Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.5.2: Класифікація конічних перерізів

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    55100

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Класифікація конічних перерізів

    Ви і ваші друзі граєте Назвіть конічну секцію. Ваш друг тягне картку з\(\ x^{2}+3 x y=-5 y^{2}-10\) написаним на ній рівнянням. Який тип конічного перерізу представлений рівнянням?

    Класифікація конічних перерізів

    Іншим способом класифікації конічного перерізу, коли він знаходиться в загальному вигляді, є використання дискримінанту, як з квадратичної формули. Дискримінант - це те, що знаходиться під радикалом\(\ b^{2}-4 a c\), і ми можемо використовувати це, щоб визначити, чи є конічна парабола, коло, еліпс або гіпербола. Якщо загальна форма рівняння є\(\ A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0\), де\(\ B=0\), то дискримінант буде\(\ B^{2}-4 A C\).

    Скористайтеся таблицею нижче:

    \(\ B^{2}-4 A C=0\)і\(\ A=0\) чи\(\ C=0\) Парабола
    \(\ B^{2}-4 A C<0\)і\(\ A=C\) Коло
    \(\ B^{2}-4 A C<0\)і\(\ A≠C\) Еліпс
    \(\ B^{2}-4 A C>0\) Гіпербола

    Давайте скористаємося дискримінантом для визначення типу конічного перерізу для наступних рівнянь.

    1. \(\ x^{2}-4 y^{2}+5 x-8 y+16=0\)

      \(\ A=1\),\(\ B=0\), і\(\ C=−4\)

      \(\ 0^{2}-4(1)(-4)=16\)Це гіпербола.

    2. \(\ 3 x^{2}+3 y^{2}-9 x-12 y-20=0\)

      \(\ A=3\),\(\ B=0\),\(\ C=3\)

      \(\ 0^{2}-4(3)(3)=-36\)Тому що\(\ A=C\) і дискримінант менше нуля, це коло.

      Нарешті, давайте скористаємося дискримінантом для визначення типу конічного конуса. Потім ми змінимо рівняння в стандартну форму, щоб перевірити нашу відповідь. Ми також знайдемо центр (або вершину, якщо це парабола).

      \(\ x^{2}+y^{2}-6 x+14 y-86=0\)

      \(\ A=1\)\(\ B=0\),,\(\ C=1\) Це коло.

      \ (\\ почати {вирівняний}
      \ лівий (x^ {2} -6 x+9\ праворуч) +\ лівий (y^ {2} +14 y+49\ праворуч) &=86+49+9\\
      (x-3) ^ {2} + (y+7) ^ {2} &=144
      \ кінець {вирівняний}\)

      Центр - це\(\ (3, −7)\).

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вам було запропоновано визначити тип конічного перерізу, представленого рівнянням\(\ x^{2}+3 x y=-5 y^{2}-10\).

    Рішення

    Для початку нам потрібно переписати рівняння стандартної форми.

    \(\ x^{2}+3 x y=-5 y^{2}-10 x^{2}+3 x y+5 y^{2}+10=0\)

    Тепер ми можемо використовувати дискримінант, щоб знайти тип конічного перерізу, представленого рівнянням.

    \(\ A=1\),\(\ B=3\),\(\ C=5\)

    \(\ 3^{2}-4(1)(5)=-11\)Оскільки\(\ A≠C\) дискримінант менше нуля, це рівняння являє собою еліпс.

    Для прикладів 2 і 3 використовуйте дискримінант для визначення типу конічного конуса.

    Приклад 2

    \(\ 2 x^{2}+5 y^{2}-8 x+25 y+115=0\)

    Рішення

    \(\ 0^{2}-4(2)(5)=-40\), це еліпс.

    Приклад 3

    \(\ 5 y^{2}-9 x-10 y-14=0\)

    Рішення

    \(\ 0^{2}-4(0)(5)=0\), Це парабола.

