Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.5.4: Розв'язування систем ліній, квадратики та коніків

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    55101

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Розв'язування систем ліній, квадратики та коніків

    Вам задано еліпс\(\ \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\) і лінію\(\ y=\frac{3}{2} x+3\). Ви хочете визначити, в якій точці (и), якщо такі є, два рівняння перетинаються без графіків. Чи перетинає лінія еліпс? Якщо так, то в який момент (и) це робить?

    Системи ліній, квадратики та коніки

    Раніше ми вирішували систему, яка включає дві лінії або три площини, використовуючи графіки, заміщення та лінійні комбінації. У цій концепції ми додамо кола, параболи та еліпси до систем рівнянь. Оскільки обидва x і y можуть бути зведені в квадрат у цих рівняннях, часто буде більше однієї відповіді.

    Оцінимо розв'язки для системи рівнянь нижче.

    F-D_771037C9651F8761BCE5CF471F04219CC0F4AD015F8A903616A18D08+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Ці два еліпси перетинаються в чотирьох місцях. Вони виглядають наступними моментами:

    (0, 7), (4.7, 5.5), (4.9, 4.3) і (−1, 2.9)

    Майте на увазі, що це лише оцінки. У наступній задачі ми покажемо, як знайти точні відповіді.

    Тепер давайте вирішимо

    \ (\\ begin {масив} {l}
    x^ {2} +y^ {2} =25\
    3 x+2 y=6
    \ end {масив}\)

    Давайте вирішимо цю систему за допомогою графіків. Перше рівняння являє собою коло, центрований у початку координат, з радіусом 5. Друге рівняння - це пряма. У формі перехоплення схилу він є\(\ y=-\frac{3}{2} x+3\).

    Ф-Д_Е40А 0Е331Ф32Д5Б74 ДД42Ф12Б505121322А00ФД ААФ 4 ААЦ30ДД 70+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Далі прикинемо, де перетинаються пряма і коло. У другому квадранті він виглядає як (−1.2, 4.8), а у четвертому квадранті - (4, −3). Це наші приблизні відповіді.

    Щоб знайти точне значення цих точок перетину, нам потрібно скористатися підстановкою. Підставляємо лінійне рівняння in для y в рівняння кола і вирішуємо для x.

    \ (\\ почати {вирівняний}
    x^ {2} +\ лівий (-\ розрив {3} {2} x+3\ праворуч) ^ {2} &=25\
    x^ {2} +\ розриву {9} {4} x^ {2} -9 x+9 &=25\\\ розриву {13} {4} x^ {2} -9 x+9
    \\\ розриву {13} {4} x^ {2} -9 x\\\\
    13 x^ {2} -36 х-64 &=0
    \ кінець {вирівняний}\)

    Використовуйте квадратичну формулу:

    \ (\\ почати {вирівняний}
    х &=\ розрив {36\ пм\ sqrt {36^ {2} -4 (13) (-64)}} {2 (13)}\\ &=\ frac {36\ pm\ sqrt {4624}} {26}\
    &=\ frac {36\ pm 68} {26}\ кінець {4624}\\\
    &=\ розрив {36\ pm 68} {26}
    \ кінець {4624}\)

    Рішення, для x, є\(\ \frac{36+68}{26}=4\) і\(\ \frac{36-68}{26}=-1 \frac{3}{13}\). Підключіть їх до будь-якого рівняння, щоб вирішити для y.

    \(\ y=-\frac{3}{2}(4)+3=-3\)і\(\ y=-\frac{3}{2}\left(-\frac{16}{13}\right)+3=4 \frac{11}{13}\)

    Точками є (4, −3) і\(\ \left(-1 \frac{3}{13}, 4 \frac{11}{13}\right)\).

    Техніка, яка використовується в цій проблемі, полягає в тому, як рекомендується підходити до кожної проблеми. Спочатку складіть графік системи так, щоб ви мали уявлення про те, скільки існує рішень і де вони розташовані. Потім використовуйте підстановку для вирішення точних відповідей.

    Нарешті, давайте вирішимо

    \ (\\ begin {масив} {l}
    \ розрив {x^ {2}} {16} +\ розрив {y^ {2}} {9} =1\
    y^ {2} =-\ frac {4} {3} (x-6)
    \ end {масив}\)

    Графікуючи два рівняння, ми маємо чотири точки перетину нижче. Друге рівняння вирішується для\(\ y^{2}\), тому підставляємо його в перше рівняння.

