, що цю суму можна помножити на кількість членів, а потім розділити на два (оскільки ми насправді підсумовуємо ряд двічі тут), щоб отримати суму членів у вихідній послідовності. Для задачі, яку він дав у школі, знайшовши суму перших 100 цілих чисел, він зміг просто використовувати перший член\(\ a_{1}=1\), останній член\(\ a_{n}=100\), і загальну кількість членів\(\ n=100\), у наступній формулі:

\(\ \frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}=\frac{100(1+100)}{2}=5050\)

У нашій проблемі ми знаємо перший і останній терміни, але скільки їх термінів? Нам потрібно знайти\(\ n\), щоб скористатися формулою, щоб знайти суму ряду. Для цього ми можемо використовувати перший і останній терміни та\(\ n^{t h}\) термін.

\ (\\ почати {масив} {л}
a_ {n} =a_ {1} +d (n-1)\\
39=1+2 (n-1)\\
38=2 (n-1)\\
19=n-1\\
20=n
\ кінець {масив}\)

Тепер сума дорівнює\(\ \frac{20(1+39)}{2}=400\)

Доказ формули арифметичної суми

Правило знаходження члена арифметичної послідовності та властивостей підсумовувань може бути використано для алгебраїчного доведення формули.\(\ n^{t h}\) Спочатку почнемо з\(\ n^{t h}\) терміна правило\(\ a_{n}=a_{1}+(n-1) d\). Нам потрібно знайти суму\(\ n^{t h}\) численних членів (з\(\ n\) них, щоб бути точними), тому ми будемо використовувати індекс\(\ i\), у підсумовуванні, як показано нижче:

\(\ \sum_{i=1}^{n}\left[a_{1}+(i-1) d\right]\)Майте на увазі, що\(\ a_{1}\) і\(\ d\) є константами в цьому виразі.

Ми можемо розділити це на два окремих підсумовування, як показано:\(\ \sum_{i=1}^{n} a_{1}+\sum_{i=1}^{n}(i-1) d\)

Розгортаємо перше підсумовування,\(\ \sum_{i=1}^{n} a_{1}=a_{1}+a_{1}+a_{1}+\ldots+a_{1}\) таке, що\(\ a_{1}\) додається до себе\(\ n\) раз. Ми можемо спростити цей вираз до\(\ a_{1} n\).

У другому підсумовуванні\(\ d\) можна вивести перед підсумовуванням, а різницю всередині можна розділити, як ми зробили з додаванням, щоб отримати:\(\ d\left[\sum_{i=1}^{n} i-\sum_{i=1}^{n} 1\right]\). Використання правил, які ви бачили раніше,\(\ \sum_{i=1}^{n} i=\frac{1}{2} n(n+1)\) і\(\ \sum_{i=1}^{n} 1=n\). Склавши все це воєдино, ми можемо написати вираз без будь-яких символів підсумовування і спростити.

\ (\\ begin {масив} {ліворуч} a_ {1} n+d\ лівий [\ frac {1} {2} n (n+1) -n\ праворуч]\\
=a_ {1} n+\ frac {1} {2} d n (n+1) -d n\ quad &\ text {Розподілити} d\\\
=\ frac {1} {2} n\ left [2 a_ {1} +d (n+1) -2 d\ праворуч] &\ текст {Фактор з}\ розрив {1} {2} n\
=\ frac {1} {2} n\ ліворуч [2 a_ {1} +d n+d-2 d\ праворуч]\\
=\ frac {1} {2} n\ лівий [2 a_ {1} +d n-d\ праворуч]\\
=\ frac {1} {2} n\ left [2 a_ {1} +d (n-1)\ праворуч]\ quad &\ leftarrow\ text {Ця версія рівняння дуже корисна, якщо ви не знаєте} n^ {t h}\ текст {.} \\
=\ розрив {1} {2} n\ лівий [a_ {1} +\ лівий (a_ {1} +d (n-1)\ праворуч)\\
=\ frac {1} {2} n\ ліворуч (a_ {1} +a_ {n}\ праворуч)
\ кінець {масив}\)

Тепер знайдемо суму перших 40 членів в арифметичному ряду\(\ 35+31+27+23+\)...

Для цієї конкретної серії ми знаємо перший термін і загальну різницю, тому давайте використаємо правило, яке не вимагає\(\ n^{t h}\) терміну:\(\ \frac{1}{2} n\left[2 a_{1}+d(n-1)\right]\), де\(\ n=40\),\(\ d=-4\) і\(\ a_{1}=35\).

\(\ \frac{1}{2}(40)[2(35)+(-4)(40-1)]=20[70-156]=-1720\)

Ми також могли б знайти\(\ n^{t h}\) термін і використовувати правило\(\ \frac{1}{2} n\left(a_{1}+a_{n}\right)\), де\(\ a_{n}=a_{1}+d(n-1)\).