    Приклад 4

    Використовуйте дискримінант для визначення типу конічного конуса. Потім змініть рівняння в стандартну форму, щоб перевірити свою відповідь. Знайдіть центр або вершину, якщо це парабола.

    Рішення

    \(\ -4 x^{2}+3 y^{2}-8 x+24 y+32=0\)

    \(\ 0^{2}-4(-4)(3)=48\), Це гіпербола. Змінивши його на стандартну форму, ми маємо:

    \ (\\ почати {вирівняний}
    \ лівий (-4 x^ {2} -8 x\ праворуч) +\ лівий (3 y^ {2} +24 y\ праворуч) &=-32\\
    -4\ ліворуч (x^ {2} +2 x+1\ праворуч) +3\ ліворуч (y^ {2} +8 y+16\ праворуч)
    &=-32+48-4\\ -4 (x+1) ^ {2}} +3 (y+4) ^ {2} &=12
    \\ розриву {- (x+1) ^ {2}} {3} +\ розриву {(y+4) ^ {2}} {4} &=1
    \ end {вирівняний}\)

    Зазвичай ми пишемо від'ємний член другий, тому рівняння є\(\ \frac{(y+4)^{2}}{4}-\frac{(x+1)^{2}}{3}=1\). Центр - це\(\ (-1,-4)\).

    Рецензія

    Використовуйте дискримінант, щоб визначити тип конічного конуса, який представляє кожне рівняння.

    1. \(\ 2 x^{2}+2 y^{2}+16 x-8 y+25=0\)
    2. \(\ x^{2}-y^{2}-2 x+5 y-12=0\)
    3. \(\ 6 x^{2}+y^{2}-12 x+7 y+35=0\)
    4. \(\ 3 x^{2}-15 x+9 y-18=0\)
    5. \(\ 10 y^{2}+6 x-40 y+253=0\)
    6. \(\ 4 x^{2}+4 y^{2}+32 x+48 y+465=0\)

    Зіставте рівняння з правильним графіком.

    F-д_9039072С90Б9С177БФ 5Ф25173 ЕБ61750Б3Б3Б3Б3Б234155А9 ЕБА 3449CD8118+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.PNG

    1. \(\ x^{2}+10 x+4 y+41=0\)
    2. \(\ 4 y^{2}+x+56 y+188=0\)
    3. \(\ x^{2}+y^{2}+10 x-14 y+65=0\)
    4. \(\ 25 x^{2}+y^{2}-200 x-10 y+400=0\)

    Використовуйте дискримінант для визначення типу конічного конуса. Потім змініть рівняння в стандартну форму, щоб перевірити свою відповідь. Знайдіть центр або вершину, якщо це парабола.

    1. \(\ x^{2}-12 x+6 y+66=0\)
    2. \(\ x^{2}+y^{2}+2 x+2 y-2=0\)
    3. \(\ x^{2}-y^{2}-10 x-10 y-10=0\)
    4. \(\ y^{2}-10 x+8 y+46=0\)
    5. Знайдіть площу графа еліпса\(\ x^{2}+y^{2}=36\) та знайдіть її площу.
      1. Потім граф\(\ \frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{25}=1\) і\(\ \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{36}=1\) на тих же осях.
      2. Чи мають ці еліпси однакову площу? Чому чи чому ні?
      3. Якщо рівняння площі кола є\(\ A=\pi r^{2}\), яка, на вашу думку, площа еліпса? Використовують\(\ a\) і\(\ b\) як в стандартному вигляді,\(\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\).
      4. Знайти області еліпсів з частини a. Чи є області більшими або меншими за площу кола? Чому чи чому ні?

    Відповіді на проблеми з оглядом

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 10.11.

    Атрибуції зображень

    1. [Малюнок 1]
      Кредит: Pbroks13; CK-12
      Джерело Фонду: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Conic_sections_with_plane.svg; GeoGebra