    F-D_2CCC0468A2B0E068A4E99 ФА451А6252804А42Д6Б99Ф7930БД4А6БФ68+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    \ (\\ почати {вирівняний}
    \ розрив {x^ {2}} {16} -\ гідророзриву {4 (x-6)}} {3\ cdot 9} &=1
    \\ розриву {x^ {2}} {16}} -\ розрив {4 х-24} {27} &=1\
    27 x^ {2} -16 (4 х-24) &=432\
    27 x^ {2} -64 x-48 &=0
    \ кінець {вирівняний}\)

    Тепер використовуйте квадратичну формулу, щоб вирішити для x.

    \ (\\ почати {вирівняний}
    х &=\ розрив {64\ пм\ sqrt {(-64) ^ {2} -4 (27)}} {2 (27)}}\\ &=\ frac {64\ pm\ sqrt {9280}} {54}\
    &=\ розрив {32\ pm 4\ sqrt {145}} {27}\
    &=\ frac {32\ pm 4\ sqrt {145}} {27}
    \ &=}\)

    Підключивши їх до калькулятора, ми отримуємо\(\ x=\frac{32+4 \sqrt{145}}{27} \approx 2.97\) і\(\ x=\frac{32-4 \sqrt{145}}{27} \approx-0.6\). Дивлячись на графік, ми знаємо, що для кожного значення x буде два різних значення y, щоб дати чотири точки перетину. Використовуючи оцінки, розв'яжіть для y. Ви можете вибрати будь-яке рівняння.

    \ (\\ begin {масив} {rlrl}
    y^ {2} & =-\ розриву {4} {3} (2.97-6) & & y^ {2} &=-\ розриву {4} {3} (-0.6-6)\\
    y^ {2} & =4.04 &\ текст {і} & y^ {2} & =8.8\
    y & = 2.00 && y & =\ пм 2.97
    \ кінець {масив}\)

    Пунктами є (2,97, 2,01), (2,97, −2,01), (−0,6, 2,97) та (−0,6, −2,97).

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вам було запропоновано визначити, чи\(\ y=\frac{3}{2} x+3\) перетинає лінія еліпс\(\ \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\), і якщо так, то в якій точці (и).

    Рішення

    Для початку давайте позбавимося від дробів в рівнянні еліпса, щоб полегшити роботу. Для цього множимо на РК-дисплей.

    \ (\\ почати {масив} {r}
    \ розрив {x^ {2}} {4} +\ розрив {y^ {2}} {9} =1\ 36\ розрив {x^ {2}} {4}
    +36\ frac {y^ {2}} {9} =36\ cdot 1\\ 9 x^ {2} +4 y^ {2} =36\ cdot 1\
    9 x^ {2} +4 y^ {2} =36
    \ кінець {масив}\)

    Тепер ми можемо підставити рівняння прямої\(\ y=\frac{3}{2} x+3\) в для y і вирішити для x.

    \ (\\ почати {масив} {r}
    9 x^ {2} +4\ ліворуч (\ розрив {3} {2} x+3\ праворуч) ^ {2} =36\
    9 x^ {2} +4\ ліворуч (\ frac {9} {4} x^ {2}
    +9\ праворуч) =36\\ 9 x^ {2} +36 x+36=36\\
    18 x^ {2} +36 x = 0\\
    18 x (x+2) =0
    \ кінець {масив}\)

    Отже,\(\ x=0\) або\(\ x=−2\)

    Нарешті, ми можемо замінити ці значення x у рівняння рядка, щоб знайти відповідні значення y.

    \ (\\ begin {масив} {l}
    y=\ frac {3} {2} (0) +3=3\
    y=\ гідророзриву {3} {2} (-2) +3=0
    \ end {масив}\)

    Тому лінія перетинає еліпс в точках\(\ (0, 3)\) і\(\ (−2, 0)\).

    Приклад 2

    Оцініть рішення системи нижче.

    F-D_99E460286B4A8E2E7C2A Додати 946c322c7138AEB6981EE7370051 DADBD+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Рішення

    (3, −0,1) та (4.5, −6)

    Знайдіть рішення для систем нижче.

    Приклад 3

    \ (\\ почати {вирівняний}
    x^ {2} + (y-1) ^ {2} &=36\
    x^ {2} &=2 (y+9)
    \ кінець {вирівняний}\)

    Рішення

    Це коло і парабола, яка перетинається в чотирьох місцях.

