Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.5.3: Вироджені коніки

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    55094

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Вироджені коніки

    Загальне рівняння конічного конуса є\(\ A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0\). Ця форма настільки загальна, що вона охоплює всі регулярні лінії, сингулярні точки та вироджені гіперболи, які виглядають як X. Це тому, що є кілька особливих випадків того, як площина може перетинати двосторонній конус. Як формуються ці вироджені форми?

    Графік вироджених коніків

    Вироджена конічна коніка - це конічний, який не має звичних властивостей конічного конуса. Вироджені конічні рівняння просто не можуть бути записані у вигляді графіків. Розрізняють три види вироджених коніків:

    1. Однина точка, яка має вигляд:\(\ \frac{(x-h)^{2}}{a}+\frac{(y-k)^{2}}{b}=0\). Ви можете думати про однину точку як коло або еліпс з нескінченно малим радіусом.
    2. Лінія, яка має коефіцієнти\(\ A=B=C=0\) в загальному рівнянні конічного конуса. Частина, що залишилася рівняння є\(\ D x+E y+F=0\), яка є лінією.
    3. Вироджена гіпербола, яка має вигляд:\(\ \frac{(x-h)^{2}}{a}-\frac{(y-k)^{2}}{b}=0\). Результат - дві пересічні лінії, які утворюють фігуру «X». Нахили пересічних ліній, що утворюють Х, є\(\ \pm \frac{b}{a}\). Це тому, що\(\ b\) йде з\(\ y\) частиною рівняння і є підйомом, в той час як\(\ a\) йде з\(\ x\) частиною рівняння і є пробігом.

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас запитували, як утворюються вироджені коніки.

    Рішення

    Коли ви перетинаєте площину з двостороннім конусом, де стикаються два конуси, перетин є єдиною точкою. Коли ви перетинаєте площину з двостороннім конусом так, щоб площина торкалася краю одного конуса, проходила через центральну точку і продовжувала торкатися краю іншого конічного конуса, це створює лінію. Коли ви перетинаєте площину з двостороннім конусом так, щоб площина проходила вертикально через центральну точку двох конусів, вона виробляє вироджену гіперболу.

    Приклад 2

    Перетворіть конічне рівняння в стандартну форму та ескіз.

    \(\ 0 x^{2}+0 x y+0 y^{2}+2 x+4 y-6=0\)

    Рішення

    Це лінія\(\ y=-\frac{1}{2} x+\frac{3}{2}\)

    F-D_7E 8667CD80D543ECC94A05F3C351D77A5D3CF704A71F6ADF2FD99+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_листівка_крихітка_png

    Приклад 3

    Перетворіть конічне рівняння в стандартну форму та ескіз.

    \(\ 3 x^{2}-12 x+4 y^{2}-8 y+16=0\)

    Рішення

    \ (\\ почати {вирівняний}
    3 x^ {2} -12 x+4 y^ {2} -8 y+16 &=0\\
    3\ ліворуч (x^ {2} -4 х\ праворуч) +4\ ліворуч (y^ {2} -2 y\ праворуч) &=-16\\
    3\ ліворуч (x^ {2} -4\ праворуч) +4\ ліворуч (y^ {2} -2\ y+1 праворуч) &=-16+12+4\\
    3 (x-2) ^ {2} +4 (y-1) ^ {2} &= 0
    \\\ розриву {(x-2) ^ {2}} {4} +\ розрив {(y-1) ^ {2}} {3} &=0
    \ кінець {вирівняний}\)

    Точка (2, 1) є результатом цього виродженого конічного конуса.

    F-D_3000d08d9 АФД 24108Б4Ф58Ф18Д3А2Е0Б38Д44А71 ДББ721Д5Е094+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png

    Приклад 4

    Перетворіть конічне рівняння в стандартну форму та ескіз.

    \(\ 16 x^{2}-96 x-9 y^{2}+18 y+135=0\)

    Рішення

    \ (\\ почати {вирівняний}
    16 x^ {2} -96 x-9 y^ {2} +18 y+135=0 &\\
    16\ ліворуч (x^ {2} -6 х\ праворуч) -9\ ліворуч (y^ {2} -2 y\ праворуч) &=-135\
    16\ ліворуч (x^ {2} -6 x+9\ праворуч) -9\ ліворуч (y^ {2} -2 y+1\ праворуч) &=-135+144-9\\
    16 (x-3) ^ {2} -9 (y-1) ^ {2} &= 0\\
    \ розриву {( x-3) ^ {2}} {9} -\ розрив {(y-1) ^ {2}} {16} &=0
    \ кінець {вирівняний}\)

    Це вироджена гіпербола.

    F-D_1020C4E8A8F5Fece6CA7560CB3C98FD769455E9431A8FC5444F236+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка+зображення_великий палець_поштова листівка_крихітка_png

    Приклад 5

    1. Створіть конічний конус, який описує тільки точку (4, 7).

    Рішення

    \(\ (x-4)^{2}+(y-7)^{2}=0\)

    Рецензія

    1. Які три вироджені коніки?

    Змініть кожне рівняння на графічну форму та вкажіть, який тип конічної або виродженої конічної коніки це.

    1. \(\ x^{2}-6 x-9 y^{2}-54 y-72=0\)
    2. \(\ 4 x^{2}+16 x-9 y^{2}+18 y-29=0\)
    3. \(\ 9 x^{2}+36 x+4 y^{2}-24 y+72=0\)
    4. \(\ 9 x^{2}+36 x+4 y^{2}-24 y+36=0\)
    5. \(\ 0 x^{2}+5 x+0 y^{2}-2 y+1=0\)
    6. \(\ x^{2}+4 x-y+8=0\)
    7. \(\ x^{2}-2 x+y^{2}-6 y+6=0\)
    8. \(\ x^{2}-2 x-4 y^{2}+24 y-35=0\)
    9. \(\ x^{2}-2 x+4 y^{2}-24 y+33=0\)

    Намалюйте кожну конічну або вироджену конічну коніку.

    1. \(\ \frac{(x+2)^{2}}{4}+\frac{(y-3)^{2}}{9}=0\)
    2. \(\ \frac{(x-3)^{2}}{9}+\frac{(y+3)^{2}}{16}=1\)
    3. \(\ \frac{(x+2)^{2}}{9}-\frac{(y-1)^{2}}{4}=1\)
    4. \(\ \frac{(x-3)^{2}}{9}-\frac{(y+3)^{2}}{4}=0\)
    5. \(\ 3 x+4 y=12\)

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 9.6.

    Лексика

    Термін Визначення
    Конічна Конічні перерізи - це ті криві, які можуть бути створені перетином подвійного конуса і площини. Вони включають кола, еліпси, параболи та гіперболи.
    вироджений конічний Вироджена конічна коніка - це конічний, який не має звичних властивостей конічного перерізу. Оскільки деякі коефіцієнти загального конічного рівняння дорівнюють нулю, то базовою формою коніки є просто точка, пряма або пара пересічних ліній.
    вироджена гіпербола Вироджена гіпербола є прикладом виродженої коніки. Її рівняння набуває вигляду\(\ \frac{(x-h)^{2}}{a}-\frac{(y-k)^{2}}{b}=0\). Це виглядає як дві пересічні лінії, які утворюють фігуру «X».

    Атрибуції зображень

    1. [Рисунок 1]
      Кредит: CK-12
      Ліцензія Фонду: CC BY-SA