\(\ a_{40}=35+(-4)(40-1)=35-156=-121\), Таким чином, сума дорівнює

\(\ \frac{1}{2}(40)(35-121)=20(-86)=-1720\)

Далі, враховуючи, що в арифметичному ряду\(\ a_{21}=165\) і\(\ a_{35}=277\), знайдемо суму членів 21 до 35.

Цього разу у нас є «перший» і «останній» терміни серії, але не кількість термінів або загальна різниця. Оскільки наша серія починається з\(\ 21^{s t}\) терміну і закінчується\(\ 35^{t h}\) терміном, в цій серії 15 термінів. Тепер ми можемо використовувати правило, щоб знайти суму, як показано на малюнку.

\(\ \frac{1}{2}(15)(165+277)=3315\)

Нарешті, знайдемо суму арифметичного ряду\(\ \sum_{i=1}^{8}(12-3 i)\).

З підсумовуваних позначень ми знаємо, що нам потрібно підсумувати 8 членів. Ми можемо використовувати вираз,\(\ 12-3 i\) щоб знайти перший і останній терміни як і використовувати правило, щоб знайти суму.

Перший термін:\(\ 12-3(1)=9\)

Останній термін:\(\ 12-3(8)=-12\)

\(\ \sum_{i=1}^{8}(12-3 i)=\frac{1}{2}(8)(9-12)=4(-3)=-12\)

Ми також можемо скористатися калькулятором у цій задачі: sum (seq (12−3x, x,1,8)) =−12

Приклади

Приклад 1

Раніше вас просили дізнатися загальну кількість місць в театрі.

Рішення

\(\ \frac{1}{2}(30)[2(5)+(2)(30-1)]=15[10+58]=1020\)

Тому в театрі всього 1020 місць.

Приклад 2

Знайти суму ряду\(\ 87+79+71+63+\ldots+-105\).

Рішення

\(\ d=8\), так

\ (\\ почати {вирівняний}
-105 &=87+ (-8) (n-1)\\
-192 &=-8 n+8\\
-200 &=-8 n\\
n &=25
\ кінець {вирівняний}\)

а потім скористайтеся правилом, щоб знайти суму\(\ \frac{1}{2}(25)(87-105)=-225\)

Приклад 3

Знайти\(\ \sum_{i=10}^{50}(3 i-90)\).

Рішення

\(\ 10^{t h}\)термін є\(\ 3(10)-90=-60\),\(\ 50^{t h}\) термін є\(\ 3(50)-90=60\) і\(\ n=50-10+1=41\)

(Додайте 1, щоб включити\(\ 10^{t h}\) термін). Сума ряду дорівнює\(\ \frac{1}{2}(41)(-60+60)=0\). Зауважте, що калькулятор є чудовим варіантом для цієї задачі: sum (seq (3x−90, x,10,50)) =0

Приклад 4

Знайти суму перших 30 членів ряду\(\ 1+6+11+16+\ldots\)

Рішення

\(\ d=5\), використовуйте формулу суми,\(\ \frac{1}{2} n\left(2 a_{1}+d(n-1)\right)\), щоб отримати

\(\ \frac{1}{2}(30)[2(1)+5(30-1)]=15[2+145]=2205\)

Рецензія

Знайдіть суми наступних арифметичних рядів.

\(\ -6+-1+4+\ldots+119\)
\(\ 72+60+48+\ldots+-84\)
\(\ 3+5+7+\ldots+99\)
\(\ 25+21+17+\ldots+-23\)
Знайти суму перших 25 членів ряду\(\ 215+200+185+\ldots\)
Знайти суму перших 14 членів ряду\(\ 3+12+21+\ldots\)
Знайти суму перших 32 членів ряду\(\ -70+-65+-60+\ldots\)
Знайти суму перших 200 термінів у\(\ -50+-49+-48+\ldots\)

Оцініть наступні підсумки.

\(\ \sum_{i=4}^{10}(5 i-22)\)
\(\ \sum_{i=2}^{25}(-3 i+37)\)
\(\ \sum_{i=11}^{48}(i-20)\)
\(\ \sum_{i=5}^{40}(50-2 i)\)

Знайти суму ряду, обмежену заданими долями. Включіть ці терміни в суму.

\(\ a_{7}=39\)і\(\ a_{23}=103\)
\(\ a_{8}=1\)і\(\ a_{30}=-43\)
\(\ a_{4}=-15\)і\(\ a_{17}=24\)
Скільки банок потрібно, щоб зробити трикутне розташування банок, якщо нижній ряд має 35 банок, а наступний ряд має на одну банку менше, ніж ряд під ним?
Томас отримує щотижневу допомогу. Перший тиждень це один долар, другий тиждень - два долари, третій тиждень - три долари і так далі. Якщо Томас покладе всю свою допомогу в банк, скільки він матиме наприкінці одного року?

Відповіді на проблеми з оглядом

Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 11.7.