    F-D_97Е889А13Б96Б6077Б7Б750А5 ДБФ 49 АД Б49696С64158А3ЕА3ПК+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Використовуючи підстановку для\(\ x^{2}\), ми маємо:

    \ (\\ почати {вирівняний}
    2 (y+9) + (y-1) ^ {2} &= 36\\
    2 y+18+y^ {2} -2 y+1 &=36\
    y^ {2} &= 17\\
    y &=\ pm\ sqrt {17}\ приблизно\ pm 4.12
    \ кінець {вирівняний}\)

    Відповідними значеннями x є:

    \ (\\ почати {вирівняний}
    x^ {2} &=2 (4.12+9) & x^ {2} &= 2 (-4.12+9)\\
    x^ {2} &=26,25\ quad\ quad\ quad\ текст {і} & x^ {2} &= 9.76\
    x &=\ pm 5.12 & x =\ pm 3.12
    \ кінець {вирівняний}\)

    Розв'язки: (4.12, 5.12), (4.12, −5.12), (−4.12, 3.12) та (−4.12, −3.12).

    Приклад 4

    \ (\\ почати {вирівняний}
    x^ {2} &=y+8\\
    4 x+5 y &=12
    \ кінець {вирівняний}\)

    Рішення

    Це лінія і парабола, які перетинаються в двох точках.

    F-д_4А6Ф3 А2964Е9189Е7475Б690 ФФД 91080890611Б89ФФК 9С7БДБ0Е569+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Вирішити перше рівняння для y і підставити в друге.

    \ (\\ почати {вирівняний}
    4 х+5\ ліворуч (x^ {2} -8\ праворуч) &= 12\\
    4 x+5 x^ {2} -40 &= 12\\
    5 x^ {2} +4 x-52 &= 0\\
    x &=\ frac {-4\ pm\ sqrt {4^ {2} -4} -4 (5)} (-52)}} {2}\
    x &=\ розриву {-4\ пм\ sqrt {1056}} {10}\ приблизно 3.65,2,85
    \ кінець {вирівняний}\)

    Використовуючи перше рівняння,\(\ y=3.65^{2}-8=5.32\) і\(\ y=2.85^{2}-8=0.12\). Точки є\(\ (3.65,5.32)\) і\(\ (2.85,0.12)\).

    Рецензія

    Оцініть розв'язки для кожної системи рівнянь нижче.

    1. F-D_2FA9 CDBE9595562672 EBE4 Б3 ФА5ДФ 4503А8 БДДФ 3240d488 ABCEA989+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    2. Ф-д_Б1ЕЕ425АЦ5Ф3516С41Ф5Б Б 0Ф592ДДФ Е9Е7А0С94347ДФ665712ФДБФ7+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    3. Ф-д_1а6да 2252Б00012С0876 А2А6АА9Ф094Б6АФ2С368Е44С6Б3Б312С+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG
    4. Ф-Д_8810733846КБ1 ДДД20Ф 1195 де 975А57Ф2Б5А06Е 6098A0E251133F+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    Вирішіть кожну систему рівнянь нижче.

    1. \ (\\ почати {вирівняний}
      5 x^ {2} +3 y &=17\
      x-y &=1
      \ кінець {вирівняний}\)
    2. \ (\\ begin {масив} {c}
      x^ {2} +y^ {2} =7.5\
      x+2 y=6
      \ end {масив}\)
    3. \ (\\ почати {вирівняний}
      x^ {2} &=y+4\
      \ розрив {x^ {2}} {4} + (y+2) ^ {2} &=1
      \ кінець {вирівняний}\)
    4. \ (\\ почати {вирівняний}
      (x-1) ^ {2} + (y-3) ^ {2} &=25\
      x^ {2} &=-2 (y-10)
      \ кінець {вирівняний}\)
    5. \ (\\ begin {масив} {l}
      x^ {2} +y^ {2} =16\
      4 x-3 y=18
      \ end {масив}\)
    6. \ (\\ почати {вирівняний}
      (x+4) ^ {2} + (y+1) ^ {2} &= 36\
      \\ розриву {(x+1) ^ {2}} {4} +\ розрив {(y-2) ^ {2}} {25} &=1
      \ кінець {вирівняний}\)
    7. Скільки різних способів може перетинатися коло і парабола? Намалюйте кожну можливість.
    8. Скільки різних способів може перетинатися коло і еліпс? Намалюйте кожну можливість.
    9. Створіть систему з двох кіл без розчину. Як виглядатиме графік?
    10. Виклик Знайти рішення для системи

      \ (\\ почати {вирівняний}
      x^ {2} +y^ {2} &=r^ {2}\
      y &= м х
      \ кінець {вирівняний}\)

    Залиште свої відповіді з точки зору\(\ m\) і\(\ r\).

    1. Завдання Визначте, чи має система з трьох рівнянь нижче одне загальне рішення.

      \ (\\ почати {вирівняний}
      x^ {2} +3 y^ {2} &=16\\
      3 x^ {2} +y^ {2} &=16\\
      y &= x
      \ кінець {вирівняний}\)

    Відповіді на проблеми з оглядом

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 10.12.